直线与圆的位置关系及应用专题练习3214.pdf

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1、 1 直线与圆的位置关系及应用 一 单项选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知圆222240 xyaxa被直线3yx截得的弦长为2 3，则(a )A2 393 B2 33 C1 D0 2圆222420 xxyy到直线2 220 xy的距离为 1 的点有()A1 个 B2 个 C3 个 D0 个 3圆224xy上的点到直线43250 xy的距离的取值范围是()A0，5 B1，9 C3，7 D0，3 4已知圆22:(1)(4)8C xy和点(5,)Mt，若圆C上存在两点A，B使得60AMB，则实数t的取值范围是()A 1，

2、6 B1，7 C0，8 D2，5 5若直线:(1)4l yk x与曲线214xy 有两个交点，则k的取值范围是()A3(0,)4 B3,14 C(0，3 D3，)6已知斜率为1的直线l被圆22:2430C xyxy截得的弦长为6，则直线l的方程为()A2210 xy 或2230 xy B0 xy或20 xy C2220 xy或223 20 xy D20 xy或2 20 xy 7从点(,3)P m向圆22(2)(2)2xy引切线，则切线长的最小值为()A26 B5 C2 6 D23 8过点(2,4)P 作圆221xy的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为()A2410 xy B24

3、10 xy C2410 xy D2410 xy 二多项选择题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 2 分)9平行于直线210 xy 且与圆224xy相切的直线的方程可能是()A250 xy B22 50 xy C250 xy D22 50 xy 10已知点P在圆22:(4)(5)5Cxy上，点(4,0)A，(0,2)B，则下列说法中正确的是()A点P到直线AB的距离小于 6 B点P到直线AB的距离大于 2 CcosAPB的最大值为45 DAPB的最大值为2 2 11 过直线4(04)x

4、yx上一点P作圆22:4O xy的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与x，y轴分别交于点M，N，则()A点O恒在以线段AB为直径的圆上 B四边形PAOB面积的最小值为 4 C|AB的最小值为2 2 D|OMON的最小值为 4 12平面直角坐标系xOy中，已知点(2,4)P，圆22:4O xy与x轴的正半轴交于点Q则()A过点P与圆O相切的直线1l的方程为34100 xy B过点P与圆O有交点的直线1l的斜率范围是3,)4 C若过点P的直线2l与圆O交于不同的两点A，B，则线段AB中点的纵坐标的最小值为25 D若过点P的直线2l与圆O交于不同的两点A，B，设直线QA，QB的斜率分别是1k，2k

5、，则12kk为定值1 三填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13一条光线从点(2,3)P射出，经x轴反射，与圆22(3)(2)1xy相切，则反射光线所在直线的方程是 14已知圆22:(1)(2)9Cxy，圆C以(1,3)为中点的弦所在直线的斜率k 15在平面直角坐标系xOy中，已知圆221:(2)(1)4Cxy，线段AB是圆222:(4)(2)4Cxy的一条动弦，且2 2AB，线段AB的中点为Q，则直线OQ被圆1C截得的弦长取值范围是 16已知在平面直角坐标系中，(3,0)A，(0,6)B，圆222:(2)(1)(0)Cxyrr，若圆C上存在点P，满足|2|PBPA，则r的

6、取值范围是 四解答题(本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17已知圆222xy，直线yxb，当b为何值时，（1）圆与直线有两个公共点；（2）圆与直线只有一个公共点；（3）圆与直线没有公共点 3 18已知圆C的方程为224120 xyx，点(3,1)P（1）求过点P的直线被圆C截得弦长最大时的直线l的方程（2）设直线yx与圆C相交于M，N两点，求弦长|MN 19已知圆1C的圆心为坐标原点，且与直线34100 xy相切（1）求圆1C的标准方程；（2）若直线l过点(1,2)M，直线l被圆1C所截得的弦长为2 3，求直线l的方程 20实数x，y满足222410 xy

7、xy，求：（1）4yx 的最大值和最小值；（2）2xy的最大值和最小值 4 21已知圆22:(1)(2)9Cxy，直线:30l kxyk（1）直线l一定经过哪一点；（2）若直线l平分圆C，求k的值；（3）若直线l与圆C相交于A，B，求弦长AB的最小值及此时直线的方程 22已知直线:(2)(12)420lmxm ym与圆22:20C xxy交于M，N两点 （1）求出直线l恒过定点的坐标；（2）求直线l的斜率的取值范围；（3）若O为坐标原点，直线OM，ON的斜率分别为1k，2k，试问12kk是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由 5 直线与圆的位置关系及应用 参考答案 一选择题（共 8

8、小题）1【解答】解：圆222240 xyaxa的圆心为(,0)C a，半径为2r，所以圆心C到直线3yx的距离为|3|3|213aad，因为圆被直线3yx截得的弦长为2 3，所以2223|2 3()()222a，解得2 33a 故选：B 2【解答】解：化222420 xxyy为22(1)(2)3xy，得圆心坐标为(1,2)，半径为3，圆心到直线2 220 xy的距离|2 222|42 23381d，说明直线与圆相离，42 23(0,1)3，圆上有 2 个点到直线l的距离为 1 故选：B 3【解答】解：圆224xy的圆心坐标为(0,0)，半径为 2，圆心到直线43250 xy的距离22|25|5

9、24(3)d ，圆224xy上的点到直线43250 xy的距离的取值范围是52，523，7 故选：C 4【解答】解：当MA，MB是圆C的切线时，AMB取得最大值 若圆C上存在两点A，B使得60AMB，则MA，MB是圆C的切线时，60AMB，即30AMC，且90AMC，2 2|4 2sin30MC，即22|(5 1)(4)4 2MCt，216(4)32t，解得08t，即实数t的取值范围是0，8 故选：C 5【解答】解：曲线C的方程为214xy，变形可得22(1)4(1)xyx，所以曲线C是以(1,0)为圆心，半径为 2 的圆的左半部分，设(1,2)M，直线l的方程为(1)4yk x，恒过点(1,

10、4)P ，若直线:(1)4l yk x与曲线2:14C yy 有两个交点，所以PMkk时，直线与半圆有 2 个交点，而4231 1PMk ，所以3k，所以k的取值范围为3，)故选：D 6 6【解答】解：圆C的标准方程为22(1)(2)2xy，设直线l的方程为0 xym，可知圆心到直线l的距离为2262(2)()22，有|1|222m，有0m 或2，所以直线l的方程为0 xy或20 xy 故选：B 7【解答】解：根据题意，设圆22(2)(2)2xy的圆心为C，从点(,3)P m向圆22(2)(2)2xy引切线，切点为T，圆C，22(2)(2)2xy，其圆心为(2,2)，半径为2，则222222|

11、(2)(2)(32)(2)(2)23PTPCmm，当2m 时，|PT取得最小值，且其最小值为23 故选：D 8【解答】解：设坐标原点为O，以PO为直径的圆的方程为22(1)(2)5xy，即22240 xyxy，所以直线AB即为圆221xy与圆22240 xyxy的公共弦所在的直线，所以两圆方程相减可得直线AB的方程为2410 xy 故选：B 二多选题（共 4 小题）9【解答】解：根据题意，设要求直线20 xym，圆224xy的圆心为(0,0)，半径2r，则有|214md，解可得：2 5m ，即要求直线的方程为22 50 xy；故选：BD 10【解答】解：线段AB的中点为(2,1)M，线段AB的

12、垂直平分线23yx过圆心(4,5)C，所以点P到直线AB的距离的最小值为|552CM，最大值为|53 56CM，故选项A错误，选项B正确；由正弦定理可知，当ABP的外接圆与圆C内切时，APB最小，此时cosAPB最大且4coscos5APBAPM，当ABP的外接圆与圆C外切时，APB最大，此时90APB，故选项C正确，选项D正确 故选：BCD 11【解答】解：对A：在四边形PAOB中，AOB不一定是直角，故A错误；对B：连 接PO，由 题 可 得Rt PAORt PBO，所 以 四 边 形PAOB的 面 积2122242SPA OAPAPO，又PO的最小值为点O到直线4xy的距离，即2 2，所

13、以四边形PAOB面积最小为2 844，故B正确；对C：设(,)P a b，则以线段OP为直径的圆的方程为()()0 x xay yb，与圆O的方程224xy相减，得4axby，即直线AB的方程为4axby，又点P在直线4xy上，所以4ab，即4ba，代入直线AB中得()440a xyy，7 即()440a xyy，令xy，则440y，得1x，1y，所以直线AB过定点(1,1)C，则2OC，故AB的最小值为2 422 2，故C正确；对D：在4axby中，令0 x，得4yb，令0y，得4xa，即4(Ma，0)，4(0,)Nb，所以44|OMONab，因为(,)P a b在4(04)xyx上，所以4

14、ab且04a，则4444()()2224bab aababababa b，当且仅当2ab时取等号，所以|OMON的最小值为 4，故D正确；故选：BCD 12【解答】解：对于A，当直线1l的斜率不存在时，则直线1l的方程为：2x，圆心O到直线1l的距离2dr，显然2x 符合条件；当1l的斜率存在时，设1:4(2)lyk x，即420kxyk，由题设知：圆心O到直线1l的距离2|42|3241kdrkk，此时1:34100lxy，所以直线1l的方程为2x 或34100 xy，故A错误；对于B，由选项A分析可得过点P与圆O有交点的直线1l的斜率范围是3,)4，故B正确；对于C，设线段AB中点(,)M

15、 x y，则MOMP，又因为(,)OMx y，(2,4)PMxy，所以(2)(4)0 x xy y，即22240 xyxy，联立22224240 xyxyxy，解得20 xy或6585xy，又因为M在圆O的内部，所以点M的轨迹是一段圆22240 xyxy以6(5，8)5和(2,0)为端点的一段劣弧（不包括端点），在圆22240 xyxy方程中，令1x，得25y，根据点(1,25)在圆O内部，所以点M的纵坐标的最小值为25，故C正确；对于D，设2:4(2)lyk x，联立224(2)4yk xxy，整理可得222(1)4(2)(24)40kxk kxk，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，

16、8 则12221224(2)1(24)410k kxxkkx xk，所以1212121212(2)4(2)42222yyk xk xkkxxxx 121212124(4)4422222()4xxkkxxx xxx 22224(2)444(84)1221(24)44(2)162411k kkkkkkk kkk，所以12kk为定值1，故D正确 故选：BCD 三填空题（共 4 小题）13【解答】解：圆22(3)(2)1xy的圆心坐标为(3,2)，半径为 1，点(2,3)P关于x轴的对称点的坐标为(2,3)P，设反射光线为3(2)yk x，即230kxyk 光线从点(2,3)P射出，经过x轴反射后，与

17、圆22(3)(2)1xy相切，2|3?22?3|11kkdk，解得34k 或43k 则反射光线所在直线的方程是4310 xy 或3460 xy 故答案是：4310 xy 或3460 xy 14【解答】解：根据题意，圆22:(1)(2)9Cxy，其圆心(1,2)C，设(1,3)P，要求斜率的弦所在的直线为l，若要求弦以(1,3)P 为中点，则CPl，又由3211 12CPk ，则直线l的斜率2k，故答案为：2 15【解答】解：圆222:(4)(2)4Cxy的圆心坐标为(4,2)，弦长2 2AB，线段AB的中点为Q，则22|4(2)2QC 即Q的轨迹方程为：22(4)(2)2xy 如图，设过原点与

18、圆22(4)(2)2xy相切的直线方程为ykx，即0kxy 由圆心(4,2)到直线0kxy的距离2|42|21kdk，解得1k 或17k，则切线方程为0 xy或70 xy 点1C在直线0 xy的右下方，在直线70 xy的左上方 9 而1(2,1)C到直线0 xy的距离为|21|222，到直线70 xy的距离为|27|22149 直 线0 xy与 直 线70 xy被 圆221:(2)(1)4Cxy所 截 弦 长 最 短 为222 4()142 直线OQ被被圆221:(2)(1)4Cxy所截弦长的最大值为圆1C的直径为 4 直线OQ被圆1C截得的弦长取值范围是 14，4 故答案为：14，4 16【

19、解答】解：设(,)P x y，由|2|PBPA，得2222(6)2(3)xyxy，整理得22(4)(2)20 xy，故P的轨迹是圆22(4)(2)20 xy，因此原问题转化为圆22(4)(2)20 xy与圆222:(2)(1)(0)Cxyrr有公共点，又两圆圆心距22(24)(12)5d ，|2 5|52 5rr，解得53 5r r的取值范围是 5，3 5 四解答题（共6 小题）17【解答】解：圆222xy的圆心坐标为(0,0)，半径为2，直线yxb即0 xyb，圆心到直线0 xyb的距离|2bd （1）若圆与直线有两个公共点，则|22b，解得22b；（2）圆与直线只有一个公共点，则|22b，

20、解得2b ；（3）圆与直线没有公共点，则|22b，解得2b 或2b 18【解答】解：（1）圆C的方程为224120 xyx，则圆C的标准方程为22(2)16xy，故圆心(2,0)C，半径4r 因为过点P的直线被圆C截得的弦长最大时是过圆心的直线，所以直线l过点C，所以直线l的斜率10132k，所以直线l的方程为13yx，故直线l的方程为20 xy（2）直线yx即为0 xy，圆心(2,0)C到直线0 xy的距离|20|22d，10 又因为圆C的半径4r，所以弦长22|22 1622 14MNrd 19【解答】解：（1）原点O到直线34100 xy的距离为22|10|234，圆1C的标准方程为22

21、4xy；（2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为1x，代入224xy，得3y ，即直线l被圆1C所截得的弦长为2 3，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线方程为2(1)yk x，即20kxyk 直线l被圆1C所截得的弦长为2 3，圆的半径为 2，则圆心到直线l的距离222|2|2(3)11kdk ，解得34k 直线l的方程为332044xy，即3450 xy 综上，直线l的方程为1x 或3450 xy 20【解答】解：在直角坐标系中，方程222410 xyxy 代表圆心为(1,2)，半径为 2的圆（1）4yx 表示圆上的点(,)x y与点(4,0)A连线的斜率，设圆的切线斜率为k，圆的切线方

22、程为0(4)yk x，即40kxyk，由2|24|21kkk，0k 或2021，结合图形知，4yx 的最大值为 0，最小值为2021（2）令2xyt，即2yxt，故t表示过圆上的点且斜率等于2的直线在y轴上的截距，当直线2xyt和圆相切时，有|22|25t，2 5t ，故2xy的最大值为2 5，最小值为2 5 21【解答】解：（1）:30l kxyk，即(1)30k xy，联立1030 xy ，得13xy 直线l经过定点(1,3)P；（2）圆22:(1)(2)9Cxy的圆心(1,2)C，直线l平分圆C，230kk，即12k；（3）直线l与圆C相交于A，B，直线l过圆内定点(1,3)P，要使弦长

23、AB最小，则直线l与PC垂直，11 22|(1 1)(23)5PC ，弦长|AB的最小值为2 954；3211(1)2PCk，2lk，则此时直线l的方程为2230 xy，即250 xy 22【解答】解：（1）由直线:(2)(12)420lmxm ym，得(24)(22)0m xyxy，联立240220 xyxy，解得02xy，直线l恒过定点(0,2)；（2）由圆22:20C xxy，知圆心(1,0)C，半径1r，当直线l和圆C相切时，22|(2)1(12)042|1(2)(12)mmmmm，得12m 或12m ，当12m 时，直线l方程0 x，当12m 时，直线l方程3480 xy，直线l与圆C相交时，直线l的斜率取值范围3(,)4；（3）由（2）知直线l的斜率存在，设直线l方程为ykxb，联立2220ykxbxxy，得222(1)(22)0kxkbxb，122221kbxxk，21221bx xk，122112211212121212()()yyx yx yx kxbx kxbkkxxx xx x 121212212122()2222kx xb xxxxkbkbkbx xx xb 2222kkbb 由（1）可知，2b，则121kk，12kk是定值，定值为 1