【2022】江苏省南京市中考数学模拟试题(及答案解析)57949.pdf

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1、江苏省南京市中考数学模拟试卷（含答案）（考试时间：120 分钟 分数：120 分）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1函数y2中，自变量x的取值范围是（）Ax3 Bx3 Cx3 Dx3 2下列运算正确的是（）A3x24x212x2 Bx3+x5x8 Cx4xx3 D（x5）2x7 3A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（）A B C D 4 在平面直角坐标系中，将点P向左平移 2 个单位长度后得到点（1，5），则点P的坐标是（）A（1，3）B（3，5）C（1，7）D（1，5）5下表是某校合唱团成员的年龄分布表：年龄/岁 12 13 14

2、15 频数 5 15 x 10 x 对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A平均数、中位数 B众数、中位数 C平均数、方差 D中位数、方差 6一个圆锥的主视图是边长为 4cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于（）A16cm2 B12cm2 C8cm2 D4cm2 7如图，已知ABC中，AB10，AC8，BC6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，则CD（）A3 B4 C4.8 D5 8完全相同的 6 个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n、m的大矩形，则图中阴影部分的周长是（）A6（mn）B3（m+n）C4n D4m 9如图，ABCO的顶点

3、B、C在第二象限，点A（3，0），反比例函数y（k0）图象经过点C和AB边的中点D，若B，则k的值为（）A4tan B2sin C4cos D2tan 10已知二次函数y（xh）2+1（h为常数），在自变量x的值满足 1x3 的情况下，与其对应的函数值y的最小值为 5，则h的值为（）A1 或5 B1 或 5 C1 或3 D1 或 3 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，本大题共 16 分）119 的平方根是 12分解因式：a34ab2 13长城是我国第一批成功入选世界文化遗产的古迹之一，它的总长经过“四舍五入”精确到十万位的近似数约为 6700000 米，将 6700000用科学记

4、数法表示为 14 若一个多边形的内角和是 540，则这个多边形是 边形 15四边形ABCD为O的内接四边形，已知A：B4：5，则A 度 16如图，点G是ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GEBC交AC于点E，如果BC6，那么线段GE的长为 17甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步 1500 米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发 30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是 米 18已知ABC，BAC45，AB8，要使满足条件的ABC唯一确定，那么BC边长

5、度x的取值范围为 三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分）19计算与化简（1）|1|（5）0+4cos45（2）（a+b）2a（a2b）20（1）解方程：；（2）解不等式组：21如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD，相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，求证：AECF 22某同学报名参加校运动会，有以下 5 个项目可供选择：径赛项目：100m，200m，400m（分别用A1、A2、A3表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用B1、B2表示）（1）该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为 ；（2）该同学从 5 个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有

6、可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率 23某企业 500 名员工参加安全生产知识测试，成绩记为A，B，C，D，E共 5 个等级，为了解本次测试的成绩（等级）情况，现从中随机抽取部分员工的成绩（等级），统计整理并制作了如下的统计图：（1）求这次抽样调查的样本容量，并补全图；（2）如果测试成绩（等级）为A，B，C级的定位优秀，请估计该企业参加本次安全生产知识测试成绩（等级）达到优秀的员工的总人数 24阅读理解：x表示不大于x的最大整数，例2.32，5.66（1）8.2 （2）x2 的x的取值范围 （3）直接写出方程2xx2的解 25已知：如图，AB为O的直径，O过AC的中点D

7、，DEBC于点E（1）求证：DE为O的切线；（2）若DE2，tanC，求O的直径 26 某工厂计划生产A、B两种产品共 60 件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料 4 千克，乙种材料 1 千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各 3 千克，经测算，购买甲、乙两种材料各 1 千克共需资金 60 元；购买甲种材料 2 千克和乙种材料 3 千克共需资金155 元（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过 9900 元，且生产B产品不少于 38 件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费 40 元，若生

8、产一件B产品需加工费 50 元，应选择哪种生产方案，使生产这 60件产品的成本最低？（成本材料费+加工费）27已知：，PB4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧（1）如图，当APB45时，求AB及PD的长；（2）当APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应APB的大小 28如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y4x于C、D两点抛物线yax2+bx+c经过O、C、D三点（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此

9、时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中AOC与OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值 答 案 一、选择题 1函数 y2中，自变量 x 的取值范围是（）Ax3 Bx3 Cx3 Dx3【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于 0，可以求出 x 的范围【解答】解：根据题意得：x+30，解得：x3 故选：B【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式

10、时，被开方数非负 2下列运算正确的是（）A3x24x212x2 Bx3+x5x8 Cx4xx3 D（x5）2x7【分析】A、利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可做出判断；B、原式不能合并，本选项错误；C、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；D、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断【解答】解：A、3x24x212x4，本选项错误；B、原式不能合并，错误；C、x4xx3，本选项正确；D、（x5）2x10，本选项错误，故选：C【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方与幂的乘方，以及单项式乘单项式，熟练掌握法则是解本题的关键 3A，B 是数轴上两点，线

11、段 AB 上的点表示的数中，有互为相反数的是（）A B C D【分析】数轴上互为相反数的点到原点的距离相等，通过观察线段 AB 上的点与原点的距离就可以做出判断【解答】解：表示互为相反数的点，必须要满足在数轴原点 0 的左右两侧，从四个答案观察发现，只有 B 选项的线段 AB 符合，其余答案的线段都在原点 0 的同一侧，所以可以得出答案为 B 故选：B【点评】本题考查了互为相反数的概念，解题关键是要熟悉互为相反数概念，数形结合观察线段 AB 上的点与原点的距离 4在平面直角坐标系中，将点 P 向左平移 2 个单位长度后得到点（1，5），则点 P 的坐标是（）A（1，3）B（3，5）C（1，7）

12、D（1，5）【分析】利用平移规律计算即可得到结果【解答】解：由题意知，点 P 的坐标为（1+2，5），即（1，5），故选：D【点评】此题考查了坐标与图形变化平移，熟练掌握平移性质是解本题的关键 5下表是某校合唱团成员的年龄分布表：年龄/岁 12 13 14 15 频数 5 15 x 10 x 对于不同的 x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A平均数、中位数 B众数、中位数 C平均数、方差 D中位数、方差【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为 10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第 14、15 个数据的平均数，可得答案【解答】解：由表可知，年龄为 14 岁与年龄

13、为 15 岁的频数和为 x+10 x10，则总人数为：5+15+1030，故该组数据的众数为 13 岁，中位数为：岁，即对于不同的 x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选：B【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键 6一个圆锥的主视图是边长为 4cm 的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于（）A16cm2 B12cm2 C8cm2 D4cm2【分析】根据视图的意义得到圆锥的母线长为 4，底面圆的半径为 2，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径

14、等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解【解答】解：根据题意得圆锥的母线长为 4，底面圆的半径为 2，所以这个圆锥的侧面积4228（cm2）故选：C【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长 7如图，已知ABC 中，AB10，AC8，BC6，DE 是 AC 的垂直平分线，DE 交 AB于点 D，交 AC 于点 E，连接 CD，则 CD（）A3 B4 C4.8 D5【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出ABC 是直角三角形，进而得出线段 DE 是ABC 的中位线，再利用勾股定理得出 AD，再利用线段垂直平分线的性质得出 DC 的

15、长 【解答】解：AB10，AC8，BC6，BC2+AC2AB2，ABC 是直角三角形，DE 是 AC 的垂直平分线，AEEC4，DEBC，且线段 DE 是ABC 的中位线，DE3，ADDC5 故选：D 【点评】此题主要考查了勾股定理以及其逆定理和三角形中位线的性质，正确得出 AD的长是解题关键 8完全相同的 6 个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为 n、m 的大矩形，则图中阴影部分的周长是（）A6（mn）B3（m+n）C4n D4m【分析】设小长方形的长为 a，宽为 b（ab），根据矩形周长公式计算可得结论【解答】解：设小长方形的长为 a，宽为 b（ab），则 a+3bn，阴影部分的周

16、长为 2n+2（ma）+2（m3b）2n+2m2a+2m6b4m+2n2n4m，故选：D【点评】本题考查整式的加减、列代数式、矩形的周长，解答本题的关键是明确整式的加减运算的计算方法和整体代入的思想 9如图，ABCO 的顶点 B、C 在第二象限，点 A（3，0），反比例函数 y（k0）图象经过点 C 和 AB 边的中点 D，若B，则 k 的值为（）A4tan B2sin C4cos D2tan【分析】过点 C 作 CEOA 于 E，过点 D 作 DFx 轴于 F，根据平行四边形的对边相等可得 OCAB，然后求出 OC2AD，再求出 OE2AF，设 AFa，表示出点 C、D 的坐标，然后根据 C

17、E、DF 的关系列方程求出 a 的值，再求出 OE、CE，然后利用COA 的正切值列式整理即可得解【解答】解：如图，过点 C 作 CEOA 于 E，过点 D 作 DFx 轴于 F，在OABC 中，OCAB，D 为边 AB 的中点，OCAB2AD，CE2DF，OE2AF，设 AFa，点 C、D 都在反比例函数上，点 C（2a，），A（3，0），D（a3，），2，解得 a1，OE2，CE，COA，tanCOAtan，即 tan，k4tan 故选：A 【点评】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数，根据点 C、D 的纵坐标列出方程是解题的关键 10已知二次函数 y（x

18、h）2+1（h 为常数），在自变量 x 的值满足 1x3 的情况下，与其对应的函数值 y 的最小值为 5，则 h 的值为（）A1 或5 B1 或 5 C1 或3 D1 或 3【分析】由解析式可知该函数在 xh 时取得最小值 1，xh 时，y 随 x 的增大而增大；当 xh 时，y 随 x 的增大而减小；根据 1x3 时，函数的最小值为 5 可分如下两种情况：若 h1x3，x1 时，y 取得最小值 5；若 1x3h，当 x3 时，y 取得最小值 5，分别列出关于 h 的方程求解即可【解答】解：当 xh 时，y 随 x 的增大而增大，当 xh 时，y 随 x 的增大而减小，若 h1x3，x1 时，

19、y 取得最小值 5，可得：（1h）2+15，解得：h1 或 h3（舍）；若 1x3h，当 x3 时，y 取得最小值 5，可得：（3h）2+15，解得：h5 或 h1（舍）；若 1h3 时，当 xh 时，y 取得最小值为 1，不是 5，此种情况不符合题意，舍去 综上，h 的值为1 或 5，故选：B【点评】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，本大题共 16 分不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的横线上）119 的平方根是 3 【分析】直接利用平方根的定义计算即可【解答】解：3 的平方是 9，9 的

20、平方根是3 故答案为：3【点评】此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根 12分解因式：a34ab2 a（a+2b）（a2b）【分析】观察原式 a34ab2，找到公因式 a，提出公因式后发现 a24b2符合平方差公式的形式，再利用平方差公式继续分解因式【解答】解：a34ab2 a（a24b2）a（a+2b）（a2b）故答案为：a（a+2b）（a2b）【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，有公因式的首先提取公因式，最后一定要分解到各个因式不能再分解为止 13长城是我国第一批成功入选世界文化遗产的古迹之一，它的总长经过“四舍五入”精确到十万

21、位的近似数约为 6700000 米，将 6700000 用科学记数法表示为 6.7106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 6700000 用科学记数法表示为 6.7106 故答案是：6.7106【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 14若一个多边形的内角和是 54

22、0，则这个多边形是 五 边形【分析】根据多边形的内角和公式求出边数即可【解答】解：设多边形的边数是 n，则（n2）180540，解得 n5，故答案为：五【点评】本题考查了多边形的内角和定理，熟记公式是解题的关键 15四边形 ABCD 为O 的内接四边形，已知A：B4：5，则A 80 度【分析】根据圆的内接四边形对角互补解答即可【解答】解：因为四边形 ABCD 为O 的内接四边形，A：B4：5，可设A 为 4x，B 为 5x，可得：4x+5x180，解得：x20，所以A80，故答案为：80【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补 16如图，点 G 是ABC 的重心，AG 的延

23、长线交 BC 于点 D，过点 G 作 GEBC 交 AC 于点 E，如果 BC6，那么线段 GE 的长为 2 【分析】由点 G 是ABC 重心，BC6，易得 CD3，AG：AD2：3，又由 GEBC，可证得AEGACD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段 GE 的长【解答】解：点 G 是ABC 重心，BC6，CDBC3，2，GEBC，AEGACD，GE2 故答案为：2 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形重心的性质解题时注意：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1 17甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步 1500米，先到

24、终点的人原地休息，已知甲先出发 30 秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离 y（米）与甲出发的时间 x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是 175 米 【分析】根据图象先求出甲、乙的速度，再求出乙到达终点时所用的时间，然后求出乙到达终点时甲所走的路程，最后用总路程甲所走的路程即可得出答案【解答】解：根据题意得，甲的速度为：75302.5 米/秒，设乙的速度为 m 米/秒，则（m2.5）（18030）75，解得：m3 米/秒，则乙的速度为 3 米/秒，乙到终点时所用的时间为：500（秒），此时甲走的路程是：2.5（500+30）1325（米），甲距终点的距离是

25、 15001325175（米）故答案为：175【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解并得到乙先到达终点，然后求出甲、乙两人所用的时间是解题的关键 18已知ABC，BAC45，AB8，要使满足条件的ABC 唯一确定，那么 BC 边长度 x 的取值范围为 x4或 x8 【分析】过点 B 作 BDAC 于点 D，则ABD 是等腰直角三角形；再延长 AD 到 E 点，使 DEAD，再分别讨论点 C 的位置即可【解答】解：过 B 点作 BDAC 于 D 点，则ABD 是等腰三角形；再延长 AD 到 E，使DEAD，当点 C 和点 D 重合时，ABC 是等腰直角三角形，BC4，这个三角形是唯

26、一确定的；当点 C 和点 E 重合时，ABC 也是等腰三角形，BC8，这个三角形也是唯一确定的；当点 C 在线段 AE 的延长线上时，即 x 大于 BE，也就是 x8，这时，ABC 也是唯一确定的；综上所述，BAC45，AB8，要使ABC 唯一确定，那么 BC 的长度 x 满足的条件是：x4或 x8 故答案为：x4或 x8 【点评】本题主要是考查等腰直角概念，正确理解顶点的位置是解本题的关键 三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或验算步骤）19计算与化简（1）|1|（5）0+4cos45（2）（a+b）2a（a2b）【分析】（1

27、）先求出、（5）0、cos45的值，再求出答案即可；（2）先算乘法，再合并同类项即可【解答】解：（1）原式11+4；（2）原式a2+2ab+b2a2+2ab 4ab+b2【点评】本题考查了整式的混合运算、零指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值等知识点，能求出每一部分的值是解（1）的关键，能熟练运用整式的运算法则进行化简是解（2）的关键 20（1）解方程：；（2）解不等式组：【分析】（1）分式方程两边都乘以（x2），把分式方程化为整式方程，求解，再进行检验即可；（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解【解答】解：（1）方程两边都乘以（x2）得，1x13（x2），解得 x2，检验：当 x2 时，

28、x2220，所以，原分式方程无解；（2），解不等式得，x1，解不等式得，x2，所以，不等式组的解集是1x2【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解 求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）21如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD，相交于点 O，EF 过点 O 且与 AB、CD 分别相交于点 E、F，求证：AECF 【分析】由四边形 ABCD 是平行四边形，可得 ABCD，OAOC，继而证得AOECOF，则可证得结论【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，OAOC，OAEOCF，在OAE 和OC

29、F 中，AOECOF（ASA），AECF【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用 22某同学报名参加校运动会，有以下 5 个项目可供选择：径赛项目：100m，200m，400m（分别用 A1、A2、A3表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用 B1、B2表示）（1）该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为 ；（2）该同学从 5 个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率【分析】（1）由 5 个项目中田赛项目有 2 个，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据

30、题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：（1）5 个项目中田赛项目有 2 个，该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：；故答案为：；（2）画树状图得：共有 20 种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的 12 种情况，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为：【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 23某企业 5

31、00 名员工参加安全生产知识测试，成绩记为 A，B，C，D，E 共 5 个等级，为了解本次测试的成绩（等级）情况，现从中随机抽取部分员工的成绩（等级），统计整理并制作了如下的统计图：（1）求这次抽样调查的样本容量，并补全图；（2）如果测试成绩（等级）为 A，B，C 级的定位优秀，请估计该企业参加本次安全生产知识测试成绩（等级）达到优秀的员工的总人数 【分析】（1）抽查人数的样本容量可由 A 级所占的比例 40%，根据总数某级人数比例来计算；可由总数减去 A、C、D、E 的人数求得 B 级的人数，再补全条形统计图；（2）用样本估计总体，用总人数达到优秀的员工的百分比，就是要求的结果【解答】解：（

32、1）依题意有：2040%50（人），则这次抽样调查的样本容量为 50 502058512（人）补全图为：；（2）依题意有 500370（人）答：估计该企业参加本次安全生产知识测试成绩（等级）达到优秀的员工的总人数为 370人【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键会画条形统计图也考查了用样本估计总体 24阅读理解：x表示不大于 x 的最大整数，例2.32，5.66（1）8.2 8 3 （2）x2 的 x 的取值范围 2x3 （3）直接写出方程2xx2的解【分析】（1）根据x表示不大于 x 的最大整数即可求解；（2）结合题目给出x的

33、定义，可以判断x2 中，x 与 2 的大小关系；（3）结合题目给出x的定义，可以判断2xx2中，2x 与 x2的大小关系，从而列出不等式组，确定 x 的范围，最后求出 x 的值；【解答】解：（1）小于 8.2 的最大整数位 8，小于最大的整数位3；故答案为：8；3（2）：x表示不大于 x 的最大整数，2x3 故答案为：2x3（3）由题意可得，解得：0 x2 x2为整数 x0，2 方程2xx2的解为：0，2【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，求出不等式的解 25已知：如图，AB 为O 的直径，O 过 AC 的中点 D，DEBC 于点 E（1）求证：DE 为

34、O 的切线；（2）若 DE2，tanC，求O 的直径 【分析】（1）连接 OD，利用 D 是 AC 中点，O 是 AB 中点，那么 OD 就是ABC 的中位线，利用三角形中位线定理，可知 ODBC，而 DEBC，则DEC90，利用平行线的性质，有ODEDEC90，即 DE 是O 的切线；（2）连接 BD，由于 AB 是直径，那么ADB90，即 BDAC，在ABC 中，点 D是 AC 中点，于是 BD 是 AC 的垂直平分线，那么 BABC，在 RtCDE 中，DE2，tanC，可求 CE4，再利用勾股定理可求 CD2，同理在 RtCDB 中，CD2，tanC，可求 BD，利用勾股定理可求 BC

35、5，从而可知 BABC5【解答】（1）证明：连接 OD D 为 AC 中点，O 为 AB 中点，OD 为ABC 的中位线，ODBC，DEBC，DEC90，ODEDEC90，ODDE 于点 D，DE 为O 的切线；（2）解：连接 DB，AB 为O 的直径，ADB90，DBAC，CDB90 D 为 AC 中点，ABBC，在 RtDEC 中，DE2，tanC，EC，由勾股定理得：DC，在 RtDCB 中，BD，由勾股定理得：BC5，ABBC5，O 的直径为 5 【点评】本题主要是作出合适的辅助线利用了三角形中位线的判定和性质、平行线的性质、切线的判定、直径所对的圆周角等于 90、三角函数值、勾股定理

36、 26某工厂计划生产 A、B 两种产品共 60 件，需购买甲、乙两种材料，生产一件 A 产品需甲种材料 4 千克，乙种材料 1 千克；生产一件 B 产品需甲、乙两种材料各 3 千克，经测算，购买甲、乙两种材料各 1 千克共需资金 60 元；购买甲种材料 2 千克和乙种材料 3 千克共需资金 155 元（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过 9900 元，且生产 B 产品不少于 38 件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？（3）在（2）的条件下，若生产一件 A 产品需加工费 40 元，若生产一件 B 产品需加工费50 元，应选择哪种生产方案，使生产

37、这 60 件产品的成本最低？（成本材料费+加工费）【分析】（1）设甲种材料每千克 x 元，乙种材料每千克 y 元，根据题意列出方程，解方程即可；（2）设生产 B 产品 a 件，生产 A 产品（60a）件根据题意得出一元一次不等式组，解不等式组即可得出结果；（3）设生产成本为 W 元，根据题意得出 W 是 a 的一次函数，即可得出结果【解答】解：（1）设甲种材料每千克 x 元，乙种材料每千克 y 元，依题意得：，解得：；答：甲种材料每千克 25 元，乙种材料每千克 35 元 （2）设生产 B 产品 a 件，生产 A 产品（60a）件 依题意得：解得：38a40；a 的值为非负整数，a38、39、

38、40；答：共有如下三种方案：方案 1、A 产品 22 个，B 产品 38 个，方案 2、A 产品 21 个，B 产品 39 个，方案 1、A 产品 20 个，B 产品 40 个；（3）生产 A 产品 22 件，B 产品 38 件成本最低理由如下：设生产成本为 W 元，则 W 与 a 的关系式为：W（254+351+40）（60a）+（353+253+50）a55a+10 500，即 W 是 a 的一次函数，k550 W 随 a 增大而增大 当 a38 时，总成本最低；即生产 A 产品 22 件，B 产品 38 件成本最低【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的

39、应用；根据题意中的数量关系列出方程组、不等式组、一次函数关系式是解决问题的关键 27已知：，PB4，以 AB 为一边作正方形 ABCD，使 P、D 两点落在直线 AB 的两侧（1）如图，当APB45时，求 AB 及 PD 的长；（2）当APB 变化，且其它条件不变时，求 PD 的最大值，及相应APB 的大小 【分析】（1）作辅助线，过点 A 作 AEPB 于点 E，在 RtPAE 中，已知APE，AP的值，根据三角函数可将 AE，PE 的值求出，由 PB 的值，可求 BE 的值，在 RtABE 中，根据勾股定理可将 AB 的值求出；求 PD 的值有两种解法，解法一：可将PAD 绕点 A 顺时针

40、旋转 90得到PAB，可得PADPAB，求 PD 长即为求 PB 的长，在 RtAPP 中，可将 PP的值求出，在 RtPPB 中，根据勾股定理可将 PB 的值求出；解法二：过点 P 作 AB 的平行线，与 DA 的延长线交于 F，交 PB 于 G，在 RtAEG 中，可求出 AG，EG 的长，进而可知 PG 的值，在 RtPFG 中，可求出 PF，在 RtPDF 中，根据勾股定理可将 PD 的值求出；（2）将PAD 绕点 A 顺时针旋转 90，得到PAB，PD 的最大值即为 PB 的最大值，故当 P、P、B 三点共线时，PB 取得最大值，根据 PBPP+PB 可求 PB 的最大值，此时APB

41、180APP135【解答】解：（1）如图，作 AEPB 于点 E，APE 中，APE45，PA，AEPE1，PB4，BEPBPE3，在 RtABE 中，AEB90，AB 解法一：如图，因为四边形 ABCD 为正方形，可将 PAD 绕点 A 顺时针旋转 90得到PAB，可得PADPAB，PDPB，PAPA PAP90，APP45，PPB90 PPPA2，PDPB；解法二：如图，过点 P 作 AB 的平行线，与 DA 的延长线交于 F，与 DA 的 延长线交 PB 于 G 在 RtAEG 中，可得 AG，EG，PGPEEG 在 RtPFG 中，可得 PFPGcosFPGPGcosABE，FG 在

42、RtPDF 中，可得，PD （2）如图所示，将PAD 绕点 A 顺时针旋转 90 得到PAB，PD 的最大值即为 PB 的最大值，PPB 中，PBPP+PB，PPPA2，PB4，且 P、D 两点落在直线 AB 的两侧，当 P、P、B 三点共线时，PB 取得最大值（如图）此时 PBPP+PB6，即 PB 的最大值为 6 此时APB180APP135 度 【点评】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力，在解题过程中要求学生充分发挥想象空间，确定 PB 取得最大值时点 P的位置 28如图，过 A（1，0）、B（3，0）作 x 轴的垂线，分别交直线 y4x 于 C、D 两

43、点抛物线 yax2+bx+c 经过 O、C、D 三点（1）求抛物线的表达式；（2）点 M 为直线 OD 上的一个动点，过 M 作 x 轴的垂线交抛物线于点 N，问是否存在这样的点 M，使得以 A、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点 M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若AOC 沿 CD 方向平移（点 C 在线段 CD 上，且不与点 D 重合），在平移的过程中AOC 与OBD 重叠部分的面积记为 S，试求 S 的最大值 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由题意，可知 MNAC，因为以 A、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有 MNAC3设点

44、M 的横坐标为 x，则求出 MN|x24x|；解方程|x24x|3，求出 x 的值，即点 M 横坐标的值；（3）设水平方向的平移距离为 t（0t2），利用平移性质求出 S 的表达式：S（t1）2+；当 t1 时，s 有最大值为【解答】解：（1）由题意，可得 C（1，3），D（3，1）抛物线过原点，设抛物线的解析式为：yax2+bx，解得，抛物线的表达式为：yx2+x （2）存在 设直线 OD 解析式为 ykx，将 D（3，1）代入，求得 k，直线 OD 解析式为 yx 设点 M 的横坐标为 x，则 M（x，x），N（x，x2+x），MN|yMyN|x（x2+x）|x24x|由题意，可知 MNA

45、C，因为以 A、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有 MNAC3|x24x|3 若x24x3，整理得：4x212x90，解得：x或 x；若x24x3，整理得：4x212x+90，解得：x 存在满足条件的点 M，点 M 的横坐标为：或或 （3）C（1，3），D（3，1）易得直线 OC 的解析式为 y3x，直线 OD 的解析式为 yx 如解答图所示，设平移中的三角形为AOC，点 C在线段 CD 上 设 OC与 x 轴交于点 E，与直线 OD 交于点 P；设 AC与 x 轴交于点 F，与直线 OD 交于点 Q 设水平方向的平移距离为 t（0t2），则图中 AFt，F（1+t，0），Q（1+t

46、，+t），C（1+t，3t）设直线 OC的解析式为 y3x+b，将 C（1+t，3t）代入得：b4t，直线 OC的解析式为 y3x4t E（t，0）联立 y3x4t 与 yx，解得 xt，P（t，t）过点 P 作 PGx 轴于点 G，则 PGt SSOFQSOEPOFFQOEPG（1+t）（+t）tt（t1）2+当 t1 时，S 有最大值为 S 的最大值为 【点评】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度第（2）问中，解题关键是根据平行四边形定义，得到 MNAC3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题关键是求出 S 的表达式，注意图形面积的计算方法