点线面关系练习题有答案20910.pdf

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1、.-可修编-/a/ab点线面位置关系总复习 知识梳理 一、直线与平面平行 1.判定方法（1）定义法：直线与平面无公共点。（2）判定定理：（3）其他方法：/a 2.性质定理：/aab 二、平面与平面平行 1.判定方法（1）定义法：两平面无公共点。（2）判定定理：/abababP/（3）其他方法：aa/;/a/2.性质定理：/ab 三、直线与平面垂直（1）定义：如果一条直线与一个平面的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。（2）判定方法 用定义./abab/a/ab.-可修编-/ab 判定定理:abacbcAbca 推论:/aabb（3）性质 ababab 四、平面与平面垂直（1）定义：两个平

2、面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。（2）判定定理aa（3）性质 性质定理laal lPPAA垂足为Al 3lPPAPA “转化思想”面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直 .-可修编-求二面角 1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.2.在二面角的棱上任取一点O，在两半平面分别作射线OAl，OBl，则AOB叫做二面角的平面角 例 1如图，在三棱锥 S-ABC 中，SA底面 ABC，ABBC，DE 垂直平分 SC，且分别交 AC 于 D，交 SC 于 E，又SA=AB，SB=BC，求以 BD 为棱，

3、以 BDE 和 BDC 为面的二面角的度数。求线面夹角 定义：斜线和它在平面的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。例 1：在棱长都为 1 的正三棱锥 SABC 中，侧棱 SA 与底面 ABC 所成的角是_ 例 2：在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，BC1 与平面 AB1 所成的角的大小是_；BD1 与平面 AB1 所成的角的大小是_；CC1 与平面 BC1D 所成的角的大小是_；.-可修编-BC1 与平面 A1BCD1 所成的角的大小是_；BD1 与平面 BC

4、1D 所成的角的大小是_；例 3：已知空间一点 O 出发的三条射线 OA、OB、OC 两两夹角为 60，试求 OA 与平面 BOC 所成的角的大小 求线线距离 说明：求异面直线距离的方法有：(1)（直接法）当公垂线段能直接作出时，直接求此时，作出并证明异面直线的公垂线段，是求异面直线距离的关键(2)（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线a、b距离，先作出过a且平行于b的平面，则b与距离就是a、b距离（线面转化法）也可以转化为过a平行b的平面和过b平行于a的平面，两平行平面的距离就是两条异面直线距离（面面转化法）(3)（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求(4)（构造函数

5、法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解 两条异面直线间距离问题，教科书要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离），这方面的问题的其他解法，要适度接触，以开阔思路，供学有余力的同学探求 例：在棱长为a的正方体中，求异面直线BD和CB1之间的距离。.-可修编-1111ABCDABC D111/B ADBC D平面平面 线面平行（包括线面距离）例：已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SCSBSA，SG为SAB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明 面面平行（包括面面距离）例 1：已知正方体 ，求证 例 2：在棱长为a

6、的正方体中，求异面直线BD和CB1之间的距离 .-可修编-面面垂直 例 1：已知直线 PA 垂直正方形 ABCD 所在的平面，A 为垂足。求证：平面 PAC平面 PBD。例 2：已知直线 PA 垂直于O 所在的平面，A 为垂足，AB 为O 的直径，C 是圆周上异于 A、B 的一点。求证：平面 PAC平面 PBC。课后作业：一、选择题 1.教室任意放一支笔直的铅笔，则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线()A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 2.若m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是()A.若m，则m B.若m，n，mn，则 C.若m，m，则 D.若，则 3

7、.(改编题)设P是ABC所在平面外一点，P到ABC各顶点的距离相等，而且P到ABC各边的距离也相等，那么ABC()A.是非等腰的直角三角形.-可修编-B.是等腰直角三角形 C.是等边三角形 D.不是 A、B、C 所述的三角形 4.把等腰直角ABC沿斜边上的高AD折成直二面角BADC，则BD与平面ABC所成角的正切值为()A.2B.22 C.1D.33 5.如图，已知ABC为直角三角形，其中ACB90，M为AB的中点，PM垂直于ACB所在平面，那么()A.PAPBPC B.PAPBPC C.PAPBPC D.PAPBPC 二、填空题：6.正四棱锥SABCD的底面边长为 2，高为 2，E是边BC的

8、中点，动点P在表面上运动，并且总保持PEAC，则动点P的轨迹的周长为.7.、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：mn；n；m.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：.三、解答题 11.如图(1)，等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD，ABC60，E是BC的中点，如图(2)，将ABE沿AE折起，使二面角BAEC成直二面角，连接BC，BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点.(1)求证：AEBD；(2)求证：平面PEF平面AECD；(3)判断DE能否垂直于平面ABC？并说明理由.-可修编-,12345,OPAABCDM NAB PCM

9、NPADMNCDPDAMNPCD如图，已知矩形所在平面。分别是的中点。（）求证：面（）求证：（）若求证：面 12.12.如图所示，已知BCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E、F分别是AC、AD上的动点，且AEACAFAD(01).(1)求证：不论为何值，总有平面BEF平面ABC；(2)当为何值时，平面BEF平面ACD？.-可修编-13.如图，在矩形ABCD中，AB2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP平面ABCD.(1)求证：DP平面EPC；(2)问在EP上是否存在点F使平面AFD平面BFC？若存在，求出FPAP的值.参考答案 求二面角 分析:找二面角的平面角

10、,有一种方法是找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.解：在 RtSAC 中，SA=1，SC=2，ECA=30，在 RtDEC 中，DEC=90，.-可修编-EDC=60，所求的二面角为 60。求线线距离 解法 1：（直接法）如图：取BC的中点P，连结PD、1PB分别交AC、1BC于M、N两点，易证：MNDB/1，ACDB 1，11BCDB MN为异面直线AC与1BC的公垂线段，易证：aDBMN33311 小结：此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解但通常寻找公垂线段时，难度较大 解法 2：（转化法）如图：/AC平面BCA11，AC与1B

11、C的距离等于AC与平面BCA11的距离，在1OBORt中，作斜边上的高OE，则OE长为所求距离，aOB22，aOO 1，aBO231，aBOOBOOOE3311 小结：这种解法是将线线距离转化为线面距离 解法 3：（转化法）如图：.-可修编-平面1ACD/平面BCA11，AC与1BC的距离等于平面1ACD与平面BCA11的距离 1DB平面1ACD，且被平面1ACD和平面BCA11三等分；所求距离为aDB33311 小结：这种解法是线线距离转化为面面距离 解法 4：（构造函数法）如图：任取点1BCQ，作BCQR 于R点，作ACPK 于K点，设xRC，则xaQRBR，KRCK，且222CRCKKR

12、 2222121xCRKR 则222)(21xaxQK 2223131)32(23aaax，故QK的最小值，即AC与1BC的距离等于a33 小结：这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离 解法 5：（体积桥法）如图：.-可修编-当求AC与1BC的距离转化为求AC与平面BCA11的距离后，设C点到平面BCA11的距离为h，则1111BCCABCACVV 222131)2(4331aaah，ah33即AC与1BC的距离等于a33 小结：本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体化为锥体的高，然后用体积公式求之这种方法在后面将要学到

13、 线面平行 例：分析 1：如图，观察图形，即可判定/SG平面DEF，要证明结论成立，只需证明SG与平面DEF的一条直线平行 观察图形可以看出：连结CG与DE相交于H，连结FH，FH就是适合题意的直线 怎样证明FHSG/？只需证明H是CG的中点 证法 1：连结CG交DE于点H，DE是ABC的中位线，ABDE/在ACG中，D是AC的中点，且AGDH/，H为CG的中点.-可修编-FH是SCG的中位线，SGFH/又SG平面DEF，FH平面DEF，/SG平面DEF 分析 2：要证明/SG平面DEF，只需证明平面SAB/平面DEF，要证明平面DEF/平面SAB，只需证明DFSA/，EFSB/而DFSA/，

14、EFSB/可由题设直接推出 证法 2：EF为SBC的中位线，SBEF/EF平面SAB，SB平面SAB，/EF平面SAB 同理：/DF平面SAB，FDFEF，平面SAB/平面DEF，又SG平面SAB，/SG平面DEF 面面平行 例一：证明：1111-DCBAABCD为正方体，BCAD11/，又BC1平面BDC1，故/1AD平面BDC1 同理/11BD平面BDC1 又 1111DBDAD，平面/11DAB平面BDC1 例二：根据正方体的性质，易证：.-可修编-1111111/DCBBDACDBADBBD平面平面 连结1AC，分别交平面BDA1和平面11DCB于M和N 因为1CC和1AC分别是平面A

15、BCD的垂线和斜线，AC在平面ABCD，BDAC 由三垂线定理：BDAC 1，同理：DAAC11 1AC平面BDA1，同理可证：1AC平面11DCB 平面BDA1和平面11DCB间的距离为线段MN长度 如图所示：在对角面1AC中，1O为11CA的中点，O为AC的中点 aACNCMNAM333111 BD和CB1的距离等于两平行平面BDA1和11DCB的距离为a33 面面垂直 例 1：例 2：AB是圆O 的直径C 是圆周上异于 A、B 的一点BCACPA平面ABCBC平面ABCBCPAAC平面PAC，PA 平面PACACPAABC平面PACBC平面PBC平面PAC 平面PBC。.-可修编-作业：一、选择题：1.D 2.C3.C4.B5.C 6.解析：如图，取 CD 的中点 F、SC 的中点 G，连接 EF，EG，FG，EF 交 AC 于点 H，易知 ACEF，又 GHSO，GH平面 ABCD，ACGH，AC平面 EFG，故点 P 的轨迹是EFG，其周长为26.答案：26 7.；