空间两条直线的位置关系20577.pdf

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1、 .-可修编.空间两条直线的位置关系 知识点一 空间两条直线的位置关系 1异面直线 定义：不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线。特点：既不相交，也不平行。理解：“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此，异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性。“不同在任”也可以理解为“任何一个平面都不可能同时经过这两条直线”。不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线 也就是说，在两个不同平面内的直线，它们既可以是平行直线，也可以是相交直线 2空间两条直线的位置关系 相交在同一平面内，有且只有一个公共点；平行在同一平面内，没有公共点；异面不同在任何个

2、平面内，没有公共点 例 1、正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N 分别为棱 C1D1、C1C 的中点，有以下四个结论：直线 AM 与 CC1 是相交直线；直线 AM 与 BN 是平行直线；直线 BN 与 MB1 是异面直线；直线 AM 与 DD1 是异面直线 其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论的序号都填上)答案：例 2、异面直线是指_ 空间中两条不相交的直线；分别位于两个不同平面内的两条直线；平面内的一条直线与平面外的一条直线；不同在任何一个平面内的两条直线 变式 1、一个正方体中共有对异面直线 知识点二 平行直线 1公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示：2等

3、角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.例 3、如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E、F分别为 AB、BC的中点，求证：EFA1C1.ab bc ac A B C D BA1 CB1 DA B C D E F .-可修编.变式 1、如图E、F、G、H是平面四边形ABCD四边中点，四边形EFGH的形状是平行四边形吗？为什么？如果将ABCD沿着对角线BD折起就形成空间四边形ABCD，那么四边形EFGH的形状还是平行四边形吗？例 4、如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E1、E分别 为A1D1、AD的中点，求证：C1E1B1=CEB 知识

4、点三异面直线 1、异面直线的画法：为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性，如下图(l)，若画成如下图(2)的情形，就分不开了，千万不能画成(2)的图形。画平面衬托时，通常画成下图中的情形。2、异面直线的判定 异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 判定两条直线为异面直线的常用方法有：定义法：不同在任一平面内的两条直线 定理法：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线为异面直线 推论法：一条异面直线上两点与另一条异面直线上两点所连成的两条直线为异面直线 反证法：反证法是证明立体几何问

5、题的一种重要方法，证明步骤有三步：一是提出与结论相反的假设；二是由此假设推出与题目条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾结果；三是推翻假设，从而肯定与假设相反的结论，A B C D E F G H A B C D E F G H 折EE ACBDA B C D .-可修编.即命题的结论成立，3、异面直线所成的角 a与b是异面直线，经过空间任意一点 O，作直线aa，b/b，直线a和b 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b 所成的角如下图所示 异面直线所成角的 X 围是 090；(2)为了求异面直线 a，b 所成的角，可以在空间中任取一点 O，为了简便，点 O 常常取这里的点通常选

6、择特殊位置的点，如线段的中点或端点或异面直线连线中点，也可以是异面直线中某一条上的一个特殊点.将这个角放入某个三角形中计算这个角的大小，若该三角形是直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，便易求此角的大小.(3)我们规定：两条平行直线所成的角为 0角，两条相交直线所成的角为这两条相交直线所成的四个角中的锐角（或直角），因此在空间中的两条直线所成的角的 X 围为(0，90；特别地，若两异面直线所成角为 90，则称两异面直线互相垂直；(4)求异面直线所成角的一般步骤是：构造 恰当地选择一个点，用平移法构造异面直线所成的角 证明 证明中所作出的角就是所求异面直线所成的角，计算 通过解三角形（常用余弦定理

7、）等知识，求中所构造的角的大小，结论 假如所构造的角的大小为，若 090，则即为所求异面直线所成角的大小；若 90180，则 180即为所求。例 5、已知平面l，直线,Plaa直线lbb/,，求证：直线 a 和 b 是异面直线 例 6、如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点，问：(1)AM 和是否是异面直线？说明理由；(2)D1B 和 CC1 是否是异面直线？说明理由 解：(1)不是异面直线理由如下：M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点，MNA1C1.又A1AD1D，而 D1DC1C，A1AC1C，A1ACC1 为平行四边形，.-可修编

8、.A1C1AC，得到 MNAC，A，M，N，C 在同一个平面内，故 AM 和不是异面直线(2)是异面直线理由如下：假设 D1B 与 CC1 在同一个平面 D1CC1 内，则 B平面 CC1D1，C平面 CC1D1，BC 平面 CC1D1，这与 BC 是正方体的棱相矛盾，假 例 7、如图 21218，已知不共面的三条直线a，b，c相交于点P，Aa，Ba，Cb，Dc，求证：AD和BC是异面直线 证法一：（反证法）：假设AD和BC共面，所确定的平面为，那么点P、A、B、C、D都在平面内，直线a、b、c都在平面内，与已知条件a、b、c不共面相矛盾 AD与BC是异面直线 证法二：（直接用判定定理）：ac

9、P，a和c确定一个平面，设为，巳知C平面，B平面，AD平面，BAD，AD和BC是异面直线 变式 1、如图 21219，a，b是异面直线，A、Ba，C、Db，E、F分别为线段AC和BD的中点，判断直线EF和a的位置关系，并证明你的结论 答案：EF和a是异面直线，可用反证法证明 例 8、正方体 ACl中，E，F 分别是 A1B1，B1Cl 的中点，求异面直线 DB1与 EF 所成角的大小。变式 1、空间四边形 ABCD 中，E、F 分别是对角线 BD、AC 的中点，若 BCAD2EF，求直线 EF 与直线 AD 所成的角。例 9、直三棱柱中，若，则异面直线与 .-可修编.所成的角等于 A30 B4

10、5 C60 D90 解：C 变式 1、已知空间四边形 ABCD 各边长相等，求异面直线 AB 和 CD所成的角的大小.解：异面直线 AB、CD 成 90角.巩固练习：一、判断题 1.若三条直线两两平行，则这三条直线必共面 ()2.互不平行的两条直线是异面直线 ()二、单选题 1.关于异面直线，有下列 3 个命题：分别在两个不同平面内的两直线是异面直线 平面内的一直线与平面外的一直线是异面直线 都不在某一平面内的两条直线是异面直线其中真命题的个数是 A0 B1 C2 D3 2.直线 a、b 是两条异面直线，A、B 与 C、D 分别为直线 a、b 上不同的点，则直线 AC与 BD 的关系是 A可能

11、相交 B可能平行 C异面 D相交或异面 3.两条异面直线指的是 A在空间不相交的两条直线 B分别位于两个不同平面内的两条直线 C一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 D不同在任何一个平面内的两条直线 4.下列命题中，真命题的是 A两两相交的三条直线共面 B两两相交且不共点的四条直线共面 C不共面的四点中可以有三点共线 D边长相等的四边形一定是菱形 5.空间两条互相平行的直线，指的是 A在空间没有公共点的两条直线 B分别在两个平行平面内的两条直线 C位于同一平面内且没有公共点的两条直线 D分别与第三条直线成等角的两条直线 6.平面 M、N 相交于 EF，分别在平面 M、N 内作EAC=FB

12、D，则 AC 和 BD 的关系是 A异面 B平行 C相交 D不确定 7.直线 a 和 b 是异面直线，直线 ca，那么 b 与 c A异面 B不异面 C相交 D异面或相交 8.如果一条直线和两条异面直线都相交，那么它们可确定 A4 个平面 B3 个平面 C2 个平面 D1 个平面 9.若 m 和 n 是异面直线，n 和 l 也是异面直线，则 A当 ml=时，m 与 l 异面 Bml=.-可修编.C当 m 与 l 共面时，ml Dm 与 l 相交、异面、平行都可能 10若 P 是两条异面直线 l、m 外的任意一点，则()A过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都平行 B过点 P 有且仅有一条直线

13、与 l、m 都垂直 C过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都相交 D过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都异面 11过正方体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l，使 l 与棱 AB，AD，AA1 所成的角都相等，这样的直线 l 可以作()A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 三、填空题 1.“直线 a、b 异面”的否定说法是“_”2.不平行的两条直线的位置关系是_ 3.“直线 a、b 相交”的否定说法是“_”4.过已知直线外一点，可以作_条直线与已知直线垂直 5.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是_ 6.已知直线 a 和 b 是异面直线，直线 c 和 a 平行而不和 b

14、 相交，则 c 和 b 的位置关系是_ 7.直线 a、b 确定一个平面，则 a、b 的位置关系是_ 8.“直线 a、b 异面”还可以说成“直线 a、b 既不_，又不_”9.空间有三条直线 a、b、c，如果 ba，ca，那么直线 b、c 的位置关系是_ 10.和两条异面直线中的一条相交的直线与另一条直线的位置关系是_ 11.已知直线 a、b、c 满足 ab，b 与 c 是异面直线，则 a 与 c 的位置关系是_ 12.正方体 ABCDA1B1C1D1 中，与侧面对角线 AD1 成异面直线的棱共有_条，它们分别是_ 13.正方体 ABCDA1B1C1D1 中，与棱 AB 成异面直线的棱共有_条，它

15、们分别是_ 14.正方体的 12 条棱中，互为异面直线的有_对.答案 一、判断题 1.2.二、单选题 1.A2.C3.D4.B5.C6.D7.D8.C9.D10.B 11.D 三、填空题 1.a、b 共面 2.相交或异面 3.a、b 不相交或 a、b 无公共点 4.无数 5.平行或相交或异面 6.异面 7.相交或平行 8.相交，平行 9.平行或相交或异面 10.相交或平行或异面 11.相交或异面 12.6；BC，B1C1，BB1，CC1，DC，A1B113.4；A1D1，B1C1，CC1，DD1 14.24 .-可修编.空间两条直线的位置关系 1.已知直线ba,都在平面外,则下列推断错误的是（

16、）A/,/abba B/,abba Cbaba/,/Dbaba/,【答案】C 2.已知直线l平面，P，那么过点P且平行于l的直线()A只有一条，不在平面内 B只有一条，在平面内 C有两条，不一定都在平面内 D有无数条，不一定都在平面内【答案】B 3.下列命题正确的是（）A若两条直线与同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面 C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C 4.下列四个条件中,能确定一个平面的是（）A.一条直线和一个点 B.空间两条直线

17、C.空间任意三点 D.两条平行直线【答案】D 5.在平整的地面上任意放一根笔直的钢管,则在地面上必存在直线与钢管所在的直线()A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直【答案】D 6.平行于同一平面的两条直线的位置关系（）A平行 B相交 C异面 D平行、相交或异面【答案】D 7.下列命题中，错误的是()A三角形的两条边平行一个平面，则第三边也平行于这个平面 B平面平面，a，过内的一点B有惟一的一条直线b，使ba.C，、的交线为a、b、c、d，则abcd.D一条直线与两个平面所成角相等，则这两个平面平行【答案】D 8.直线m不平行于平面，且m，则下列结论成立的是（）A内所有直线与m异面 B内不存在与

18、m平行的直线 C内存在唯一的直线与m平行 D内的直线与m都相交【答案】B 9.正三棱锥P-ABC的高为2，侧棱与底面所成的角为450，则点A到侧面PBC的距离是（）.-可修编.A.5B.22C.2D.556 【答案】D 10.在棱长为 1 的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与所成角的余弦值是（）A23 B1010 C53 D52【答案】D 11.已知直线,l m，平面,，且l，m，给出下列四个命题：若，则lm；若lm，则；若，则lm；若lm，则 其中真命题的个数为()A1 B2 C3 D4【答案】B 12.设m、n是两条不同的直线，、是两个不重

19、合的平面，给定下列四个命题：若mn，n，则m；若a，a，则；若m，n，则/mn；若m，n，/则/mn其中真命题的是（）A和 B和 C和 D和【答案】B 13.如图，在正四棱柱1111ABCDABC D中，EF，分别是1AB，1BC的中点，则以下结论中不成立的是（）AEF与1BB垂直 BEF与BD垂直 CEF与CD异面 DEFA B C 1A 1C 1D 1B D E F .-可修编.与11AC异面【答案】D 14.异面直线 a、b，ab，c 与 a 成 30角，则 c 与 b 成角的 X 围是()A.3,2B.6,2 C.6,23D.3,23【答案】A 15.在正方体 A1B1C1D1ABCD

20、 中，AC 与 B1D 所成的角的大小（）A6 B4 C3 D2【答案】D 16.已知空间直角坐标系中，O为原点，A（0，0，3），B（0，4，0），C（5，0，0）则经过O、A、B、C四点的球的体积为（）A50 B32125 C321000 D425【答案】B 17.设 m,n 是两条不同直线,是两个不同的平面,给出下列四个命题 若nmnm/,/,则则,nmnm 若,/,/,/n mnmm则且若/,则mm 其中正确的命题是()A.B.C.D.【答案】D 18.已知直线l和平面,，（）A若l，则lB若l，则l C若l，l，则D若l，l，则【答案】D 19.在下列条件下，可判断平面与平面平行的是

21、（）A.、都垂直于平面 .-可修编.B.内不共线的三个点到 的距离相等 C.l,m 是 内两条直线且 l,m D.l,m 是异面直线,且 l,m,l,m【答案】D 20.设,m n是空间两条不同直线，,是空间两个不同平面，当,mn时,下列命题正确的是 A若mn，则 B若mn，则 C若m，则mn D若n，则m 【答案】C 21.已知直线l、m,平面、，则下列命题中：若/，l,则/l若，l,则/l 若/l，m,则ml/若，l,lm,则m，其中真命题有（）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【答案】B 22.如图 1 所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿A

22、E、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图 2 所示，那么，在四面体AEFH中必有()AAHEFH所在平面 BAGEFH所在平面 CHFAEF所在平面 DHGAEF所在平面【答案】A 23.如图，平行四边形 ABCD 中，ABBD，沿 BD 将ABD 折起，使面 ABD面 BCD，连接 AC，则在四面体 ABCD 的四个面中，互相垂直的平面的对数为（）.-可修编.A1 B2 C3 D4 【答案】C 24.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别在线段AB1,BC1上,且AM=BN,给出以下结论:AA1MN 异面直线 AB1,BC1所

23、成的角为 60 四面体 B1-D1CA 的体积为13 A1CAB1,A1CBC1,其中正确的结论的个数为（）A4 B3 C2 D1【答案】A 25.已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是()A平行 B垂直 C斜交 D不能确定【答案】B 26.已知两个不重合的平面,，给定以下条件：内不共线的三点到的距离相等；,l m是内的两条直线，且/,/lm；,l m是两条异面直线，且/,/,/,/llmm；其中可以判定/的是（）AB C D【答案】D 27.如图所示，在空间四边形ABCD中，ABBC，CDDA，E、F、G分别为CD、DA和AC的中点求证：平

24、面BEF平面BGD.【答案】ABBC，CDAD，G是AC的中点，BGAC，DGAC.AC平面BGD.又EFAC，EF平面BGD.又EF？平面BEF，平面BDG平面BEF.28.已知三条不重合的直线,m n l，两个不重合的平面,，有下列命题：若/,/lm，且/，则/lm若,lm，且/lm，则/若,mn，/,/mn，则/若,m nnm，则 .-可修编.n 其中真命题的个数是（）A4B3C2D1【答案】C 29.若 M、N 分别是ABC 边 AB、AC 的中点，MN 与过直线 BC 的平面的位置关 系是（）A.MNB.MN 与相交或 MN C.MN或 MND.MN或 MN 与相交或 MN【答案】C

25、 30.空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（）A3 B1 或 2C1 或 3 D2 或 3【答案】C 31.已知两个不同的平面，和两条不重合的直线 m,n，则下列四种说法正确的为()A、若 mn,n，则 m B、若 mn,m，则 n C、若 m，n，则 m,n 为异面直线 D、若，m，n,则 mn【答案】D 32.直径为32的球的内接正方体的棱长为()A2 B2 C3 D5【答案】B 33.在ABC 中,C=90,B=30,AC=1,M 为 AB 中点,将ACM 沿 CM 折起,使（）AB 间的距离为 2,则 M 到面 ABC 的距离为 （）A12B32C1

26、 D32 【答案】A 【答案】由已知得 AB=2,AM=MB=MC=1,BC=3,.-可修编.由AMC 为等边三角形,取 CM 中点,则 ADCM,AD 交 BC 于 E,则 AD=32,DE=36,CE=33.折起后,由 BC2=AC2+AB2,知BAC=90,又 cosECA=33,AE2=CA2+CE2-2CACEcosECA=23,于是 AC2=AE2+CE2.AEC=90.AD2=AE2+ED2,AE平面 BCM,即 AE 是三棱锥 A-BCM 的高,AE=63.设点 M 到面 ABC 的距离为 h,S BCM=34,由 VA-BCM=VM-ABC,可得133463=131221h,h=12.故选 A 34.设 m,n 是异面直线，则（1）一定存在平面，使 m，且 n；（2）一定存在平面，使 m，且 n；（3）一定存在平面，使得 m,n 到平面距离相等；（4）一定存在无数对平面和，使 m，n且。上述 4 个命题中正确命题的序号是（）A（1）（2）（3）B（1）（2）（4）C（1）（3）（4）D（1）（4）【答案】C 45.关于直线,a b l以及平面,，下面命题中正确的是（）A若,/,/ba则./baB若,/aba则.b C若,/,aa 则.D若ba,，且,/,blal，则.l【答案】C