【最新】河北省中考数学历年压轴题(含答案)58115.pdf

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1、【最新】河北省中考数学压轴题精选（含答案）一（中考压轴题）（10 分）如图 1，在菱形 ABCD 中，AC=2，BD=2，AC、BD 相交于点 O（1）AB 的长为 ；（2）如图 2，将一个足够大的直角三角板 60角的顶点放在菱形 ABCD的顶点 A 处，绕点 A 左右旋转，其中三角板 60角的两边分别与边BC，CD 相交于点 E，F，连接 EF 与 AC 相交于点 G 求证：ABEACF；判断AEF 是哪一种特殊三角形，并说明理由 二（中考压轴题）（12 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（5，3），点 B（3，3），过点 A 的直线 y=x+m（m 为常数）与直线x=1 交于点 P，

2、与 x 轴交于点 C，直线 BP 与 x 轴交于点 D（1）求点 P 的坐标；（2）求直线 BP 的解析式，并直接写出PCD 与PAB 的面积比；（3）若反比例函数 y=（k 为常数且 k0）的图象与线段 BD 有公共点时，请直接写出 k 的最大值或最小值 三（中考压轴题）（12 分）如图 1，点 O 在线段 AB 上，（不与端点 A、B 重合），以点 O 为圆心，OA 的长为半径画弧，线段 BP 与这条弧相切与点 P，直线 CD 垂直平分 PB，交 PB 于点 C，交 AB 于点 D，在射线DC 上截取 DE，使 DE=DB，已知 AB=6，设 OA=r（1）求证：OPED；（2）当ABP=

3、30时，求扇形 AOP 的面积，并证明四边形 PDBE 是菱形；（3）过点 O 作 OFDE 于点 F，如图 2 所示，线段 EF 的长度是否随 r的变化而变化？若不变，直接写出 EF 的值；若变化，直接写出 EF 与r 的关系 四（中考压轴题）（12 分）大学生自主创业，集资 5 万元开品牌专卖店，已知该品牌商品成本为每件 a 元，市场调查发现日销售量 y（件）与销售价 x（元/件）之间存在一次函数关系如表：销售价 x（元/件）110 115 120 125 130 销售量 y（件）50 45 40 35 30 若该店某天的销售价定为 110 元/件，雇有 3 名员工，则当天正好收支平衡（其

4、中支出=商品成本+员工工资+应支付其它费用）：已知员工的工资为每人每天 100 元，每天还应支付其它费用为 200 元（不包括集资款）（1）求日销售量 y（件）与销售价 x（元/件）之间的函数关系式；（2）该店现有 2 名员工，试求每件服装的销售价定为多少元时，该服装店每天的毛利润最大：（毛利润销售收入一商品成本一员工工资一应支付其他费用）（3）在（2）的条件下，若每天毛利润全部积累用于一次性还款，而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息，则该店最少需要多少天（取整数）才能还清集资款？五（中考压轴题）（9 分）已知如图：点（1，3）在函数 y=（x0）的图象上，矩形 ABCD 的边 BC 在

5、x 轴上，E 是对角线 BD 的中点，函数 y=（x0）的图象又经过 A、E 两点，点 E 的横坐标为 m，解答下列问题：（1）求 k 的值；（2）求点 A 的坐标；（用含 m 代数式表示）（3）当ABD=45时，求 m 的值 六（中考压轴题）（10 分）某学校为改善办学条件，计划采购 A、B两种型号的空调，已知采购 3 台 A 型空调和 2 台 B 型空调，需费用39000 元；4 台 A 型空调比 5 台 B 型空调的费用多 6000 元（1）求 A 型空调和 B 型空调每台各需多少元；（2）若学校计划采购 A、B 两种型号空调共 30 台，且 A 型空调的台数不少于 B 型空调的一半，两

6、种型号空调的采购总费用不超过217000 元，该校共有哪几种采购方案？（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？七（中考压轴题）（10 分）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”（1）概念理解：如图 1，在ABC 中，AC=6，BC=3，ACB=30，试判断ABC 是否是”等高底”三角形，请说明理由（2）问题探究：如图 2，ABC 是“等高底”三角形，BC 是”等底”，作ABC 关于BC所在直线的对称图形得到ABC，连结AA交直线BC于点D 若点 B 是AAC 的重心，求的值（3）应用

7、拓展：如图 3，已知 l1l2，l1与 l2之间的距离为 2“等高底”ABC 的“等底”BC在直线l1上，点A 在直线 l2上，有一边的长是BC的倍 将ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45得到ABC，AC 所在直线交 l2于点 D求 CD 的值 八（中考压轴题）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得四边形 PAOC的周长最小？若存在，求出四边形 PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由（3）如图，点 Q 是线段 OB 上一动点，连接 BC，在线段 BC 上是否存在这

8、样的点 M，使CQM 为等腰三角形且BQM 为直角三角形？若存在，求点 M 的坐标；若 不存在，请说明理由 答 案 一（9 分）如图 1，在菱形 ABCD 中，AC=2，BD=2，AC、BD 相交于点 O（1）AB 的长为 2；（2）如图 2，将一个足够大的直角三角板 60角的顶点放在菱形 ABCD的顶点 A 处，绕点 A 左右旋转，其中三角板 60角的两边分别与边BC，CD 相交于点 E，F，连接 EF 与 AC 相交于点 G 求证：ABEACF；判断AEF 是哪一种特殊三角形，并说明理由 【解答】解：（1）在菱形 ABCD 中，AC=2，BD=2，AOB=90，OA=AC=1，BO=BD=

9、，在 RtAOB 中，由勾股定理得：AB=2；故答案为：2；（2）由（1）知，菱形 ABCD 的边长是 2，AC=2，ABC 和ACD 是等边三角形，BAC=BAE+CAE=60，EAF=CAF+CAE=60，BAE=CAF，在ABE 和ACF 中，ABEACF（ASA），AEF 是等边三角形，理由是：ABEACF，AE=AF，EAF=60，AEF 是等边三角形 二（10 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（5，3），点 B（3，3），过点 A 的直线 y=x+m（m 为常数）与直线 x=1 交于点 P，与x 轴交于点 C，直线 BP 与 x 轴交于点 D（1）求点 P 的坐标；（2）求

10、直线 BP 的解析式，并直接写出PCD 与PAB 的面积比；（3）若反比例函数 y=（k 为常数且 k0）的图象与线段 BD 有公共点时，请直接写出 k 的最大值或最小值 【解答】解：（1）过点 A（5，3），3=5+m，解得 m=，直线为 y=x+，当 x=1 时，P（1，1）；（2）设直线 BP 的解析式为 y=ax+b 根据题意，得 直线 BP 的解析式为 y=x+，p（1，1），A（5，3），B（3，3），=（）2=；（3）当 k0 时，反比例函数在第二象限，函数图象经过 B 点时，k的值最小，此时 k=9；当 k0 时，反比例函数在第一象限，k 的值最大，联立得：，消去 y 得：x+

11、=，整理得：x23x+2k=0，反比例函数与线段 BD 有公共点，=32412k0，解得：k，故当 k0 时，最小值为9；当 k0 时，最大值为；三（11 分）如图 1，点 O 在线段 AB 上，（不与端点 A、B 重合），以点 O 为圆心，OA 的长为半径画 弧，线段 BP 与这条弧相切与点 P，直线 CD 垂直平分 PB，交 PB 于点 C，交 AB 于点 D，在射线 DC 上截取 DE，使 DE=DB，已知 AB=6，设 OA=r（1）求证：OPED；（2）当ABP=30时，求扇形 AOP 的面积，并证明四边形 PDBE 是菱形；（3）过点 O 作 OFDE 于点 F，如图 2 所示，线

12、段 EF 的长度是否随 r的变化而变化？若不变，直接写出 EF 的值；若变化，直接写出 EF 与r 的关系 【解答】解：（1）BP 为O 的切线，OPBP，CDBP，OPB=DCB=90，OPED；（2）在 RtOBP 中，OPB=90，ABP=30，POB=60，AOP=120 在 RtOBP 中，OP=OB，即 r=（6r），解得：r=2，S扇形 AOP=CDPB，ABP=30，EDB=60，DE=BD，EDB 是等边三角形，BD=BE 又CDPB，CD=CE DE 与 PB 互相垂直平分，四边形 PDBE 是菱形 （3）EF 的长度不随 r 的变化而变化，且 EF=3，AO=r、AB=6

13、，BO=ABAO=6r，BP 为O 的切线，BPO=90，直线 CD 垂直平分 PB，DCB=OPB=90，且 BC=PC，DBC=OBP，DBCOBP，=，则 CD=OP=r、BD=OB=（6r）=3，DB=DE=3，CE=DECD=3 r，OFEF，OFC=FCP=CPO=90，四边形 OFCP 为矩形，CF=OP=r，则 EF=CF+CE=r+3r=3，即 EF 的长度为定值，EF=3 四（12 分）大学生自主创业，集资 5 万元开品牌专卖店，已知该品牌商品成本为每件 a 元，市场调查发现日销售量 y（件）与销售价 x（元/件）之间存在一次函数关系如表：销售价 x（元/110 115 1

14、20 125 130 件）销售量 y（件）50 45 40 35 30 若该店某天的销售价定为 110 元/件，雇有 3 名员工，则当天正好收支平衡（其中支出=商品成本+员工工资+应支付其它费用）：已知员工的工资为每人每天 100 元，每天还应支付其它费用为 200 元（不包括集资款）（1）求日销售量 y（件）与销售价 x（元/件）之间的函数关系式；（2）该店现有 2 名员工，试求每件服装的销售价定为多少元时，该服装店每天的毛利润最大：（毛利润销售收入一商品成本一员工工资一应支付其他费用）（3）在（2）的条件下，若每天毛利润全部积累用于一次性还款，而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息，则该

15、店最少需要多少天（取整数）才能还清集资款？【解答】解：（1）由表可知，y 是关于 x 的一次函数，设 y=kx+b，将 x=110、y=50，x=115、y=45 代入，得：，解得：，y=x+160；（2）由已知可得：50110=50a+3100+200，解得：a=100，设每天的毛利润为 W，则 W=（x100）y2100200=（x100）（x+160）2100200=x2+260 x16400=（x130）2+500，当 x=130 时，W 取得最大值，最大值为 500，答：每件服装的销售价定为 130 元时，该服装店每天的毛利润最大，最大利润为 500 元；（3）设需 t 天能还清借款

16、，则 500t50000+0.000250000t 解得：t102，t 为整数，t 的最小值为 103，答：该店最少需要 103 天才能还清集资款 五【解答】解：（1）由函数 y=图象过点（1，3），则把点（1，3）坐标代入 y=中，得：k=3，y=；（2）连接 AC，则 AC 过 E，过 E 作 EGBC 交 BC 于 G 点 点 E 的横坐标为 m，E 在双曲线 y=上，E 的纵坐标是 y=，E 为 BD 中点，由平行四边形性质得出 E 为 AC 中点，BG=GC=BC，AB=2EG=，即 A 点的纵坐标是，代入双曲线 y=得：A 的横坐标是m，A（m，）；（3）当ABD=45时，AB=A

17、D，则有=m，即 m2=6，解得：m1=，m2=（舍去），m=六【解答】解：（1）设 A 型空调和 B 型空调每台各需 x 元、y 元，解得，来源:学|科|网 Z|X|X|K 答：A 型空调和 B 型空调每台各需 9000 元、6000 元；（2）设购买 A 型空调 a 台，则购买 B 型空调（30a）台，解得，10a12，a=10、11、12，共有三种采购方案，方案一：采购 A 型空调 10 台，B 型空调 20 台，方案二：采购 A 型空调 11 台，B 型空调 19 台，方案三：采购 A 型空调 12 台，B 型空调 18 台；（3）设总费用为 w 元，w=9000a+6000（30a）

18、=3000a+180000，当 a=10 时，w 取得最小值，此时 w=210000，即采购 A 型空调 10 台，B 型空调 20 台可使总费用最低，最低费用是210000 元 七【解答】解：（1）ABC 是“等高底”三角形；理由：如图1，过A作ADBC于D，则ADC是直角三角形，ADC=90，ACB=30，AC=6，AD=AC=3，AD=BC=3，即ABC 是“等高底”三角形；（2）如图 2，ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，AD=BC，ABC 关于 BC 所在直线的对称图形是ABC，ADC=90，点 B 是AAC 的重心，BC=2BD，设 BD=x，则 AD=BC=2x，CD

19、=3x，由勾股定理得 AC=x，=；（3）当 AB=BC 时，如图 3，作 AEBC 于 E，DFAC 于 F，“等高底”ABC 的“等底”为 BC，l1l2，l1与 l2之间的距离为2，AB=BC，BC=AE=2，AB=2，BE=2，即 EC=4，AC=2，ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45得到ABC，DCF=45，设 DF=CF=x，l1l2，ACE=DAF，=，即 AF=2x，AC=3x=2，x=，CD=x=如图 4，此时ABC 等腰直角三角形，ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45得到ABC，ACD 是等腰直角三角形，CD=AC=2 当 AC=BC 时，如图 5，此时ABC 是

20、等腰直角三角形，ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45得到ABC，ACl1，CD=AB=BC=2；如图 6，作 AEBC 于 E，则 AE=BC，AC=BC=AE，ACE=45，ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45，得到ABC 时，点 A在直线 l1上，ACl2，即直线 AC 与 l2无交点，综上所述，CD 的值为，2，2 八【解答】解：（1）根据题意设抛物线的解析式为 y=a（x1）（x4），代入 C（0，3）得 3=4a，解得 a=，y=（x1）（x4）=x2x+3，所以，抛物线的解析式为 y=x2x+3（2）A、B 关于对称轴对称，如图 1，连接 BC，BC 与对称轴的交点即为所求

21、的点 P，此时 PA+PC=BC，四边形 PAOC 的周长最小值为：OC+OA+BC，A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），OA=1，OC=3，BC=5，OC+OA+BC=1+3+5=9；在抛物线的对称轴上存在点 P，使得四边形 PAOC 的周长最小，四边形 PAOC 周长的最小值为 9（3）B（4，0）、C（0，3），直线 BC 的解析式为 y=x+3，当BQM=90时，如图 2，设 M（a，b），CMQ90，只能 CM=MQ=b，MQy 轴，来源:学|科|网 MQBCOB，=，即=，解得 b=，代入 y=x+3 得，=a+3，解得 a=，M（，）；当QMB=90时，如图 3，来源:学。科。网 Z。X。X。K CMQ=90，只能 CM=MQ，设 CM=MQ=m，BM=5m，BMQ=COB=90，MBQ=OBC，BMQBOC，=，解得 m=，作 MN OB，=，即=，MN=，CN=，ON=OCCN=3=，M（，），综上，在线段 BC 上存在这样的点 M，使CQM 为等腰三角形且BQM为直角三角形，点 M 的坐标为（，）或（，）