2017年全国卷2(理科数学)含答案2891.pdf

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1、 1 绝密启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（全国卷）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选

2、项中，只有一项是符合题目要求的。1.31ii【D】A1 2i B1 2i C2 i D2 i 2.设集合1,2,4，240 x xxm 若1，则【C】A1,3 B 1,0 C 1,3 D 1,5 3.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯【B】A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏 4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为【B】A9

3、0 B63 C42 D36 历年高考真题 2 5.设x，y满足约束条件2330233030 xyxyy ，则2zxy的最小值是【A】A15 B9 C1 D9 6.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有【D】A12 种 B18 种 C24 种 D36 种 7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则【D】A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩 C乙、丁可以知道对

4、方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a，则输出的S【B】A2 B3 C4 D5 历年高考真题 3 9.若双曲线C:22221xyab（0a，0b）的一条渐近线被圆2224xy所截得的弦长为 2，则C的离心率为【A】A 2 B3 C2 D2 33 10.已知直三棱柱111CC 中，C120，2，1CCC1，则异面直线1与1C所成角的余弦值为【C】A32 B155 C105 D33 11.若2x 是函数21()(1)xf xxaxe的极值点，则()f x的极小值为【A】A.1 B.32e C.35e D.1 12.已知ABC是边长为 2 的等边三角形，P 为平

5、面 ABC 内一点，则()PAPBPC的最小值是【B】A.2 B.32 C.43 D.1 4 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则D 1.96 14.函数 23sin3cos4fxxx（0,2x）的最大值是 1 15.等差数列 na的前n项和为nS，33a，410S，则11nkkS 2n1n 16.已知F是抛物线C:28yx的焦点，是C上一点，F的延长线交y轴于点 若为F的中点，则F 6 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第 17

6、21 题为必做题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17.（12 分）ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c,已知2sin()8sin2BAC(1)求cos B (2)若6ac,ABC面积为 2,求.b 解：（1）由题设及2sin8sin2ABCB得，故 sin4-cosBB（1）上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0 解得 15cosB=cosB171（舍去），=（2）由158cosBsin B1717=得，故14a sin217ABCScBac 历年高考真题 5 又17=22ABCSac，则

7、由余弦定理及a6c 得 2222b2cosa2(1 cosB)1715362(1)2174acacBac（+c）所以 b=2.18.（12 分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于 50kg,新养殖法的箱产量不低于 50kg,估计 A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg 箱产量50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新

8、养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01）P（）0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 6 22()()()()()n adbcKab cdac bd 解：（1）记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”由题意知 P AP BCP B P C 旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为 0.0400.0340.0240.0140.0125=0.62（）故 P B的估计值为 0.62 新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为 0.0680.0460.0100.0085=0.66（）故 P C的估计值为 0.6

9、6 因此，事件 A 的概率估计值为0.62 0.660.4092（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量50kg 箱产量50kg 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66 222006266343815.705100 10096 104K 由于15.705 6.635 故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为 0.0040.0200.04450.340.5，箱产量低于55kg的直方图面积为 0.0040.0200.044+0.06850.680.5 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 历年高考真题 7 0.5

10、-0.3450+2.35 kg0.068（）5 19.（12 分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，o1,90,2ABBCADBADABC E是PD的中点.（1）证明：直线/CE 平面PAB;（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为o45，求二面角M-AB-D的余弦值.解：（1）取PA中点F，连结EF，BF 因为E为PD的中点，所以EFAD,12EFAD=,由90BADABC得BCAD，又12BCAD 所以EFBC四边形BCEF为平行四边形，CEBF 又BFPAB平面，CEPAB平面，故CEPAB平面（2）由已知得BAAD,以 A 为坐标

11、原点，AB的方向为 x 轴正方向，AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,则 8 则(000)A，(100)B，(1 10)C，(013)P，(103)PC，,(1 0 0)AB，则(x 1),(x13)BMyzPMyz，因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45，而(0 0)n，1是底面 ABCD 的法向量，所以 0cos,sin45BMn，222z22(x 1)yz，即（x-1）+y-z=0，又 M 在棱 PC 上，设,PMPC则 x,1,33yz，由，得xxyy 22=1+=1-22=1(舍去)，=166zz22 所以 M261-,1，22，从而261-,1，22 A

12、M，设000,xyzm=是平面 ABM 的法向量，则 00002-22600即00 xyzAMABxmm，所以可取m=（0，-6，2）.于是cos105m nm,nm n.因此二面角 M-AB-D 的余弦值为105.20.（12 分）9 设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2212xy上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足2NPNM.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x=-3 上，且1OP PQ.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解：（1）设 P（x,y）,M（x0,y0）,设 N（x0,0）,00,0,NPxxyNMy 由2NPNM得002=,2xx yy 因为 M（x0

13、,y0）在 C 上，所以22122xy 因此点 P 的轨迹方程为222xy（2）由题意知 F（-1,0）.设 Q（-3，t）,P(m,n),则 3,1,33t OQ,PFmnOQ PFmtn，,3,OPm,nPQm,tn 由1OP PQ得22-31mmtnn，又由（1）知22+=2mn，故 3+3m-tn=0 所以0OQ PF，即OQPF.又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ的直线 l 过 C 的左焦点 F.21.（12 分）已知函数3()ln,f xaxaxxx且()0f x.（1）求 a；（2）证明：()f x存在唯一的极大值点0 x，且230()2ef x.

14、解：（1）fx的定义域为0，+，10 设 gx=ax-a-lnx，则 fx=xgx,fx0等价于 0gx，因为 11=0，0,故1=0,而,1=1,得1ggxggxagaax，若 a=1，则 11gx=x.当 0 x1 时，0,gxgx单调递减；当 x1 时，g x0，gx单调递增.所以 x=1 是 g x的极小值点，故 1=0gxg，综上，a=1.（2）由（1）知 2ln,()22lnf xxxxxfxxx，设 122 ln,则()2hxxxh xx，当10,2x时，0h x；当1,+2x时，0h x，所以 h x在10,2单调递减，在1,+2单调递增，又 210,0,102hehh，所以

15、h x在10,2有唯一零点 x0，在1,+2有唯一零点 1，且当00,xx时，0hx；当0,1xx时，0hx，当1,+x时，0hx.因为 f xhx，所以 x=x0是 f(x)的唯一极大值点.由 0000000 得 ln2(1),故=(1)f xxxf xxx.由00,1x得 014f x.因为 x=x0是 f(x)在（0,1）的最大值点，由 110,1,0ef e得 120f xf ee，所以 2-202ef x.（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）11 在直角坐标系 xOy 中，

16、以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为cos4（1）M 为曲线1C上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|16OMOP,求点 P 的轨迹2C的直角坐标方程；（2）设点 A 的极坐标为(2,)3，点 B 在曲线2C上，求OAB面积的最大值 解：（1）设 P 的极坐标为，0，M 的极坐标为11，0，由题设知 cos14=，=OPOM=，由16OMOP=得2C的极坐标方程cos=40 因此2C的直角坐标方程为22240 xyx（2）设点 B 的极坐标为，0BB,由题设知 cos=2，=4BOA,于是OAB 面积 1=sin24 cossin332sin 23223BSOAAOB 当=-12时，S 取得最大值2+3，所以OAB 面积的最大值为2+3.23.选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知330,0,2abab，证明：（1）33()()4ab ab；12（2）2ab 解：（1）5565562333 344222244ababaaba bbaba bab abab ab（2）因为 33223233323+3+3+2+244abaa babbab a ba ba ba b 所以3+8a b，因此 a+b2.