2020年高考数学二轮优化提升专题训练考点27与基本不等式有关的应用题(原卷版)5258.pdf

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1、考点 27 与基本不等式有关的应用题【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、（2017 江苏高考）某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买x吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x的值是 .2、(2016 常州期末）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为 900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔 1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留 3 m宽的通道，如图设矩形温室的室内长为x(m)，三

2、块种植植物的矩形区域的总面积为S(m2)(1)求S关于x的函数关系式；(2)求S的最大值 3、(2016 无锡期末）某公司生产的某批产品的销售量P万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足Px24(其中 0 xa，a为正常数)已知生产该批产品还需投入成本 6P1P万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为420P元/件(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2)当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？【问题探究，变式训练】题型一 利用基本不等式解决与平面图形有关的问题 知识点拨：在利用基本不等式求函数的最值时，一定要注意验证基本不等式成立的三个条件，即一正二定三相等如果等

3、号成立的条件不具备，就应该研究函数的单调性来求函数的最值 例 1、(2017 南通一调）如图，某机械厂要将长 6 m，宽 2 m 的长方形铁皮ABCD进行裁剪已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处(点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P)，再沿直线PE裁剪(1)当EFP4时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；(2)若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由 【变式 1】（2016 南京学情调研）如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为 2400m2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全

4、相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为 2m.怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积 【变式 2】(2016 镇江期末）如图，某工业园区是半径为 10km 的圆形区域，离园区中心O点 5km 处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站，公路AB把园区分成两个区域(1)设中心O对公路AB的视角为，求的最小值，并求较小区域面积的最小值；(2)为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值 【变式 3】(2017 南京、盐城二模）在一张足够大的纸板上截取一个面积

5、为 3 600 平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中ab.(1)当a90 时，求纸盒侧面积的最大值；(2)试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值 【变式 4】(2016 盐城三模）一位创业青年租用了一块边长为 1 百米的正方形田地ABCD来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC，CD上分别取点E，F(不与正方形的顶点重合)，连结AE，EF，FA，使得EAF45.现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，AEF部分

6、规划为蜂巢区，CEF部分规划为蜂蜜交易区.若蜂源植物生长区的投入约为 2105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为 105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？题型二 利用基本不等式解决利润的最值问题 知识点拨：与利润有关的问题关键是要认真审题，只有在审题的基础上才可以正确列出函数的解析式，要特别注意函数的定义域和单位的统一。例 2、(2019 南京学情调研）销售甲种商品所得利润是 P 万元，它与投入资金 t 万元的关系有经验公式 Patt1；销售乙种商品所得利润是 Q 万元，它与投入资金 t 万元的关系有经验公式 Qbt，其中 a，b 为常数现将 3 万元资金全部投入甲、乙两种

7、商品的销售；若全部投入甲种商品，所得利润为94万元；若全部投入乙种商品，所得利润为 1 万元若将 3 万元资金中的 x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为 f(x)万元(1)求函数 f(x)的解析式；(2)怎样将 3 万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使得利润总和最大，并求最大值 【变式 1】(2018 南京学情调研）某工厂有 100 名工人接受了生产 1000 台某产品的总任务，每台产品由9 个甲型装置和 3 个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成 1 个甲型装置或 3 个乙型装置现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置设加工甲型装置的工人有 x 人，他们

8、加工完甲型装置所需时间为 t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为 t2小时设 f(x)t1t2.(1)求 f(x)的解析式，并写出其定义域；(2)当 x 等于多少时，f(x)取得最小值？【变式 2】(2018 扬州期末）如图，射线 OA 和 OB 均为笔直的公路，扇形 OPQ 区域(含边界)是一蔬菜种植园，其中 P，Q 分别在射线 OA 和 OB 上经测量得，扇形 OPQ 的圆心角(即POQ)为23、半径为 1 千米，为了方便菜农经营，打算在扇形 OPQ 区域外修建一条公路 MN，分别与射线 OA，OB 交于 M，N 两点，并要求MN 与扇形弧PQ相切于点 S.设POS(单位：弧度)，假设

9、所有公路的宽度均忽略不计(1)试将公路 MN 的长度表示为 的函数，并写出 的取值范围；(2)试确定 的值，使得公路 MN 的长度最小，并求出其最小值 【变式 3】(2016 南京学情调研）某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足nax5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比若新建的标段数是原有标段数的 20%，且k3.问：P能否大于120？并

10、说明理由 【变式 4】（2016 镇江期末）过去的 2013 年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销某品牌口罩原来每只成本为 6 元，售价为 8 元，月销售 5 万只(1)据市场调查，若售价每提高 0.5 元，月销售量将相应减少 0.2 万只，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润月销售总收入月总成本)，该口罩每只售价最多为多少元？(2)为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x(x9)元，并投入265(x9)万元作为营销策略改革费用据市场调查，每只售价每提高 0.5 元，月销售量将相应减少0.2x82万只，则当每只售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润