黑龙江省宾县第二中学2020-2021学年高一下学期第二次月考数学试卷3377.pdf

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1、高一数学试卷 第 1 页 共 10 页 宾县第二中学 2020-2021 学年度下学期第二次月考 高一数学试卷 考试时间：120 分钟；总分：150 分 注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2请将答案规范填写在答题卡上。一、选择题：（每题 5 分共 60 分。其中 1-10 为单选题，11,12 为不定项选择题）1已知复数131izi，z的虚部是（）A2 B2i C2 D2i 2已知1,1a，)3,1(b，则2aab（）A0 B1 C1 D2 3如图，已知等腰三角形O A B ，OAAB 是一个平面图形的直观图，斜边2O B ，则这个平面图形的面积是（）A22 B1 C2 D

2、2 2 4设i是虚数单位，则复数223zii 对应的点在复平面内位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 5设ba,为单位向量，且1ba，则ba2（）A3 B7 C3 D7 6 已知ABC内角A B C，所对边的长分别为a b c，cosabC，则ABC形状一定是（）A等腰直角三角形 B等边三角形 C等腰三角形 D直角三角形 7如图，在等边ABC中，DCBD3，向量AB在向量上的AD投影向量为（）A713AD B813AD C913AD D1013AD 8下列命题正确的是（）平行于同一条直线的两条直线平行；平行于同一条直线的两个平面平行；平行于同一个平面的两条直线平行；平行于同一

3、个平面的两个平面平行 A B C D 9长方体1111ABCDABC D中，若5AB，4AD，13AA，且此长方体内接于球O，则球O的表面积为（）A20 2 B25 2 C50 D200 10在平行四边形 ABCD 中，F 是 CD 的中点，AF 与 BD 相交于 E，则AE（）AADAB3231 BADAB4341 CADAB3132 DADAB4143 11，是两个平面，mn，是两条直线，下列四个命题中错误的是（）A若/mn n，则/m B若/mn，则/mn C若/m，则/m D若/mn mn，则/12在ABC中，角、ABC的对边分别为abc、，若222tan3acbBac，则角B的值为（

4、）A6 B3 C56 D23 高一数学试卷 第 2 页 共 10 页 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13若一个圆锥的轴截面是面积为4 3的等边三角形，则该圆锥的表面积为_ 14若ABC的两边长分别为 2，3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为_ 15设复数121,2zi zbi，若12zz为纯虚数，则实数b _ 16 已知向量a，b满足|3a，|2b，若a与b的夹角为60，则()(2)abab_ 三、解答题：（17 题 10 分，18-22 每题 12 分，共 70 分）17如图，已知 ABC 中，AB3 62，ABC45，ACB60 （1）求 AC 的

5、长；（2）若 CD5，求 AD 的长 18在平面直角坐标系中，1,3,1amb.（1）若 m=2，求2ab的值；（2）若向量ab，求 m 的值.19在正方体1111ABCDABC D中，E是棱1BB的中点 （1）求证：1/B D平面ACE;（2）若F是棱1CC的中点，求证：平面1/B DF平面ACE 20如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，AC 与 BD 交于点 O，M 是PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH，求证：（1）证明：AP平面 BDM；（2）证明：APGH.高一数学试卷 第 3 页 共 10 页 21已知

6、锐角ABC的内角,A B C所对的边分别,a b c，且3,7ab.若),(bap,)sin,2(sinABq,且 qp（1）求角B和边c;（2）若点D满足DCBD2，求ACD的面积 22如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是矩形 （1）设M为OA上靠近A的三等分点，N为BC上靠近B的三等分点求证：/MN平面OCD;（2）设E是OD上靠近点D的一个三等分点，试问：在OD上是否存在一点F，使/BF平面ACE成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由 高一数学试卷 第 4 页 共 10 页 宾县第二中学 2020-2021 学年度下学期第二次月考 高一数学答案 1A【分析】先根据复数的除法运

7、算求解出z，然后即可判断出z的虚部.【详解】因为1 311 324121112iiiiziiii ，所以虚部为2，故选：A.2A【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可得结果.【详解】由已知条件可得21 12a ，111 34a b ，因此，2222240aabaa b.故选：A.3D【分析】利用斜二测画法，由直观图作出原图三角形，再利用三角形面积公式即可求解.【详解】因为O A B 是等腰直角三角形，2O B ，所以2O AA B ，所以原平面图形为：且2OBO B，OAOB，22 2OAOA 所以原平面图形的面积是122 22 22，故选：D 4C【分析】利用复数的乘法法则化简复数z，由此可

8、得出结论.【详解】22364ziii ，因此，复数z在复平面内的点位于第三象限.故选：C.5B【分析】先根据1ab得12a b，再根据向量模的公式计算即可得答案.【详解】因为,a b 为单位向量，且1ab，所以21ab，所以222+1aa b b，解得12a b，所以222+2+2+447ababaa bb.故选：B.高一数学试卷 第 5 页 共 10 页 6D【分析】由余弦定理化简可得222acb，即可判断.【详解】cosabC，余弦定理可得2222abcabab，则22222aabc，则222acb，所以ABC为直角三角形.故选：D.7D【分析】将向量AD用,AB AC表示，求得模长及AB

9、 AD，从而利用投影公式求得向量AB在向量上的AD投影向量即可.【详解】由题知 D 点是 BC 的四等分点，设三角形边长为 a，则1113()4444ADACCDACCBACABACABAC，22222131935313cos44161688834ADABACABACAB ACaaa，22213135()cos444438AB ADABABACaaa，则向量AB在向量上的AD投影向量为：2225108cos,13134aADAB ADABAB ADADADADADADa，故选：D【点睛】关键点点睛：表示出AD，计算得到AB AD，利用投影公式求解.8C【分析】根据空间平行关系分别判断每个命题即

10、可.【详解】由平行线间的传递性可知，平行于同一条直线的两条直线平行，故正确；平行于同一条直线的两个平面平行或相交，故错误；平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面，故错误；根据平面平行的性质，平行于同一个平面的两个平面平行，故正确.故选：C.9C【分析】由长方体的对角线公式，算出长方体对角线1AC的长，从而得到长方体外接球的直径，结合球的表面积公式即可得到，该球的表面积【详解】长方体1111ABCDABC D中，5AB，4AD，13AA，长方体的对角线222222113455 2ACABADAA，长方体1111ABCDABC D的各顶点都在同一球面上，球的一条直径为15 2AC，可得半径5

11、22R，因此，该球的表面积为225 244()502SR 故选：C 10A 高一数学试卷 第 6 页 共 10 页【分析】根据平面向量的线性运算求解【详解】由/DCAB得DEFBEA，所以12DEFEDFEBAEAB，所以222112()()333233AEAFADDFADABABAD 故选：A 11ABD【分析】根据空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐个分析可得答案.【详解】对于 A，若/mn n，则/m或m，故错 A 误；对于 B，若/mn，则/mn或,m n为异面直线，故 B 错误；对于 C，若/则与无公共点，因为m，所以m与无公共点，所以/m，故 C正确；对于 D，若/m

12、n mn，则/或与相交，故 D 错误.故选：ABD 12BD【分析】根据余弦定理，代入即可求得角 B.【详解】根据余弦定理可知2222cosacbacB，代入化简可得sin2cos3cosBacBacB，即3sin2B，因为0B，所以3B或23B，故选：BD.【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.1312【分析】利用圆锥的轴截面是面积为4 3的等边三角形求出圆锥的底面半径和母线长，然后再求圆锥的表面积【详解】设圆锥轴截面正三角形的边长是a，因为正三角形的面积为4 3，所以234 34a，4a，所以圆锥的底面半径22ar，圆锥的母线4la，这个圆锥的表面积是：2222412r

13、rl 故答案为：12 149 24【分析】高一数学试卷 第 7 页 共 10 页 由余弦定理求出第三边 c，再由正弦定理求出三角形外接圆的直径【详解】设ABC中，2a，3b，且1cos3C，由余弦定理可知22212cos131293cababC,3c 又212sin1()233C，由正弦定理可知外接圆直径为：3922.sin2342cRC 故答案为：9 24【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平；在ABC中，2sinsinsinabcRABC，其中 R 为三角形外接圆的半径,常用来求三角形外接圆的半径（直径）.152【分析】由复数的运算法则，求得122(

14、2)zzbbi，结合12zz为纯虚数，列出方程组，即可求解.【详解】由复数121,2zi zbi，可得12(1)(2)2(2)zzibibbi，因为12zz为纯虚数，可得2020bb，解得2b.故答案为：2.164【分析】根据|3a，|2b，且a与b的夹角为60，利用数量积的定义和运算律求解.【详解】因为向量a，b满足|3a，|2b，且a与b的夹角为60，所以22()(2)2ababaa bb，2932cos60224 故答案为：4 17（1）3，（2）7【分析】（1）在ABC 中直接利用正弦定理求解即可；（2）先求出120ACD，然后在ACD中利用余弦定理求解即可【详解】解：（1）如图所示，

15、在ABC 中，由正弦定理得，sinsinACABABCACB,则3 6sin45sin23sinsin60ABABCACACB，（2）因为ACB60，所以120ACD,在ACD中，由余弦定理得，2212cos1209252 3 572ADACCDAC CD 【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题 18（1）5 2；（2）3.【分析】高一数学试卷 第 8 页 共 10 页（1）根据向量模的计算公式可得结果；（2）由ab可得0a b 即可解得结果.【详解】（1）(1,2),2(5,5)aab.22|2|55ab 5 2（2）若ab，则0a b，即30m 所以3m .19

16、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连BD，使BDACG，连EG，可得1/DBGE，即可证明；（2）通过1/B FCE证明1/B F平面ACE，再结合（1）即可证明.【详解】（1）连BD，使BDACG，连EG ABCD是正方形，BDACG，DGBG 又E是1BB中点，1B EBE，1/DBGE，又1DB 平面ACE，GE平面ACE，1/B D平面ACE （2）E是棱1BB的中点，F是棱1CC的中点 1/B ECF且1B ECF，1B ECF是平行四边形，1/B FCE，又1B F平面ACE，CE 平面ACE，1/B F平面ACE，由（1）1/B D平面ACE，又111=DBB F

17、 B，平面1B DF/平面ACE 20证明 连接 MO.（1）四边形 ABCD 是平行四边形，O 是 AC 的中点 又M 是 PC 的中点，APOM.又AP平面 BDM，OM平面 BDM，AP平面 BDM.（2）由（1）可知 AP平面 BDM.又AP平面 APGH，平面 APGH平面 BDMGH，APGH.高一数学试卷 第 9 页 共 10 页 21（1）3，2c；（2）32.【分析】（1）由向量垂直得数量积为 0，再由正弦定理化边为角，可求得B角，然后由余弦定理求得c，注意取舍（2）由向量的线性运算求得D在BC上位置，利用ABC的面积得出结论【详解】（1）由pq，即,sin2,sinsin2

18、sin=0abBAaBbA，由正弦定理，2sinsincossinsin0ABBBA，又sin0 sin0AB，1cos2B，又0,=23BB 由2222cosbacacB，代入3=7ab，得2320cc，=c1 或 2，又1c 时，222abc，不合题意，舍；2c 时，222abc，符合题意，所以2c （2）DCBD2 D在BC上，且为靠近C的三等分点，1133 3sin3 22222ABCSacB ，113 333322ACDABCSS【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，平面向量垂直的数量积表示，解题关键是由正弦定理化边为角 在解三角形中已知两边和一边对角求第三

19、边时也可以应用余弦定理列式求解，同样需要判断三角形解的情况 22（1）证明见解析；（2）在OD上是存在OE中点F，使/BF平面ACE成立，证明见解析.【分析】（1）取AD上靠近A的三等分点G，连接MGNG，可得/MGOD，进而证明/MG平面OCD，同理证明/NG平面OCD，得出面/MNG平面OCD即可证明；（2）存在OE中点F，连BFBD，使=BDAC P，连PE，得出/PEBF即可证明.【详解】（1）如图，取AD上靠近A的三等分点G，连接MGNG，AOD中，:1:2:=1:2AMMOAG GD，则/MGOD，又MG 平面OCD，OD 平面OCD，/MG平面OCD，同理，/NG平面OCD，又=MGNG G，平面/MNG平面OCD，又MN 平面MNG，/MN平面OCD （2）存在OE中点F，使/BF平面ACE成立 取OE中点F，连BFBD，使=BDAC P，连PE 高一数学试卷 第 10 页 共 10 页 ABCD是矩形，P是BD的中点，又E是OD上靠近点D的一个三等分点，且F是OE中点，E是FD的中点，BDF中，/PEBF，又PE 平面ACE，BF 平面ACE，/BF平面ACE，故在OD上是存在OE中点F，使/BF平面ACE成立【点睛】关键点睛：本题考查线面平行的证明，解题的关键是正确理解线面平行的判定定理以及面面平行的性质.