2020届湖南省长沙市长郡中学高三月考(一)数学(文)试题及答案3277.pdf

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1、 炎德英才大联考长郡中学 2020 届高三月考试卷（一）数学（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.复数201911ii A.1 B.-1 C.i D.i 2.已知集合07UxNx，2,5A，1,3,5B，则UAB（）A.1,3,5,6 B.1,5 C.2,5 D.1,3 3.三个数6log 7，60.7，0.7log6的大小顺序是()A.60.76log60.7log 7 B.660.70.7log 7log6 C.60.76log6log 70.7 D.60.760.7log6log 7 4.已知双曲线的一

2、条渐近线方程为2yx，且经过点2,2 5，则该双曲线的标准方程为（）A.2214xy B.2214yx C.2214yx D.2214xy 5.已知是给定的平面，设不在内的任意两点 M，N所在的直线为 l，则下列命题正确的是（）A.在内存在直线与直线 l异面 B.在内存在直线与直线 l相交 C.在内存在直线与直线 l平行 D.存在过直线 l的平面与平行 6.A4纸是生活中最常用的纸规格A系列的纸张规格特色在于：A0、A1、A2、A5，所有尺寸的纸张长宽比都相同在 A 系列纸中，前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后，可以得到两张后面序号大小的纸，比如 1张 A0纸对裁后可以得到

3、 2张 A1纸，1 张 A1纸对裁可以得到 2张 A2纸，依此类 推这是因为 A系列纸张的长宽比为2：1 这一特殊比例，所以具备这种特性已知 A0纸规格为 84.1 厘米118.9 厘米.118.984.11.412，那么 A4纸的长度为（）A.14.8厘米 B.21.0厘米 C.29.7厘米 D.42.0厘米 7.函数()sin2f xx xx的大致图象是（）A.B.C.D.8.若非零向量,a b满足|,(2)0ababb，则,a b的夹角为（）A.6 B.3 C.56 D.23 9.已知数列 na的前n项和为nS，若13,a 113 22nnnSSn，则5S（）A.324 B.93 C.1

4、44 D.45 10.如图，在一个棱长为 2 的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食落在圆锥外面”的概率是（）A.14 B.12 C.4 D.112 11.设 P，Q分别是圆2262xy和椭圆22110 xy上的点，则 P，Q两点间的最大距离是()A.5 2 B.462 C.6 2 D.72 12.已知函数 f x满足110fxfx，且 fxf x，则2019f（）A.1 B.0 C.1 D.2 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知数列 na的前n项

5、和2nSn，则4a _.14.已知函数 1sin2f xxx，则 f x在点22,33f处切线的倾斜角为_.15.4cos50tan40_ 16.已知三棱锥ABCD，1AB，2AC，2AD，当ABCABDACDSSS取最大值时，三棱锥ABCD的外接球表面积是_.三、解答题：本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721题为必考题.每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题.考生根据要求作答.17.2022 年第 24 届冬奥会将在中国北京和张家口举行，为了宣传冬奥会，某大学从全校学生中随机抽取了120 名学生，对是否收看第 23 届平昌冬奥会开幕式情况进行了问

6、卷调查，统计数据如下：收看 没收看 男生 60 20 女生 20 20 （1）根据上表数据，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取 8人，参加 2022年北京冬奥会志愿者宣传活动，若从这 8人中随机选取 2人到较广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率.附：22n adbcKabcdacbd，其中nabcd .P（20Kk）0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 18.在ABC中，内角A、B、C的对边分别为

7、a、b、c，且满足22sinsinsin6sin0AABB.（1）求ab的值；（2）若3cos4C，求sinB的值.19.如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，60BACCAD，ABBC，ADDC，点E为PD的中点，2PA，4AC.（1）证明：PB平面AEC；（2）求点D到平面AEC的距离.20.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 C：24yx的焦点为 F，过 F 的直线l交抛物线 C 于 A，B 两点 （1）求线段 AF 的中点 M 的轨迹方程；（2）已知AOB 的面积是BOF 面积的 3 倍，求直线l的方程 21.已知函数2()22ln(0)f xaxxx a（1）若()f x

8、在其定义域上是单调增函数，求实数a的取值集合；（2）当38a 时，函数()yf x在,)()nenZ有零点，求n的最大值 22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2 3cos2sinxy，其中为参数，(0,).在以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为(4 2,)4，直线l的极坐标方程为 sin()5 204.(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；(2)若Q是曲线C上的动点，M为线段PQ的中点.求点M到直线l的距离的最大值.23.设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c=1，证明：（）ab+bc+ac13；（）2221abcbca.炎德英才大联考长郡

9、中学 2020 届高三月考试卷（一）数学（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.复数201911ii A.1 B.-1 C.i D.i【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算11ii，再由虚数单位i的性质求解【详解】21(1)21(1)(1)2iiiiiii，20192019450431()()?1iiiiii 故答案为D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 2.已知集合07UxNx，2,5A，1,3,5B，则UAB（）A.1,3,5,6 B.1,5 C.2,5 D.

10、1,3【答案】D【解析】【分析】利用集合的交、并、补的混合运算即可求解.【详解】071,2,3,4,5,6UxxN，则1,3,4,6UA，则 1,3UAB.故选：D.【点睛】本题考查了集合的交、并、补混合运算，需掌握交、并、补的概念，属于基础题.3.三个数6log 7，60.7，0.7log6的大小顺序是()A.60.76log60.7log 7 B.660.70.7log 7log6 C.60.76log6log 70.7 D.60.760.7log6log 7【答案】A【解析】【分析】由指数函数和对数函数单调性得出范围，从而得出结果【详解】66log 7log 61，6000.70.71，

11、0.70.7log6log10；60.76log60.77log 故选 A【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，熟记函数性质是解题的关键，是基础题.4.已知双曲线的一条渐近线方程为2yx，且经过点2,2 5，则该双曲线的标准方程为（）A.2214xy B.2214yx C.2214yx D.2214xy 【答案】B【解析】【分析】对选项逐一分析排除，由此得出正确选项.【详解】对于 A 选项，双曲线的渐近线为12yx，不符合题意.对于 B 选项，双曲线的渐近线为2yx，且过点2,2 5，符合题意.对于 C 选项，双曲线的渐近线为2yx，但不过点2,2 5，不符合题意.对于 D 选项，双曲线

12、的渐近线为12yx，不符合题意.综上所述，本小题选 B.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线标准方程的求法，属于基础题.5.已知是给定的平面，设不在内的任意两点 M，N所在的直线为 l，则下列命题正确的是（）A.在内存在直线与直线 l异面 B.在内存在直线与直线 l相交 C.在内存在直线与直线 l平行 D.存在过直线 l的平面与平行【答案】A【解析】【分析】利用 M、N 是不在内的任意两点，可得直线 l 与平面平行或相交，进而可判断直线与平面内直线的位置关系.【详解】M、N 是不在内的任意两点，则直线 l与平面平行或相交，若 l与平面平行，则在内不存在直线与直线 l相交，所以

13、B 错误：若直线 l与平面相交，则不存在过直线 l的平面与平行，所以 D 错误：若直线 l与平面相交，则在内都不存在直线与直线 l平行，所以 C 错误；不论直线 l与平面平行还是相交.在内都存在直线与直线 l异面，所以 A 正确.故选：A.【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，属于基础题.6.A4纸是生活中最常用的纸规格A系列的纸张规格特色在于：A0、A1、A2、A5，所有尺寸的纸张长宽比都相同在 A 系列纸中，前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后，可以得到两张后面序号大小的纸，比如 1张 A0纸对裁后可以得到 2张 A1纸，1 张 A1纸对裁可以得到 2张 A2纸，依此类

14、推这是因为 A系列纸张的长宽比为2：1 这一特殊比例，所以具备这种特性已知 A0纸规格为 84.1 厘米118.9 厘米.118.984.11.412，那么 A4纸的长度为（）A.14.8厘米 B.21.0厘米 C.29.7厘米 D.42.0厘米【答案】C【解析】【分析】根据对折规律可得 A4纸的长度.【详解】由题意，A0纸的长与宽分别为 118.9 厘米，84.1 厘米，则 A1纸的长为118.92，A2纸的长为2118.9118.922(2)，A3纸的长为23118.9118.9(2)2(2)，A4纸的长为34118.9118.9(2)2(2)=29.7（厘米）故选 C【点睛】本题考查的是

15、图形的变化规律，根据题意正确找出图形变化过程中存在的规律是解题的关键.7.函数()sin2f xx xx的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先判断函数的奇偶性,再求 0f，进行排除，可得选项【详解】由题意得()sin2sin2()fxxxxx xxf x ，所以函数()f x是奇函数，排除C、D 选项；当x 时，2 20fsin，因此排除 B，故选 A【点睛】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的特点，属于基础题 8.若非零向量,a b满足|,(2)0ababb，则,a b的夹角为（）A.6 B.3 C.56 D.23【答案】D【解析】【分析】直接利用数

16、量积的运算法则化简已知即得解.【详解】由题得2222+=02cos,0a b bba bb，所以12cos,23a ba b.故选 D【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量的夹角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知数列 na的前n项和为nS，若13,a 113 22nnnSSn，则5S（）A.324 B.93 C.144 D.45 【答案】B【解析】【分析】先由113?22nnnSSn求出na，结合等比数列的前n项和公式，可求出结果【详解】因为113?22nnnSSn，所以13?22nnan，又13a 满足13?2nna，因此数列 na是以 3 为首项，以 2

17、为公比的等比数列.所以553 1 2931 2S.故选 B【点睛】本题主要考查等比数列的概念以及求和公式，熟记概念和求和公式即可，属于基础题型.10.如图，在一个棱长为 2 的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食落在圆锥外面”的概率是（）A.14 B.12 C.4 D.112【答案】A【解析】【详解】由题意,正方形的面积为 22=4.圆锥的底面面积为.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是 1-4.故选 A.11.设 P，Q分别是圆2262xy和椭圆22110 xy上的点，则

18、 P，Q两点间的最大距离是()A.5 2 B.462 C.6 2 D.72【答案】C【解析】【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出 P，Q 两点间的最大距离.【详解】圆2262xy的圆心为M(0,6)，半径为2，设00,Q x y，则2200110 xy，即01,1y ，MQ 222000265093xyy0,?1,1y 当0y 23时，5 2MQ最大，故PQ的最大值为6 2.故选 C.【点睛】本题考查了椭圆与圆的综合，圆外任意一点到圆的最大距离是这个点到圆心的距离与圆的半径之和，根据圆外点在椭圆上，即可列出椭圆上一点到圆心的距离的解析式，结合函数最值，即可求得椭圆上一点到

19、圆上一点的最大值.12.已知函数 f x满足110fxfx，且 fxf x，则2019f（）A.1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】利用110fxfx可得函数周期为 4，进而可得 20191ff，令0 x 得 10f，即可求解.【详解】由110fxfx，得11fxfx.所以211fxfxfx ，又 fxf x.所以 24fxfxfxfx，所以函数 f x是以 4为周期的周期函数.所以 20194504333411ffffff，在110fxfx中令0 x 得 10f.故选：B.【点睛】本题考查了函数的奇偶性与周期性求函数值，同时考查了求抽象函数的函数值，属于基础题.二、填空题：本

20、大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知数列 na的前n项和2nSn，则4a _.【答案】7【解析】【分析】利用443aSS求解.【详解】由题得4431697aSS.故答案为 7【点睛】本题主要考查数列项和公式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知函数 1sin2f xxx，则 f x在点22,33f处切线的倾斜角为_.【答案】4【解析】【分析】求出函数的导函数 1cos2fxx，进而求出213f，利用导数的几何意义以及斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】由题意，函数 1sin2f xxx，则 1cos2fxx.所以21211cos132322f，则函

21、数 f x在点22,33f处切线的倾斜角为4.故答案为：4【点睛】本题考查了导数的几何意义以及斜率与倾斜角的关系，解题的关键是基本初等函数的导数，属于基础题.15.4cos50tan40_【答案】3【解析】【详解】4sin40 cos40sin404cos50tan40cos40 2cos10sin30 cos10sin10 cos30cos40,313cos10sin1022cos40 3cos403cos40,故答案为3.考点：三角函数诱导公式、切割化弦思想.16.已知三棱锥ABCD，1AB，2AC，2AD，当ABCABDACDSSS取最大值时，三棱锥ABCD的外接球表面积是_.【答案】9

22、【解析】【分析】由题意分析当ABCABDACDSSS取最大值时AB，AC，AD两两垂直，从而可得以AB，AC，AD为长方体的三条棱，长方体的外接球也即是三棱锥ABCD的外接球，长方体的对角线即为外接球直径，利用球的表面积公式即可求解.【详解】当ABCABDACDSSS取最大值时AB，AC，AD两两垂直，此时以AB，AC，AD为长方体的三条棱，长方体的外接球也即是三棱锥ABCD的外接球，长方体的对角线长为221223，设球的半径为 R，则23R，球的表面积为229R.故答案为：9【点睛】本题考查了多面题的外接球问题以及球的表面积公式，需熟记公式，属于基础题.三、解答题：本大题共 70 分.解答应

23、写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721题为必考题.每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题.考生根据要求作答.17.2022 年第 24 届冬奥会将在中国北京和张家口举行，为了宣传冬奥会，某大学从全校学生中随机抽取了120 名学生，对是否收看第 23 届平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：收看 没收看 男生 60 20 女生 20 20 （1）根据上表数据，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取 8人，参加 2022年北京冬奥会志愿者宣传活动，若从这 8人中随机选取 2人到较广播站

24、开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率.附：22n adbcKabcdacbd，其中nabcd .P（20Kk）0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 【答案】（1）有；（2）37【解析】分析】（1）根据列联表计算出2K，结合附表即可求解.（2）根据分层抽样可得选取的 8 人中，男生有 6 人，女生有 2 人，再利用组合式以及古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】（1）因为2212060 2020 207.56.63580 40 80 40K，所以有99%的把握认为，收着开幕式与性别有关.

25、（2）根据分层抽样方法得，男生3864 人，女生1824人，所以选取的 8人中，男生有 6人，女生有 2 人，再从这 8人中，选取 2 人的所有情况共有288 7282C种，其中恰有一名男生一名女生的情况共有11626212CC种，所以，所求概率123287P.【点睛】本题考查了独立性检验、分层抽样、组合数以及古典概型的概率计算公式，属于基础题.18.在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足22sinsinsin6sin0AABB.（1）求ab的值；（2）若3cos4C，求sinB的值.【答案】（1）2；（2）148【解析】【分析】（1）对22sinsin sin6sin0AA

26、BB两边同除以2sin B，即可求得sin2sinAB，结合正弦定理即可得解（2）由余弦定理及2ab可得2cb，再利用余弦定理即可求得5 2cos8B，问题得解【详解】（1）因为22sinsin sin6sin0AABB，sin0B，所以2sinsin60sinsinAABB，得sin2sinAB或sin3sinAB（舍去），由正弦定理得sin2sinaAbB.（2）由余弦定理得2223cos24abcCab 将2ab，即2ab代入，得22253bcb，得2cb，由余弦定理得：222cos2acbBac，即：222245 2cos8222bbbBbb，则214sin1cos8BB.【点睛】本题

27、主要考查了正、余弦定理及同角三角函数基本关系，考查计算能力及方程思想，属于中档题 19.如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，60BACCAD，ABBC，ADDC，点E为PD的中点，2PA，4AC.（1）证明：PB平面AEC；（2）求点D到平面AEC的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）2 217.【解析】【分析】（1）先连接BD交AC于O点，再根据线面平行的判定定理，即可证明出结论成立；（2）先由线面垂直的判定定理，证明CD 平面PAD，得到CDPD，再由勾股定理得到AECE，设点D到平面AEC的距离为h，根据111332AECACDShSPA，即可求出结果.【详解】（1）证明：

28、连接BD交AC于O点，因为60BACCAD，90ABCADC，ACAC，所以Rt ABCRt ADC，ABAD.又AO为BAD的平分线，所以AOBD，且O为BD中点.又因为E为PD的中点，所以OEPB.因为PB 平面AEC，OE 平面AEC，所以PB平面AEC.（2）解：在1C中，4AC，60CAD，所以2AD，CD2 3.由PA 平面ABCD，得PACD，因为ADCD，PAADA，所以CD 平面PAD，从而CDPD.在RtPAD中，2PA，2AD，所以2 2PD，2AEED，在RtCDE中可得14EC，且满足222ACAEEC，所以AECE.所以121472AECS，12 2 32 32AC

29、DS.设点D到平面AEC的距离为h，则111332AECACDShSPA，解得2 32 2177h.【点睛】本题主要考查线面平行的证明，以及点到面的距离，熟记线面平行，线面垂直的判定定理以及性质，即可求解，属于常考题型.20.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 C：24yx的焦点为 F，过 F 的直线l交抛物线 C 于 A，B 两点 （1）求线段 AF 的中点 M 的轨迹方程；（2）已知AOB 的面积是BOF 面积的 3 倍，求直线l的方程【答案】（1）221yx；（2）2 21yx 【解析】【分析】（1）设线段 AF 的中点的坐标为,M x y，11,A x y，即可求得1121,2xxy

30、y，将它们代入24yx即可得解（2）设 1122,A x yB x y，由AOB 的面积是BOF 面积的 3 倍可得：直线AB的斜率存在，且OAF的面积是OBF面积的 2 倍，即可整理得：122yy，设直线AB的方程为：1yk x，联立直线方程与抛物线方程可得：124yyk，124yy，结合122yy 即可求得：2 2k ，问题得解【详解】（1）设线段 AF 的中点的坐标为,M x y，11,A x y 由抛物线C的方程24yx可得：焦点1,0F 由中点坐标公式可得：1110,22xyxy 即：1121,2xxyy 又11,A x y在抛物线24yx上，所以2114yx，将1121,2xxyy

31、代入上式可得：224 21yx 整理得：221yx 所以线段 AF 的中点 M 的轨迹方程为：221yx（2）依据题意作出图形，如下：设 1122,A x yB x y，且1y与2y的取值一正、一负 因为AOB 的面积是BOF 面积的 3 倍，所以直线AB的斜率存在，且OAF的面积是OBF面积的 2 倍，即：1211222OFyOFy，整理得：122yy 设直线AB的方程为：1yk x 联立直线与抛物线方程可得：241yxyk x，整理得：204kyyk.所以124yyk，124yy 由121212244yyyyyyk 解得：2 2k .所以直线AB的方程为：2 21yx 【点睛】本题主要考查

32、了利用相关动点法求点的轨迹方程，还考查了转化思想及韦达定理，考查方程思想及计算能力，属于中档题 21.已知函数2()22ln(0)f xaxxx a（1）若()f x在其定义域上是单调增函数，求实数a的取值集合；（2）当38a 时，函数()yf x在,)()nenZ有零点，求n的最大值 【答案】（1）12a a；（2）最大值为2【解析】【分析】（1）确定函数定义域，求导，导函数大于等于 0 恒成立，利用参数分离得到答案.（2）当38a 时，代入函数求导得到函数的单调区间，依次判断每个区间的零点情况，综合得到答案.【详解】解：（1）f x的定义域为 10,220fxaxx在0,上恒成立，即 21

33、12axx即 12a 实数a的取值集合是12a a（2）38a 时，3224xxfxx，即 f x在区间20,3和2,单调增，f x在区间2,23上单调减.f x在2,3x最小值为 2f且 231ln4 12242ln2ln20822f f x在2,3x上没有零点.要想函数 f x在,nenZ上有零点，并考虑到 f x在区间20,3上单调且 2,23上单减，只须23ne 且 0nf e，易检验 1213108f eee 22423122ln8f eeee2213108ee 当2n时，且nZ时均有 0nf e，即函数 f x在上有1,nne eenZ上有零点.n的最大值为2【点睛】本题考查了函数

34、单调性，恒成立问题，参数分离法，零点问题，综合性强难度大，需要灵活运用导数各个知识点.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2 3cos2sinxy，其中为参数，(0,).在以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为(4 2,)4，直线l的极坐标方程为 sin()5 204.(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；(2)若Q是曲线C上的动点，M为线段PQ的中点.求点M到直线l的距离的最大值.【答案】(1)100 xy，221(0)124xyy；(2)6 2.【解析】【分析】(1)已知直线l的极坐标方程，运用互化公式cosx，siny，即可求出直角坐标方

35、程.将曲线C的参数方程进行消去参数，即可得出曲线C的普通方程.(2)利用曲线C的参数方程表示出Q点坐标，再写出点P的直角坐标，便得出中点M坐标，利用点到直线的距离公式求出点到M直线l的距离的最大值.【详解】(1)直线的极坐标方程为sin()5 204，即sincos10 0.由cosx，siny，可得直线的直角坐标方程为100 xy.将曲线C的参数方程2 3cos2sinxy消去参数，得曲线C的普通方程为221(0)124xyy.(2)设(2 3cos,2sin)Q(0).点P的极坐标(4 2,)4化为直角坐标为(4,4).则(3cos2,sin2)M.点M到直线的距离3cossin102d2

36、sin()10326 2.当sin()13，即56时，等号成立.点M到直线的距离的最大值为6 2.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，以及点到直线距离公式的运用，还需要辅助角公式进行化简，意在考查学生的运算求解能力.23.设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c=1，证明：（）ab+bc+ac13；（）2221abcbca.【答案】（）证明见解析；（II）证明见解析.【解析】【详解】（）由222abab，222cbbc，222acac得：222abcabbcca，由题设得，即2222221abcabbcca，所以3()1abbcca，即13abbcca.（）因为22abab，22bcbc，22caca，所以222()2()abcabcabcbca，即222abcabcbca，所以2221abcbca.本题第（）（）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”.【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.