宁夏银川一中2020-2021学年高三下学期第三次模拟数学(理)试题(word版,含答案)4194.pdf

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1、理科数学试卷 第1页(共 6 页)2021 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题卷(银川一中第三次模拟考试)注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合3Ax x，Bx xa，若AB，则实数a的取值范围为 A3,B3,C,3 D,3 2复数21 2zii在复平面内对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知数列 na满

2、足212nnnaaa（*nN）,且32a，58a，则7a A12 B13 C14 D15 4平面向量(1,0)a，(1,3)b ，则向量b在向量a方向上的投影为 A1 B1 C12 D12 5函数 4xxxf xee的大致图象为 理科数学试卷 第2页(共 6 页)A B C D 6 九章算术是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作书中有如下问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“已知直角三角形两直角边长分别为 8 步和 15 步，问其内切圆的直径是多少？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是 A320 B310 C4 D25 7若53)4cos(，则sin

3、2 A725 B725 C1825 D2425 8某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将 6 名优秀干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排 1 名，周五安排 2 名，则不同的安排方法共有 A320 种 B360 种 C370 种 D390 种 9已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线的右支上，且|PF1|2|PF2|，则此双曲线的离心率 e 的范围为 A(1，)B(1，3 C(2，3 D(1，2 10设函数()f x为偶函数，且当0 x 时，()cosxf xex，则不等式(21)(2)0fxf x的解集为 理科数学试卷

4、 第3页(共 6 页)A(1,1)B(,3)C(3,)D(1,)(,1)11已知三棱锥PABC，3BAC，3BC，PA 平面ABC且2 3PA，则此三棱锥的外接球的体积为 A163 B4 3 C16 D323 12已知函数 lnmf xxmx在区间1,ee内有唯一零点，则实数m的取值范围为 A,11 2eee B1,11eee C,11ee D1,12e 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13如图，函数)(xfy 的图象在点 P 处的切线方程 是8xy，则)5()5(ff .14数列 na的前项和记为nS，若22nnSa，则数列 na通项公式为_ 15在平面直角坐标

5、系xOy中，设抛物线212yp x与222xp y在第一象限的交点为 A，若OA的斜率为 2，则21pp_ 16若将函数()cossincossin0,|662f xxx的图象向右平移6个单位得到()g x图象，且()g x图象过点10,2，若关于x的方程()1g x 在,6上恰有一个实数解，则的取值范围是_ 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分)理科数学试卷 第4页(共 6 页)17(12 分)在ABC中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，

6、c，且23B，6b （1）若2coscos3AC，求 sinAsinC 的值（2）试问111ac能否成立？若能成立，求此时ABC的周长；若不能成立，请说明理由 18（12 分）某研究院为了调查学生的身体发育情况，从某校随机抽频率组距测 120 名学生检测他们的身高（单位：米），按数据分成1.2,1.3,(1.3,1.4,(1.7,1.8这 6 组，得到如图所示的频率分布直方图，其中身高大于或等于 159 米的学生有 20 人，其身高分别为 159，159，161，161，162，163，163，164，165，165，165，165，166，167，168，169，169，171，172，17

7、4，以这 120 名学生身高在各组的身高的频率估计整个学校的学生在各组身高的概率 （1）求该校学生身高大于 160 米的频率，并求频率分布直方图中 m、n、t 的值；（2）若从该校中随机选取 3 名学生（学生数量足够大），记 X 为抽取学生的身高在(1.4，1.6的人数求 X 的分布列和数学期望 19.（12 分）已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为菱形，PDPB，H 为 PC 上的点，过 AH 的平面分别交 PB，PD 于点 M，N，理科数学试卷 第5页(共 6 页)且 BD平面 AMHN.(1)证明：MNPC；(2)当 H 为 PC 的中点，PAPC 3AB，PA 与平面 ABCD

8、 所成的角为 60，求 AD 与平面 AMHN 所成角的正弦值 20.（12 分）函数xxxfln)(，xaexg)(.(1)求函数)(xf的单调区间；(2)求证：当ea1时，)()(xgxxf 21（12 分）已知离心率为63的椭圆2222:1(0)xyCabab经过点(3,1)P（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点P关于x轴的对称点为Q，过点P斜率为1k，2k的两条动直线与椭圆C的另一交点分别为M、N(M、N皆异于点Q)若1213k k，求QMN的面积S最大值 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22选修 44：坐标系与参

9、数方程 理科数学试卷 第6页(共 6 页)在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2cossinkkxtyt（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2cos3 sin120 （1）当2k 时，求出1C的普通方程，并说明该曲线的图形形状（2）当1k 时，P 是曲线1C上一点，Q 是曲线2C上一点，求|PQ|的最小值 23选修 4-5：不等式选讲 已知函数 2f xxa（1）若对任意的2,2x，42f xx恒成立，求实数 a 的取值范围；（2）若 f xm，f ym，求证：24333axym 理科数学试卷 第7页(共 6 页)银川一中 2021 届高

10、三第三次模拟数学(理科)参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A C A D A A B B D D B 12【解析】由题可知等价于11lnmxx在区间1,ee内只有一个根，即ln1xxmx在区间1,ee内只有一个根，令2ln1ln(),()1(1)xxxxh xh xxx，令()1lnk xxx，1()10k xx，函数 yk x在区间1,ee单调递增，11()0k xk ee，所以 0h x，函数 yh x在区间1,ee单调递增，所以有 1h eh xh e，即11(),1111eeh xmeeee，故选 B 二、填空题 132 14.nna2 1

11、581 16)310,34 15.【解析】设,A x y，由21122yyp xxpy，22222xyxp ypx 则21124222OAxppxkypyp，故得21,4App，代入抛物线得2211211248ppppp故答案为18 16.【解析】由题意，函数()cos()sincossin()sin()666f xxxx，函数 f x的图象向右平移6个单位得到()sin()sin()66g xxx，因为()g x图象过点10,2，可得1(0)sin2g，因为|2，可得6，所以sin()6()g xx，又由关于x的方程()1g x 在,6上恰有一个实数解，理科数学试卷 第8页(共 6 页)即i

12、n()61sx 在,6上恰有一个实数解，因为6,x，可得6666x，则满足37222,266262kkkkZ，可得1241284102233kkkk，若不存在时，则满足412823kk或1012423kk，解得23k 或3430k；若存在时，则234330k，当0k 时，可得4841033，解得41033，当1k 时，可得820101633，此时不存在，综上可得，的取值范围是4 10,)33 三、解答题 17.（12 分）【解析】（1）由23B，得3AC，cos()coscossinsinACACAC，即1coscossinsin2ACAC因为2coscos3AC，所以1sinsin6AC （

13、2）假设111ac能成立，所以acac 由余弦定理，2222cosbacacB，所以226acac 所以2()6acac，所以2()60acac，所以3ac 或-2（舍），此时3acac 不满足2acac，所以111ac不成立 18（12 分）【解析】（1）由题意可知 120 名学生中身高大于 160 米的有 18 人，所以该校学生身高大于 160 米的频率为180.15120 记为学生身高，则 理科数学试卷 第9页(共 6 页)31.21.31.71.80.025120pp 151.31.41.61.70.125120pp 11.41.51.51.612 0.0252 0.1250.352p

14、p 所以0.0250.250.1m ，0.1251.250.1n，0.353.50.1t；（2）由（1）知学生身高在1.41.6,的概率2 0.350.7p 随机变量X服从二项分布3,0.7XB 则30301 0.70.027p xC 21311 0.70.70.189p xC 122321 0.70.70.441p xC 33330.70.343p xC 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0027 0189 0441 0343 3 0.72.1EX 19.【解析】(1)证明：连接AC、BD且ACBDO，连接PO.因为ABCD为菱形，所以BDAC，因为 PDPB，所以 POBD，因为

15、ACPOO 且 AC、PO 平面 PAC，所以 BD平面 PAC，因为 PC 平面 PAC，所以 BDPC，因为 BD平面 AMHN，且平面 AMHN平面 PBDMN，所以 BDMN，MN平面 PAC，所以 MNPC.(2)由(1)知 BDAC 且 POBD，因为 PAPC，且 O 为 AC 的中点，所以 POAC，所以PO平面 ABCD，所以 PA 与平面 ABCD 所成的角为PAO，所以PAO60，所以 AO12PA，PO32PA，因为 PA 3AB，所以 BO36PA.以OA，OD，OP分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示 理科数学试卷 第10页(共 6 页)设 PA2，

16、所以 O(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，33，0)，C(1，0，0)，D(0，33，0)，P(0，0，3)，H(12，0，32)，所以BD(0，2 33，0)，AH(32，0，32)，AD(1，33，0)设平面 AMHN 的法向量为 n(x，y，z)，所以nBD0，nAH0，即2 33y0，32x32z0，令 x2，则 y0，z2 3，所以 n(2，0，2 3)，设 AD 与平面 AMHN 所成角为，所以 sin|cosn，AD|ADnADn34.所以AD 与平面 AMHN 所成角的正弦值为34.20.(12 分）【解】：(1)函数 f(x)的定义域为(0，)由 f(x)xln x，

17、得 f (x)11xx1x，当 x(0，1)时，f(x)0.所以 f(x)的单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，)(2)证明：要证 xf(x)g(x)，即证 x(xln x)aex，即证 ax2xln xex.设 h(x)x2xln xex，则 h(x)x22x1xln xln xexln x（x1）（x1）ex，由(1)可知 f(x)f(1)1，即 ln x(x1)0，于是，当 x(0，1)时，h(x)0，h(x)单调递增；当 x(1，)时，h(x)0，h(x)单调递减 所以 x1 时，h(x)取得最大值，h(x)max10e1e，所以当 a1e时，xf(x)g(x)21（12 分

18、）【解析】（1）由条件可知63ca，则2222221133bacaa，即223ab，椭圆方程为222213xybb，代入点3,1P，得24b，212a，所以椭圆方程是221124xy；（2）设过点3,1P的直线PM的方程：131ykx，与椭圆方程联立，理科数学试卷 第11页(共 6 页)得2222111111 3618271890kxkkxkk，211212718931 3Mkkxk，得211219631 3Mkkxk，同理222229631 3Nkkxk，因为1213k k，所以211219631 3Nkkxk，211121361311 3Mkkykxk 21121136113131 3NN

19、kkyxkk，13MNMNMNyykxx，直线MN的方程为221111221136196311 331 3kkkkyxkk，整理为121243013kxyk，由题意可知点3,1Q，点Q到直线MN的距离121241 310kkd，21211861101931 3MNkMNxxk，3112217224121 3QMNkkSMNdk，设函数 32272241 3xxg xx，函数 g x是奇函数，所以直线考查0 x 时，函数的最大值，2223242216243172242 31 61 3xxxxxxgxx 整理为 23224 911 3xgxx，当10,3x时，0gx，g x单调递增，当13x 时，

20、0gx，g x单调递减，所以当13x 时，g x取得最大值133g，所以QMN面积的最大值是3 请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。理科数学试卷 第12页(共 6 页)22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）【解析】（1）当2k 时，消 t 得22,0,0 xyxy，是以(2,0)A，(0,1)B为端点的线段（2）当1k 时，曲线1C的普通方程为椭圆：2214xy；由cos,sinxy得曲线2C的普通方程为直线：23120 xy；由221423120 xyxy得272128250yy，2518412807210080120，可知直线与椭圆相离，则PQ

21、的最小值为P 到直线的距离最小值，则|4cos3sin12|5sin()12|125sin()131313ttttd，当sin()1t时，有最小值7 1313 23选修 4-5：不等式选讲（10 分）【解析】（1）解：当 2 2x ，时，|2|2xx，所 以()4|2|f xx 恒 成 立，即|2|42xax，所 以22xax或22xax，所以32ax或2ax恒成立，所以min(32)ax或max(2)ax 又 2 2x ，所以8a 或4a，所以实数 a 的取值范围是(84)，（2）证明：要证24333axym，只需证|24|3xyam 由()f xm，()f ym，得|2|xam，|2|yam，则|24|(2)2(2)|(2)|2(2)|23xyaxayaxayammm，所以24333axym