值域求法--数形结合法等20288.pdf

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1、-函数值域求法小结 一、观察法根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数 1、求242xy的值域。由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得：,2,024)(2yxxg所以 2、求函数11 1yx 的值域。分析：首先由1x0，得1x+11，然后在求其倒数即得答案。解：1x01x+11，111x，函数的值域为，二、配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域 1、求函数)4,0(422xxxy的值域。设：)0)(4)(2xfxxxf配方得：)4,0(4)2()(2xxxf利用二次函数的相关知识得4,0)(xf，从而得出：2,2y。说明：在求解值域(最值)时

2、，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，此题为：0)(xf。2、求函数342xxey的值域。解答：此题可以看作是uey 和342xxu两个函数复合而成的函数，对u配方可得：1)2(2xu，得到函数u的最大值1u，再根据uey 得到y为增函数且0y故函数342xxey的值域为：,0(ey。3、假设,42yx0,0yx，试求yxlglg的最大值。此题可看成一象限动点),(yxp在直线42yx上滑动时函数xyyxlglglg的最大值。利用两点(4，0)，(0，2)确定一条直线，作出图象易得：2)1(2lg)24(lglglglg),2,0(),4,0(2yyyxyyxyx而，y=

3、1 时，yxlglg取最大值2lg。三、反函数法 分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易-反解出自变量的函数类型 对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。1、求函数12xxy的值域。由于此题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出*，从而便于求出反函数。12xxy反解得yyx2即xxy2 故函数的值域为：),2()2,(y。反函数的定义域即是原函数的值域 2、求函数11xxeey的值域。解答：先证明11xxeey有反函数，为此，设21xx 且Rxx21,，

4、0)1)(1(211112121221121xxxxxxxxeeeeeeeeyy。所以y为减函数，存在反函数。可以求得其反函数为：xxy111ln。此函数的定义域为)1,1(x，故原函数的值域为)1,1(y。四、判别式法分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为0)()()(2yCxyBxyA的形式，再利用判别式加以判断 1、求函数3274222xxxxy的值域。由于此题的分子、分母均为关于*的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：7423222xxyxyyx整理得：073)2(2)2(2yxyxy当2y时，上式可以看成关于x的二次方程，该方程的x围应该满足032

5、)(2xxxf即Rx此时方程有实根即0，.2,290)73)(2(4)2(22yyyy 注意：判别式法解出值域后一定要将端点值此题是29,2yy代回方程检验。将29,2yy分别代入检验得2y不符合方程，所以)2,29y。2、求函数2212xxxy的值域。解答：先将此函数化成隐函数的形式得：012)12(2yxyyx，(1)-这是一个关于x的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程(1)的判别式0)12(4)12(2yyy，解得：2121y。故原函数的值域为：,2121y。五、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数用三角代换等 1、求函数xxy41

6、332的值域。由于题中含有x413 不便于计算，但如果令：xt413 注意0t从而得：)0(321341322tttytx变形得)0(8)1(22tty即：4,(y 注意：在使用换元法换元时一定要注意新变量的围，否则将会发生错误。2、),(yxp是圆422 yx上的点，试求xyyxt322的值域。在三角函数章节中我们学过：1cossin22注意到422 yx可变形为：1)2()2(22yx令,0,sin2,cos2yx2)则2sin64sin2cos234t4,02 又)即 1,12sin故10,2t 3、试求函数xxxxycossincossin的值域。题中出现xxsincos，而xxxxx

7、xcossin21)cos(sin,1cossin222由此联想到将xxsincos视为一整体，令2,2cossinxxt由上面的关系式易得21cossincossin2122txxxxt故原函数可变形为：2,21)1(21,2)1(2)2,2(21222ttytyttty即 六、数形结合法对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域 1、求函数xxycos2sin3的值域。分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中两点求直线的斜率的公式1212xxyyk，-将原函数视为定点(2，3)到动点)sin,(cosxx的斜率，又知动点)sin,(cosx

8、x满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点2，3到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：2、求函数13yxx 的值域。分析：此题首先是如何去掉绝对值，将其做成一个分段函数。在对应的区间，画出此函数的图像，如图 1 所示，易得出函数的值域为),2。七、不等式法能利用几个重要不等式及推论来求得最值。如：abbaabba2,222，利用此法求函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量，同时，利用此法时应注意取成立的条件。1、当0 x时，求函数248)(xxxf的最值，并指出)(xf取最值时x的值。因 为22444

9、48)(xxxxxxf可 利 用 不 等 式33 abccba即：324443)(xxxxf所以12)(xf当且仅当244xx 即1x时取=当1x时)(xf取得最小值 12。2、双曲线12222byax的离心率为1e，双曲线12222axby的离心率为2e，则21ee 的最小值是。A22B4C2D2 根据双曲线的离心率公式易得：bbaabaee222221，我们知道xyyx2所以abbaee22212当且仅当bbaaba2222时取=而abba222故2221 ee当且仅当ba 时取=22)(min21ee所以。说明：利用均值不等式解题时一定要注意一正，二定，三等三个条件缺一不可。3、求函数1

10、2xxy的值域。解答：211112xxxxy，当且仅当1x时成立。故函数的值域为图1y=-2x+4y=2x-4YX4O231-),2 y。此法可以灵活运用，对于分母为一次多项式的二次分式，当然可以运用判别式法求得其值域，但是假设能变通地运用此法，可以省去判别式法中介二次不等式的过程。4、求函数1222xxxy的值域。解答：此题可以利用判别式法求解，这里考虑运用根本不等式法求解此题，此时关键是在分子中分解出)1(x项来，可以一般的运用待定系数法完成这一工作，方法是设：22)(1(2xxcbxx，将上面等式的左边展开，有：)()1(2cbxbx，故而21b，2cb。解得1b，1c。从而原函数111

11、1)1)(1()1(xxxxxy；)当1x时，01x，011x，此时2y，等号成立，当且仅当0 x。)当1x时，0)1(x，011x，此时有211)1(11)1(11)1)(1(xxxxxxxy，等号成立，当且仅当2x。综上，原函数的值域为：),22,(y。八、局部分式法别离常数法 分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为)(xfky(为k常数)的形式 1、求函数122xxxxy的值域。观察分子、分母中均含有xx 2项，可利用局部分式法；则有43)21(11111122222xxxxxxxxxy不妨令：)0)()(1)(,43)21()(2xfxfxgxxf从而,43)(xf

12、 注意：在此题中应排除0)(xf，因为)(xf作为分母。所以43,0)(xg故1,31y-2、如对于函数231xxy，利用恒等变形，得到：)23(31312331)23(31xxxy，容易观察得出此函数的值域为),(),(3131y。注意到分时的分子、分母的构造特点，别离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。九、单调性法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域 1、求函数)4(log221xxy的值域。由于函数本身是由一个对数函数外层函数和二次函数层函数复合而成，故可令：)0)(4)(2xfxxxf配方得：)4,0)(4)2()(2（所以xfxxf由复合函数的单调性同增

13、异减知：),2y。当函数f在),(ba上单调，譬如f在),(ba上递增时，自然有函数f在),(ba上的值域为)0(),0(bfaf(其中)(lim)0(),(lim)0(xfbfxfafbxax，当 ax时，)(xf也称其存在，记为)0(af);假设f在),(ba上递减，函数f在),(ba上的值域为)0(),0(afbf。在闭区间,ba上也有相应的结论。2、求函数xxy863的值域。此题可以看作vuy和63 xu，xv8的复合函数，显然函数63 xu为单调递增函数，易验证xv8亦是单调递增函数，故函数xxy863也是单调递增函数。而此函数的定义域为8,2。当2x时，y取得最小值10。当8x时，y取得最大值30。故而原函数的值域为30,10。十、利用导数求函数的值域假设函数 f 在a、b可导，可以利用导数求得f在a、b的极值，然后再计算f在 a，b 点的极限值。从而求得 f 的值域 求函数xxxf3)(3在)1,5(的值域。分析：显然f在)3,5(可导，且33)(2xxf。由0)(xf得f的极值点为-1,1xx。,2)1(f2)01(f。140)05(f。所以，函数f的值域为)140,2(。