河南省2020年中考数学压轴题全揭秘专题11实际问题中的方程(组)与函数题型(含解析)42715.pdf

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1、专题 11 实际问题中的方程（组）与函数题型 【例 1】（2019郑州外国语测试）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40 元，规定销售单价不低于 44 元，且获利不高于 30%，在试销售期间发现，当销售单价定为 44 元时，每天可售出 300 本，销售单价每上涨 1 元，每天销售量减少 10 本，现商店决定提价销售，设每天销售量为y本，销售单价为x元.（1）请直接写出y与x直接的函数关系式及x的取值范围；（2）当每本足球纪念册的销售单价是多少元时，商店每天获利 2400 元？（3）当每本足球纪念册的销售单价是多少元时，商店每天的利润w最大？最大利润是多少元？【答案】见解

2、析.【解析】解：（1）y=30010(x44)，整理得：y=10 x+740，（44x52）；（2）由题意得：（x40）（10 x+740）=2400，解得：x=50，x=64（舍），即当每本足球纪念册的销售单价是 50 元时，商店每天获利 2400 元.（3）由题意得：w=（x40）（10 x+740）=10（x57）2+2890 100，对称轴为x=57，当x57 时，w随x增大而增大，44x52，当x=52 时，w取最大值，最大为 2640 元，即当每本足球纪念册的销售单价是 52 元时，商店每天的利润最大，最大利润是 2640 元.【例 2】（2018河师大附中模拟）某养殖专业户计划购

3、买甲、乙两种牲畜，已知乙种牲畜的单价是甲种牲畜单价的 2 倍多 200 元，买 3 头甲种牲畜和 1 头乙种牲畜共需 5700 元.（1）甲、乙两种牲畜的单价各是多少元？（2）相关资料表明：甲、乙两种牲畜的成活率分别为 95%和 99%，若购买以上两种牲畜共 50 头，并使这 50 头的成活率不低于 97%，且要使购买的总费用最低，应如何购买？【答案】见解析.【解析】解：（1）设甲种牲畜的单价为x元，由题意得：3x+2x+3000=7500，解得：x=1100，21100+200=2400，即甲种牲畜的单价为 1100 元，乙种牲畜的单价为 2400 元.（2）设购买甲种牲畜m头时，总购买费用

4、为w元，则w=1100m+2400（50m）=1300m+120000，由题意知：95%m+99%（50m）97%50，解得：m25，即 0m25，13000，w随m的增大而减小，当m=25 时，w取最小值，即费用最低，购买两种牛各 25 头时，费用最低.【变式 2-1】（2019三门峡二模）水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少 2 元，发现原来买这种水果 80 千克的钱，现在可买 88 千克（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系 求y与

5、x之间的函数关系式；请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润销售收入进货金额）【答案】见解析【解析】解：（1）设现在实际购进这种水果价格为每千克a元，则原来价格为每千克（a+2）元，由题意，得：80（a+2）88a，解得：a20 即现在实际购进这种水果每千克 20 元；（2）设y与x之间的函数关系式为：ykx+b，将（25，165），（35，55）代入ykx+b得，251653555kbkb，解得：11440kb，即y与x之间的函数关系式为：y11x+440；设这种水果的销售价格为x元/千克时，利润为w元，则w（x20）y（x20）（11x+

6、440）11（x30）2+1100，110，当x30 时，w有最大值，最大值为 1100 即这种水果的销售单价定为 30 元时，能获得最大利润，最大利润是 1100 元【例 3】（2018洛阳三模）在江苏卫视最强大脑节目中，搭载百度大脑的机器人小度以 3:1 的总成绩，斩获 2017 年度脑王巅峰对决的晋级资格，人工智能时代已经扑面而来 某商场第一次用 11000 元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用 24000 元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的 2 倍，但单价贵了 10 元（1）求该商家第一次购进机器人多少个？（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕

7、的利润率不低于 20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？【答案】见解析.【解析】解：（1）设该商家第一次购进机器人x个，由题意得：1100024000102xx，解得：x=100 经检验，x=100 是所列方程的解，且符合题意 答：该商家第一次购进机器人 100 个（2）设每个机器人的标价是a元 由题意得：a110002400020%，解得：a140 答：每个机器人的标价至少是 140 元【变式 3-1】（2019周口二模）由于技术更新，智能电视的功能越来越强大，价格也逐渐下降，某电器商行经营的A款 40 英寸智能电视去年销售总额为 5 万元，今年每台销售价比去年降低 40

8、0 元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少 20%（1）今年A款 40 英寸智能电视每台售价多少元？（用列方程的方法解答）（2）该电器商行计划新进一批A款 40 英寸智能电视和新款B款 40 英寸智能电视共 60 台，且B款 40英寸智能电视的进货数量不超过A款 40 英寸智能电视数量的两倍，应如何进货才能使这批智能电视获利最多？A，B两款 40 英寸智能电视的进货和销售价格如下表：A款 40 英寸智能电视 B款 40 英寸智能电视 进货价格（元）1 100 1 400 销售价格（元）今年的销售价格 2 000【答案】见解析.【解析】解：设今年A款 40 英寸智能电视每台售价为x元，则去年

9、每台售价为（x+400）元，由题意得：50000120%50000400 xx，解得：x=1600，经检验，x=1600 是原方程的解，符合题意，今年A款 40 英寸智能电视每台售价为 1600 元.（2）设购进A款电视a台，则购进B款（60a）台，此时获利y元，y=（1600-1100）a+（2000-1400）（60-a）=-100a+36000，其中：60-a2a，0a60，即 20a60，且a为整数；-1000，w随m的增大而增大，当m=50 时，运费最少，最少为 450 元，当购买A种产品 50 个，B种产品 50 个时，总运费最少，最少为 450 元.1.（2019济源一模）为支持

10、国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，种植草莓不超过 20 亩时，所得利润 y（元）与种植面积 m（亩）满足关系式 y=1 500 m；超过 20亩时，y=1380m+2400而当种植樱桃的面积不超过 15 亩时，每亩可获得利润 1800 元；超过 15 亩时，每亩获得利润 z（元）与种植面积 x（亩）之间的函数关系式为 z=20 x+2 100（1）设小王家种植 x 亩樱桃所获得的利润为 P 元，直接写出 P 关于 x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如果小王家计划承包 40 亩荒山种植草莓和樱桃，当种植樱桃面积（x亩）满足 0 x20 时，求小王家

11、总共获得的利润w（元）的最大值【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意得：2180001520210015xxpxxx（2）种植樱桃面积x亩，则种植草莓面积（40 x）亩，由题意知，当 00，w随x的增大而增大，当x=15 时，w最大，最大值为 63900，当 15x20 时，w=20 x2+2100 x+1380(40 x)+2400=20（x18）2+64080，2063900，当x=18 时，小王家总共获得的利润w取最大值，最大值为 64080 元.2.（2019洛阳二模）某游乐园的门票销售分两类：一类个人门票，分为成人票，儿童票；一类为团体门票（一次购买门票 10 张及以上），每张门票

12、在成人票价格基础上打 6 折已知一个成人带两个儿童购门票需 80 元；两个成人带一个儿童购门票需 100 元（1）每张成人票和儿童票的价格分别是多少元？（2）光明小学 4 名老师带领 x 名儿童到该游乐园，设购买门票需 y 元 若每人分别购票，求 y 与 x 之间的函数关系式；若购买团体票，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；请根据儿童人数变化设计一种比较省钱的购票方案【答案】见解析.【解析】解：设成人票每张a元，儿童票每张b元，由题意得：a+2b=80，2a+b=100，解得：a=40，b=20，即成人票每张 40 元，儿童票每张 20 元；（2）y=440+20

13、 x=160+20 x y=400.6（x+4）=24x+96，由x+410，得x6，且x为整数.（i）当 160+20 x24x+96,即x16，当 6x16 且x为整数时，应全部购买团体票较为优惠；（ii）当 160+20 x=24x+96,即x=16，当x=16 时，购买团体票或分别购买均可以；（iii）当 160+20 x16，当x16 且x为整数时，应分别购买较为优惠.3.（2019洛阳三模）近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加，某商场从厂家购进了 A，B 两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：A 型销售数量（台）B 型销售数量（台）总

14、利润（元）5 3 950 3 4 900（1）每台 A 型空气净化器和 B 型空气净化器的销售利润分别是多少？（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共 80 台，其中 B 型空气净化器的进货量不多于 A 型空气净化器的 2 倍，为使该公司销售完这 80 台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案；（3）已知 A 型空气净化器的净化能力为 200 m3/小时，B 型空气净化器的净化能力为 300 m3/小时，某长方体室内活动场地的总面积为 200 m2，室内墙高 3 m，该场地负责人计划购买 5 台空气净化器每天花费 30 分钟将室内空气净化一新，若不考虑空气对流等因素，至多要购买

15、 A 型空气净化器多少台？【答案】见解析.【解析】解：(1)设每台 A 型空气净化器和 B 型空气净化器的销售利润分别是x元，y元，由题意得：5395034900 xyxy，解得：x=100，y=150，每台 A 型空气净化器和 B 型空气净化器的销售利润分别是 100 元，150 元.（2）设购买A型m台，则购进B型（80 x）台，利此时润为w元，由题意知：80m2m，0m80，m为整数 可得：803m80，m为整数，W=100m+150（80m）=50m+12000，5035 时，购买B品牌的计算器更合算 6.（2018信阳一模）某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知 2

16、根A型跳绳和 1根B型跳绳共需 56 元，1 根A型跳绳和 2 根B型跳绳共需 82 元（1）求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？（2）学校准备购进这两种型号的跳绳共 50 根，并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的 3 倍，请设计书最省钱的购买方案，并说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）设一根A型跳绳售价是x元，一根B型跳绳的售价是y元，根据题意，得：2x+y=56，x+2y=82，解得：x=10，y=36，即一根A型跳绳售价是 10 元，一根B型跳绳的售价是 36 元；（2）由m3（50m），得：m37.5，0m37，且m为整数，设购进A型跳绳m根，总费用为W元，根据题意，得

17、：W=10m+36（50m）=26m+1800，260，W随m的增大而减小，当m=37 时，W最小=838，即当购买A型跳绳 37 根，B型跳绳 13 根时，最省钱 7.（2019南阳毕业测试）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共 17 棵，已知A种树苗每棵 80 元，B种树苗每棵 60 元（1）若购进A、B两种树苗刚好用去 1220 元，问购进A、B两种树苗各多少棵？（2）若购进A种树苗a棵，所需费用为W，求W与x的函数关系式；（3）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用【答案】见解析.【解析】解：（1）设购

18、进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17x）棵，由题意得：80 x+60（17x）1220，解得：x10，即购进A种树苗 10 棵，B种树苗 7 棵；（2）W与a的函数关系式：W80a+60（17a）20a+1020；（3）由题意得：17a8.5，8.5a17，且a为整数，由（2）知，W20a+1020，W随a的增大而增大，a=9 时，即购买 9 棵A种树苗，8 棵B种树苗时，费用最少，W809+6081200，即购买 9 棵A种树苗，8 棵B种树苗时，费用最少，需要 1200 元 8.（2019开封二模）孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升某校计划购进A，B两种树木共 100 棵进行校

19、园绿化升级，经市场调查：购买A种树木 2 棵，B种树木 5 棵，共需 600 元；购买A种树木 3 棵，B种树木 1 棵，共需 380 元（1）求A种，B种树木每棵各多少元？（2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的 3 倍学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用【答案】见解析【解析】解：（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，依题意得：256003380 xyxy，解得：10080 xy，答：A种树每棵 100 元，B种树每棵 80 元；（2）设购买A

20、种树木为a棵，则购买B种树木为（100a）棵，有a3（100a），解得：a75 设实际花费金额是y元，则：y0.9100a+80（100a）18a+7200 180，y随a的增大而增大，当a75 时，y取最小值，即当a75 时，y最小值1875+72008550（元）答：当购买A种树木 75 棵，B种树木 25 棵时，所需费用最少，最少为 8550 元 9.（2019安阳一模）某校计划购进甲、乙两种规格的书架，经市场调查发现有线上和线下两种购买方式，具体情况如下表：规格 线下 线上 单价（元/个）运费（元/个）单价（元/个）运费（元/个）甲 240 0 210 20 乙 300 0 250 3

21、0（1）如果在线下购买甲、乙两种书架共 30 个，花费 8 280 元，求甲、乙两种书架各购买了多少个？（2）如果在线上购买甲、乙两种书架共 30 个，且购买乙种书架的数量不少于甲种书架的 3 倍，请求出花费最少的购买方案及花费【答案】见解析.【解析】解：（1）设线下购买甲种书架x个，乙种书架y个，由题意得：302403008280 xyxy，解得：1218xy，即线下购买甲种书架 12 个，乙种书架 18 个.（2）设购买甲种书架a个，则购买乙种书架（30a）个，总花费为w元，30a3a，即a7.5（其中a为正整数），W=（210+20）a+（250+30）（30a）=-50a+8400，-

22、500，w随a的增大而减小，当a=7 时，w最小，最小值为 8050 元，即当购买 7 个甲种书架，23 个乙种书架时，总费用最低，最低为 8050 元.10.（2019省实验一模）某超市销售一种商品，成本每千克 40 元，规定每千克售价不低于成本，且不高于 80 元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/千克）50 60 70 销售量y（千克）100 80 60（1）求y与x之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润收入成本）；（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出

23、售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？【答案】见解析【解析】解：（1）设y与x之间的函数解析式为ykx+b，由题意得：501006080kbkb，解得：2200kb，y与x之间的函数表达式是：y2x+200；（2）由题意得，W（x40）（2x+200）2（x70）2+1800，（3）W2（x70）2+1800，40 x80，20，当 40 x70 时，W随x的增大而增大，当 70 x80 时，W随x的增大而减小，且当x70 时，W取得最大值，此时W1800.11.（2019叶县一模）小王是“新星厂”的一名工人，请你阅读下列信息：信息一：工人工作时间：每天上午 8：0012：00，下午 1

24、4：0018：00，每月工作 25 天；信息二：小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表：生产甲产品数（件）生产乙产品数（件）所用时间（分钟）10 10 350 30 20 850 信息三：按件计酬，每生产一件甲种产品得 1.50 元，每生产一件乙种产品得 2.80 元 信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成，小王每月的底薪为 1900 元，请根据以上信息，解答下列问题：（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟；（2）2018 年 1 月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于 60 件，则小王该月收入最多是多少元？此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多

25、少件？【答案】见解析【解析】解：（1）设生产一件甲种产品需x分钟，生产一件乙种产品需y分钟 由题意得：10103503020850 xyxy，解得：x=15，y=20，即生产一件甲产品需要 15 分钟，生产一件乙产品需要 20 分钟（2）设生产甲种产品共用x分钟，则生产乙种产品用（25860 x）=（12000 x）分钟，收入为w元，则生产甲种产品15x件，生产乙种产品1200020 x件 w1.515x+2.81200020 x 0.04x+1680，15x60，即：x900，w0.04x+1680 中，0.041500，在试销阶段的第 20 天时利润最大，最大利润为 1800 元 21.（

26、2019中原名校大联考）某工艺品店购进A，B两种工艺品，已知这两种工艺品的单价之和为 200元，购进 2 个A种工艺品和 3 个B种工艺品需花费 520 元（1）求A，B两种工艺品的单价；（2）该店主欲用 9600 元用于进货，且最多购进A种工艺品 36 个，B种工艺品的数量不超过A种工艺品的 2 倍，则共有几种进货方案？（3）已知售出一个A种工艺品可获利 10 元，售出一个B种工艺品可获利 18 元，该店主决定每售出一个B种工艺品，为希望工程捐款m元，在（2）的条件下，若A，B两种工艺品全部售出后所有方案获利均相同，则m的值是多少？此时店主可获利多少元？【答案】见解析【解析】解：解：（1）设A种工艺品的单价为x元，B种工艺品的单价为y元，由题意，得：20023520 xyxy，解得：80120 xy 答：A种工艺品的单价为 80 元，B种工艺品的单价为 120 元（2）设购进A种工艺品a个，则购进B种工艺品960080120a个，由题意，得：9600802120aa，a36，解得：30a36 a为正整数，3630+1=7，共有 7 种进货方案（3）设总利润为w元，由题意，得：w10a+（18m）960080120a（23m2）a+144080m，由题意得：23m20，m3，w144080m1200 答：m的值是 3，此时店主可获利 1200 元