电磁场与电磁波习题答案24109.pdf

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1、第四章习题解答 【】如题图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为0U，求槽内的电位函数。解 根据题意，电位(,)x y满足的边界条件为 (0,)(,)0ya y；(,0)0 x；0(,)x bU 根据条件和，电位(,)x y的通解应取为 1(,)sinh()sin()nnn yn xx yAaa 由条件，有 01sinh()sin()nnn bn xUAaa 两边同乘以sin()n xa，并从 0 到a对x积分，得到002sin()dsinh()anUn xAxan b aa 02(1cos)sinh()Unnn b a04,1,

2、3,5,sinh()02,4,6,Unnn b an，故得到槽内的电位分布 01,3,5,41(,)sinh()sin()sinh()nUn yn xx ynn b aaa 两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由dy 到by)(x。上板和薄片保持电位0U，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从0y到dy，电位线性变化，0(0,)yU y d。解 应用叠加原理，设板间的电位为 (,)x y12(,)(,)x yx y 其中，1(,)x y为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为0U）的电位，即10(,)x yU y b；2(,)x y是两个电位为零的平行导体板间有导

3、体薄片时的电位，其边界条件为：22(,0)(,)0 xx b 2(,)0()x yx 002100(0)(0,)(0,)(0,)()UUyydbyyyUUyydybdb；根据条件和，可设2(,)x y的通解为 21(,)sin()enxbnnn yx yAb；由条件有 00100(0)sin()()nnUUyydnybAUUbyydybdb 两边同乘以sin()n yb，并从 0 到b对y积分，得到 0002211(1)sin()d()sin()ddbndUUyn yn yAyyybbbbdbb022sin()()Ubn dndb 故得到 (,)x y0022121sin()sin()enxb

4、nUbUn dn yybdnbb 如题图所示的导体槽，底面保持电位0U，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。解 根据题意，电位(,)x y满足的边界条件为 0U y x a ab o 题图 0U y x oxy boxy dxy 题 图 (0,)(,)0ya y (,)0()x yy 0(,0)xU ，电位(,)x y的通解应取为 根 据 条 件 和1(,)sin()nnn y an xx yA ea；由条件，有 01sin()nnn xUAa sin()n xa，并从 0 到a对x积分，得到002sin()danUn xAxaa 两 边 同 乘 以02(1cos)Unn04,1,3,5,02

5、,4,6,Unnn，；故得到01,3,5,41(,)sin()n y anUn xx yena【】一长、宽、高分别为a、b、c的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为()sin()sin()xzy ybac 的电荷。求体积内的电位。解 在体积内，电位满足泊松方程 22222201()sin()sin()xzy ybxyzac （1）长方体表面S上，电位满足边界条件0S。由此设电位的通解为 11101(,)sin()sin()sin()mnpmnpm xn yp zx y zAabc，代入泊松方程（1），可得 222111()()()mnpmnpmnpAabc sin()sin()sin()m

6、xn yp zabc()sin()sin()xzy ybac 由此可得 0mnpA (1m 或1)p ；2221 11()()()sin()npnn yAabcb()y yb （2）由式（2），得 2221 102()()()()sin()dbnnn yAy ybyabcbb34()(cos1)bnb n 2381,3,5,()02,4,6,bnnn ；故 2532221,3,5,081(,)sin()sin()sin()11()()()nbxnyzx y znabcnabc 【】如题图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与z轴平行的线电荷lq，其位置为),0(d。求板间的电位函数。解 由

7、于在(0,)d处有一与z轴平行的线电荷lq，以0 x 为界将场空间分割为0 x 和0 x 两个区域，则这两个区域中的电位1(,)x y和2(,)x y都 满 足 拉 普 拉 斯 方 程。而 在0 x 的 分 界 面 上，可 利 用函 数 将 线 电 荷lq表 示 成 电 荷 面 密 度0()()lyqyy。电位的边界条件为 11(,0)(,)0 xx a=，22(,0)(,)0 xx a=1(,)0 x y()x ，2(,)0 x y()x 12(0,)(0,)yy ，2100()()lxqydxx x y o a d lq 题 图 题图 0U y x a ao 由条件和，可设电位函数的通解为

8、 11(,)sin()nnn x an yx yA ea (0)x 21(,)sin()nnn x an yx yB ea (0)x 由条件，有 1sin()nnn yAa1sin()nnn yBa （1）1sin()nnnn yAaa1sin()nnnn yBaa 0()lqyd （2）由式（1），可得 nnAB （3）；将式（2）两边同乘以sin()m ya，并从0到a对y积分，有 nnAB002()sin()dalqn yydyna02sin()lqn dna （4）由式（3）和（4）解得 0sin()lnnqn dABna 故 1101(,)sin()sin()lnn x aqn dn

9、 yx yenaa (0)x 2101(,)sin()sin()lnn x aqn dn yx yenaa (0)x 如题图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷lq。求槽内的电位函数。解 由于在),(00yx处有一与z轴平行的线电荷lq，以0 xx 为界将场空间分割为00 xx和0 xxa两个区域，则这两个区域中的电位1(,)x y和2(,)x y都满足拉普拉斯方程。而在0 xx 的分界面上，可利用函数将线电荷lq表示成电荷面密度0()()lyqyy，电位的边界条件为 1(0,)0y=，2(,)0a y，11(,0)(,)0 xx b=，22(,0)(,)0 xx b=1020

10、(,)(,)xyxy02100()()lx xqyyxx 由条件和，可设电位函数的通解为 11(,)sin()sinh()nnn yn xx yAbb )0(0 xx 2(,)x y1sin()sinh()nnn ynBaxbb )(0axx 由条件，有 0011sin()sinh()sin()sinh()nnnnn xn yn ynABaxbbbb （1）01sin()cosh()nnn xnn yAbbb01sin()cosh()nnnn ynBaxbbb)(00yyql （2）由式（1），可得00sinh()sinh()0nnn xnABaxbb （3）将式（2）两边同乘以sin()m

11、yb，并从0到b对y积分，有)(cosh)cosh(00 xabnBbxnAnn0002()sin()dblqn yyyynb002sin()lqn ynb （4）y x o a lq b ),(00yx 题图 由式（3）和（4）解得 00021sinh()sin()sinh()lnqn ynAaxn a b nbb 00021sinh()sin()sinh()lnqn xn yBn a b nbb 故 101021(,)sinh()sinh()lnqnx yaxnn a bb0sin()sinh()sin()n yn xn ybbb，)0(0 xx 021021(,)sinh()sinh()

12、lnqn xx ynn a bb0sin()sinh()sin()n ynn yaxbbb，)(0axx 若以0yy为界将场空间分割为00yy和0yyb两个区域，则可类似地得到 101021(,)sinh()sinh()lnqnx ybynn b aa0sin()sinh()sin()n xn yn xaaa 0(0)yy 021021(,)sinh()sinh()lnqn yx ynn b aa0sin()sinh()sin()n xnn xbyaaa 0()yyb*如题图所示，在均匀电场00 xEEe中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱的半径为a。求导体圆柱外的电位和电场E以及导体

13、表面的感应电荷密度。解 在外电场0E作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场0E的电位0与感应电荷的电位in的叠加。由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量z无关。在圆柱面坐标系中，外电场的电位为000(,)cosrE xCE rC （常数C的值由参考点确定），而感应电荷的电位(,)inr应与0(,)r一样按cos变化，而且在无限远处为 0。由于导体是等位体，所以(,)r满足的边界条件为 (,)aC 0(,)cos()rE rCr 由此可设 101(,)coscosrE rArC 由条件，有 101coscosE aAaCC 于是得到 021EaA，故圆柱外的电位为 210(,)()co

14、srra rEC 若选择导体圆柱表面为电位参考点，即(,)0a，则0C。导体圆柱外的电场则为 1(,)rrrrEee 220022(1)cos(1)sinraaEErree 导体圆柱表面的电荷面密度为 000(,)2cosr arEr *如题图所示，一无限长介质圆柱的半径为a、介电常数为，在距离轴线)(00arr处，有一与圆柱平行的线电荷lq，计算空间各部分的电位。解 在线电荷lq作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位(,)r均为线电荷lq的电位(,)lr与极化电荷的电位(,)pr的叠加，即(,)(,)(,)lprrr。线电荷lq的电位为 220000(,)lnln2cos22lllqq

15、rRrrrr （1）而极化电荷的电位(,)pr满足拉普拉斯方程，且是的偶函数。介质圆柱内外的电位1(,)r和2(,)r满足的边界条件为分别为 1(0,)为有限值；2(,)(,)()lrrr y x o a lq 0r 0 题图 ar 时，12120,rr 由条件和可知，1(,)r和2(,)r的通解为 11(,)(,)cosnlnnrrA rn (0)ra （2）21(,)(,)cosnlnnrrB rn ()ar （3）将式（1）（3）带入条件，可得到 11coscosnnnnnnA anB an （4）110010ln()cos()2nnlnnr anqRA naBnanr （5）当0rr

16、时，将Rln展开为级数，有 0101lnln()cosnnrRrnn r （6）带入式（5），得 11100110 00()()cos()cos2nnnlnnnnqaA naBnannrr （7）由式（4）和（7），有 nnnnaBaA 111000 00()()2nnnlnnqaA naBnarr 由此解得 0000()12()lnnqAnr ，20000()2()nlnnqaBnr ；故得到圆柱内、外的电位分别为 221000(,)ln2cos2lqrrrrr 01000()1()cos2()nlnqrnn r （8）222000(,)ln2cos2lqrrrrr 201000()1()c

17、os2()nlnqann r r （9）讨论：利用式（6），可将式（8）和（9）中得第二项分别写成为 000100000()()1()cos(lnln)2()2()nllnqqrnRrn r 200100000()()1()cos(lnln)2()2()nllnqqanRrn r r 其中222200()2()cosRrarr ar。因此可将1(,)r和2(,)r分别写成为 001000002()1(,)lnln22()llqqrRr 00200000()()11(,)lnlnln222lllqqqrRRr 由所得结果可知，介质圆柱内的电位与位于（,0r0）的线电荷002lq的电位相同，而介质

18、圆柱外的电位相当于三根线电荷所产o a z 0 题图 0E 生，它们分别为：位于（,0r0）的线电荷lq；位于)0,(02ra的线电荷00lq；位于0r的线电荷00lq。*在均匀外电场00zEEe中放入半径为a的导体球，设（1）导体充电至0U；（2）导体上充有电荷Q。试分别计算两种情况下球外的电位分布。解 （1）这里导体充电至0U应理解为未加外电场0E时导体球相对于无限远处的电位为0U，此时导体球面上的电荷密度00Ua，总电荷004qaU。将导体球放入均匀外电场0E中后，在0E的作用下，产生感应电荷，使球面上的电荷密度发生变化，但总电荷q仍保持不变，导体球仍为等位体。设0(,)(,)(,)in

19、rrr，其中000(,)cosrE zE r ，是均匀外电场0E的电位，(,)inr是导体球上的电荷产生的电位。电位(,)r满足的边界条件为 r时，0(,)cosrE r；ar 时，0(,)aC，0dSSqr 其中0C为常数，若适当选择(,)r的参考点，可使00UC。由条件，可设 210111(,)coscosrE rArB rC 代入条件，可得到 031EaA，01aUB，001UCC 若使00UC，可得到 321000(,)coscosrE ra E raU r （2）导体上充电荷Q时，令004QaU，有 004QUa 利用（1）的结果，得到 32000(,)coscos4QrE ra E

20、 rr 如题图所示，无限大的介质中外加均匀电场00zEEe，在介质中有一个半径为a的球形空腔。求空腔内、外的电场E和空腔表面的极化电荷密度（介质的介电常数为）。解 在电场0E的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为外加电场0E与极化电荷的电场pE的叠加。设空腔内、外的电位分别为1(,)r和2(,)r，则边界条件为 r时，20(,)cosrE r；0r时，1(,)r为有限值；ar 时，12(,)(,)aa，120rr 由条件和，可设 101(,)coscosrE rAr，2202(,)coscosrE rA r 带入条件，有 221aAaA，30001022EAEa A

21、 由此解得 01002AE，302002Aa E 所以 1003(,)cos2rE r 30200(,)1()cos2arE rr 空腔内、外的电场为 11003(,)2rEE，22(,)rE 30000()()2cossin 2rEarEee 空腔表面的极化电荷面密度为 202()pr arr an PeE 00003()cos2E 一个半径为R的介质球带有均匀极化强度P。z P R o 题 图 （1）证明：球内的电场是均匀的，等于0P；（2）证明：球外的电场与一个位于球心的偶极子P产生的电场相同，343R。解（1）当介质极化后，在介质中会形成极化电荷分布，本题中所求的电场即为极化电荷所产生

22、的场。由于是均匀极化，介质球体内不存在极化电荷，仅在介质球面上有极化电荷面密度，球内、外的电位满足拉普拉斯方程，可用分离变量法求解。建立如题图所示的坐标系，则介质球面上的极化电荷面密度为 cosprPP nP e 介质球内、外的电位1和2满足的边界条件为 1(0,)为有 限 值；2(,)0()rr；12(,)(,)RR；120()cosr RPrr 因此，可设球内、外电位的通解为11(,)cosrAr，122(,)cosBrr 由条件，有 112BARR，10132()BAPR 解得 103PA，3103PRB 于是得到球内的电位 100(,)cos33PPrrz，故球内的电场为 110033

23、zPPEe （2）介质球外的电位为 332220014(,)coscos343PRR Prrr20cos4Pr，其中343R为介质球的体积。故介质球外的电场为22221(,)rrrrrEee30(2cossin)4rPree 可见介质球外的电场与一个位于球心的偶极子P产生的电场相同。一个半径为a的细导线圆环，环与xy平面重合，中心在原点上，环上总电荷量为Q，如题图所示。证明：空间任意点电位为 241240131P(cos)P(cos)428Qrraaa ()ra 242240131P(cos)P(cos)428Qaarrr ()ra 解 以细导线圆环所在的球面ar 把场区分为两部分，分别写出两

24、个场域的通解，并利用函数将细导线圆环上的线电荷Q表示成球面ar 上的电荷面密度 22(coscos)(cos)222QQaa 再根据边界条件确定系数。外的电位分别为1(,)r和2(,)r，则边界条件为：设球面ar 内、1(0,)为有限值；2(,)0()rr 12(,)(,)aa，1202()(cos)2raQrra a o y x z 题 图 根据条件和，可得1(,)r和2(,)r的通解为 10(,)(cos)nnnnrA r P （1），120(,)(cos)nnnnrB rP （2）代入条件，有1nnnnaBaA （3）12200(1)(cos)(cos)2nnnnnnQA naB naP

25、a （4）将式（4）两端同乘以sin)(cosmP，并从 0 到对进行积分，得 12(1)nnnnA naB na 200(21)(cos)(cos)sin d4nnQPa 20(21)(0)4nnQPa （5）其中 201,3,5,(0)1 3 5(1)(1)2,4,6,2 4 6nnnPnnn 由式（3）和（5），解得 10(0)4nnnQAPa，0(0)4nnnQaBP ，代入式（1）和（2），即得到 241240131P(cos)P(cos)428Qrraaa ()ra 242240131P(cos)P(cos)428Qaarrr ()ra 【】如题图所示，一个点电荷q放在60的接地导

26、体角域内的点)0,1,1(处。求：（1）所有镜像电荷的位置和大小；（2）点1,2yx处的电位。解（1）这是一个多重镜像的问题，共有 5 个像电荷，分布在以点电荷q到角域顶点的距离为半径的圆周上，并且关于导体平面对称，其电荷量的大小等于q，且正负电荷交错分布，其大小和位置分别为 366.175sin2366.075cos2,111yxqq366.0165sin2366.1165cos2,222yxqq366.0195sin2366.1195cos2,333yxqq 366.1285sin2366.0285cos2,444yxqq 1315sin21315cos2,555yxqq（2）点1,2yx

27、处电位351240123451(2,1,0)4qqqqqqRRRRRR 0(10.5970.2920.2750.3480.477)4q900.3212.88 10(V)4qq q 2q 1q 5q 4q 3q 题 图 )0,1,1()0,1,2(60 y x o 第 5 章时变电磁场 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场5cosmTzetB之中，如题图所示。滑片的位置由0.35(1cos)mxt确定，轨道终端接有电阻0.2R，试求电流 i.R0.2m 0.7m a d b c ixy题 6.1 图 解 穿过导体回路 abcda 的磁通为 5cos0.2(0.7)cos0

28、.70.35(1cos)0.35cos(1cos)zzdBadabtxtttt BSee 故感应电流为 110.35sin(12 cos)1.75sin(12 cos)mAindiRRdtttttR E 一根半径为 a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0zBBe中与 z 轴平行。设棒以角速度绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。解 介质棒内距轴线距离为 r 处的感应电场为00zrrr BEvBee Be 故介质棒内的极化强度为 00000(1)()errrr Br B PEeeX极化电荷体密度为 2000011()()2()PrPrBrrrrB P极化电荷面密度为

29、0000()()Prrr aera BP nB e 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为 220020012()212()PPPSPQaaBQaaB 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题图所示。设0.2am、0.1mbcd、71.0cos(210)Ait，求回路中的感应电动势。解 由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是垂直于纸面向内的。故回路中的感应电动势为 ddddddindSBSBStt 左右BE 00,22()iiBBrbcdr左右 故 0000ddln()22ddln()2()2b cbsc ddsiaibcBSa rrbiaibcBSa r

30、bcdrb左右则 i i b d c a 题 6.3 图 072207777d2ln()d2dln()1.0 cos(210)d4100.2ln 2sin(210)2103.484sin(210)inaibctbabctabbttVt V E 有一个环形线圈，导线的长度为l，分别通过以直流电源供应电压U0和时变电源供应电压U（t）。讨论这两种情况下导线内的电场强度 E。解 设导线材料的电导率为，横截面积为 S，则导线的电阻为 lRS 而环形线圈的电感为 L，故电压方程为ddiURiLt 当 U=U0时，电流 i 也为直流，d0dit。故0llURiJSJlES此时导线内的切向电场为0UEl 当

31、 U=U（t）时，d()0di tt，故d()d()()()()ddd()()di tU tRi tLRE t SLE t SttlE tE t SL SSt即d()()()dE tlE tU ttL SL S 求解此微分方程就可得到()tE。一圆柱形电容器，内导体半径为 a，外导体内半径为 b，长为l。设外加电压为0sinUt，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。解 当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同（准静态电场），即 0sinln()rUtrb aEe，故电容器两极板间的位移电流密度为 0cosln()dr

32、Uttrb aDJe 则2000cosdd dln()lddrrsUtirzrb a JSee 002coscosln()lUtC Utb a式中，2ln()lCb a是长为l的圆柱形电容器的电容。流过电容器的传导电流为 0dcosdcUiCC Utt可见dcii 由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。解 点电荷 q 产生的电场满足麦克斯韦方程 0E和D 由D得dd D据散度定理，上式即为 dsqDS利用球对称性，得24rqrDe 故得点电荷的电场表示式 24rqrEe 由于0E，可取 E，则得2 DE 即得泊松方程2 试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程：（1）在直角

33、坐标中；（2）在圆柱坐标中；（3）在球坐标中。解 （1）在直角坐标中 yxzxyxzyyxzzHDHJyztDHHJzxtHHDJxyt yxzyxzyxzEHEyztHEEzxtEEHxyt 0yxzyxzBBBxyzDDDxyz（2）在圆柱坐标中 111()zrrrzrzzHHDJrztDHHJzrtHDrHJrrrt 111()zrrzrzEEHrztHEEzrtEHrErrrt 11()011()zrzrBBrBrrrzDDrDrrrz（3）在球坐标系中 1(sin)sin11()sin1()rrrrHDHJrtDHrHJrrtDHrHJrrt 1(sin)sin11()sin1()r

34、rrEHErtHErErrtHErErrt 2222111()(sin)0sinsin111()(sin)sinsinrrBr BBrrrrDr DDrrrr 已知自由空间中球面波的电场为0sincos()Etkrre 求H和k。解 可以和前题一样将E代入波动方程来确定k，也可以直接由麦克斯韦方程求与E相伴的磁场H。而此磁场又要产生与之相伴的电场，同样据麦克斯韦方程求得。将两个电场比较，即可确定 k 的值。两种方法本质上是一样的。由 0t HE得 00000011()1sincos()sinsin()rEtrrEtkrrrkEtkrr eHEee将上式对时间t积分，得 00sincos()kE

35、tkrrHe （1）将式（1）代入 0tEH得 0201111(sin)(sin)sinsinrtrHrHrrr EHee 20020002sin1cos()sin()rkEk Etkrtkrrree 将上式对时间t积分，得 20022200021sin()sincos()rkEk Etkrtkrrr Eee （2）将已知的 0sincos()EtkrrEe与式（2）比较，可得，含21r项的Er分量应略去，且200k，即 00k 将00k 代入式（1），得 0000000sincos()sincos()EtkrrEtkrr HeeA 试推导在线性、无损耗、各向同性的非均匀媒质中用E和B表示麦克

36、斯韦方程。解 注意到非均匀媒质的参数,是空间坐标的函数，因此 211()()11 BHBBBB而()tttDEEJJJ因此，麦克斯韦第一方程 tDHJ 变为 1t EBJB 又()DEEE 故麦克斯韦第四方程D变为 1 EE 则在非均匀媒质中，用E和B表示的麦克斯韦方程组为 11tt EBJBBEBEE 写出在空气和的理想磁介质之间分界面上的边界条件。解 空气和理想导体分界面的边界条件为 0snEnHJ 根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式 sms EHHEJJ 即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件 0ms nHnEJ 式中，Jms为表面磁流密度。提出推导1snHJ的详细步骤。解 如题图所

37、示，设第 2 区为理想导体（2）。在分界面上取闭合路径,0abcda abcdl bcdah 。对该闭合路径应用麦克斯韦第一方程可得 20ddddlim(dd)bcdaabcdChSSdt HlHlHlHlHlDHlHlJSS （1）因为tD为有限值，故上式中 0limd0hSt DS，而(1)式中的另一项0limdhS JS为闭合路径所包围的传导电流。取N为闭合路径所围面积的单位矢量（其指向与闭合路径的绕行方向成右手螺旋关系），则有 0limdshS JSJN l 因()l lNn 故式（1）可表示为 12()()sll HHNnJN （2）应用矢量运算公式()()ABCCAB，式（2）变为

38、 12s nHHNJN 故得 12()snHHJ （3）由于理想导体的电导率2，故必有220,0EH，故式（3）变为1snHJ 在由理想导电壁（）限定的区域0 xa内存在一个由以下各式表示的电磁场：a d b c n l h H2 H1 题 6.12 图 000()sin()sin()()sin()sin()cos()cos()yxzaxEHkztaaxHH kkztaxHHkzta 这个电磁场满足的边界条件如何导电壁上的电流密度的值如何 解 如题图所示，应用理想导体的边界条件可以得出 在x=0 处，0,0yxEH 0cos()zHHkzt 在x=a处，0,0yxEH 0cos()zHHkzt

39、 上述结果表明，在理想导体的表面，不存在电场的切向分量Ey和磁场的法向分量Hx。另外，在x=0 的表面上，电流密度为 0000|()|cos()sxxxxzzxxzzyxHHHHkzt JnHeeeeee 在x=a的表面上，电流密度则为 0|()|cos()sx axxxzzx axzzyx aHHHHkzt JnHeeeeee 海水的电导率4S/m，在频率 f=1GHz 时的相对介电常数81r。如果把海水视为一等效的电介质，写出H的微分方程。对于良导体，例如铜，71,5.7 10 S/mr，比较在 f=1GHz 时的位移电流和传导电流的幅度。可以看出，即使在微波频率下，良导体中的位移电流也是

40、可以忽略的。写出H的微分方程。解 对于海水，H的微分方程为()jjjj HJDEEE 即把海水视为等效介电常数为cj的电介质。代入给定的参数，得 999104210(81)36210(4.54)(44.5)jjjjjEEEE 对于铜，传导电流的幅度为E，位移电流的幅度E。故位移电流与传导电流的幅度之比为 9130712102369.75 105.7 10rfff 可见，即使在微波频率下，铜中的位移电流也是可以忽略不计的。故对于铜，H的微分方程为75.7 10HEE 计算题中的能流密度矢量和平均能流密度矢量。解 瞬时能流密度矢量为 o a x 题 6.13 图 2022220202220()si

41、n()cos()sin()cos()()sin()sin()1sin()cos()sin 2()21()sin()1cos 2()2yyxxzzxyzzyxxzxzEHHE HE HaxxHkztkztaaaxHkkztaaxxHkztaaaxHkkztaSEHeeeeeeeee 为求平均能流密度矢量，先将电磁场各个分量写成复数形式 20200()sin()()sin()cos()jkzjyjkzjxjkzzaxEHeaaxHH keaxHHea 故平均能流密度矢量为 *2202222220011Re*Re221Resin()cos()21()sin()()sin()2avxyzzyxjxzz

42、E HE HaxxHeaaaxaxHkHkaa SEHeeeee 写出存在电荷和电流密度J的无损耗媒质中E和H的波动方程。解 存在外加源和J时，麦克斯韦方程组为 tEHJ （1）；t HE（2）；0H （3）；E （4）对式（1）两边取旋度，得()t HJE 而 2()HHH 故 2()t HHJE （5）将式（2）和式（3）代入式（5），得 222t HHJ 这就是H的波动方程，是二阶非齐次方程。同样，对式（2）两边取旋度，得(t EH 即 2(t EEH （6）将式（1）和式（4）代入式（6），得 2221ttEJE 此即E满足的波动方程。对于正弦时变场，可采用复数形式的麦克斯韦方程表示

43、jHJE （7）；j EH（8）；0H （9）；E （10）；对式（7）两边取旋度，得 j HJE 利用矢量恒等式 2(HHH 得 2(j HHJE （11）将式（8）和式（9）代入式（11），得 22 H+HJ 此即H满足的微分方程，称为非齐次亥姆霍兹方程。同样，对式（8）两边取旋度，得：j EH即 2(j EHH （12）将式（7）和式（10）代入式（12），得 221j E+EJ 此即E满足的微分方程，亦称非齐次亥姆霍兹方程。在应用电磁位时，如果不采用洛伦兹条件，而采用所谓的库仑规范，令A，试导出A和所满足的微分方程。解 将电磁矢量位A的关系式BA 和电磁标量位的关系式t AE；代入麦克

44、斯韦第一方程 tDHJ 得 1()ttt EHAJAJ 利用矢量恒等式 2()AAA 得 2()tt AAA=J （1）又由 D得()t AE，即 2()t A （2）按库仑规范，令0A，将其代入式（1）和式（2）得 222()tt AAJ （3）2 （4）式（3）和式（4）就是采用库仑规范时，电磁场A和所满足的微分方程。设电场强度和磁场强度分别为 00cos()cos()emttEEHH 证明其坡印廷矢量的平均值为 001cos()2avemSEH 解 坡印廷矢量的瞬时值为 000000cos)cos()1cos()cos21cos(2)cos()2emememememtttttttSEHE

45、HEHEH 故平均坡印廷矢量为 000000111cos(2)cos()d21cos()2TavTemememdtTttTSSEHEH 第 6 章习题答案 6-1 在1r、4r、0的媒质中，有一个均匀平面波，电场强度是)3sin(),(kztEtzEm 若已知MHz150f，波在任意点的平均功率流密度为2w/m265.0，试求：（1）该电磁波的波数?k相速?pv波长?波阻抗?（2）0t，0z的电场?)0,0(E（3）时间经过s1.0之后电场)0,0(E值在什么地方（4）时间在0t时刻之前s1.0，电场)0,0(E值在什么地方 解：（1）)rad/m(22rcfk)m/s(105.1/8rpcv

46、 )m(12k )(60120rr（2）6200210265.02121mrmavEES (V/m)1000.12mE)V/m(1066.83sin)0,0(3mEE（3）往右移m15tvzp （4）在O点左边m15处 6-2 一个在自由空间传播的均匀平面波，电场强度的复振幅是 米伏/1010)202(j420j4yxeeEzzee 试求：（1）电磁波的传播方向 （2）电磁波的相速?pv波长?频率?f （3）磁场强度?H（4）沿传播方向单位面积流过的平均功率是多少 解：（1）电磁波沿z方向传播。（2）自由空间电磁波的相速m/s1038 cvp )m(1.02022k 20ck c20 Hz10

47、31029cf（3）)A/m)(10652120j)220(j7yzxzzee.eeEeH（4）)W/m(106522)Re(21211*zzav.eeHES*EE 6-3 证明在均匀线性无界无源的理想介质中，不可能存在zeEkzeEj0的均匀平面电磁波。证 0jj0 kzekE，即不满足 Maxwell 方程 不可能存在zeEkzeEj0的均匀平面电磁波。6-4 在微波炉外面附近的自由空间某点测得泄漏电场有效值为 1V/m，试问该点的平均电磁功率密度是多少该电磁辐射对于一个站在此处的人的健康有危险吗（根据美国国家标准，人暴露在微波下的限制量为 102W/m2不超过 6 分钟，我国的暂行标准规

48、定每 8 小时连续照射，不超过102W/m2。）解：把微波炉泄漏的电磁辐射近似看作是正弦均匀平面电磁波，它携带的平均电磁功率密度为 2302W/m1065.23771eavES 可见，该微波炉的泄漏电场对人体的健康是安全的。6-5 在自由空间中，有一波长为 12cm 的均匀平面波，当该波进入到某无损耗媒质时，其波长变为 8cm，且此时m/V41.31E，m/A125.0H。求平面波的频率以及无损耗媒质的r和r。解：因为rr/0，所以4/9)8/12(2rr 又因为rrHE120，所以4443.01202HErr 1r，25.2r 6-6 若有一个点电荷在自由空间以远小于光速的速度v运动，同时一

49、个均匀平面波也沿v的方向传播。试求该电荷所受的磁场力与电场力的比值。解：设v沿z轴方向，均匀平面波电场为E，则磁场为 EeHz01 电荷受到的电场力为 EFqe 其中q为点电荷电量，受到的磁场力为 EEHeBvF00000qvvqvqqzm Ecqv 故电荷所受磁场力与电场力比值为 cvFFem 6-7 一个频率为GHz3f，ye方向极化的均匀平面波在5.2r，损耗角正切值为 102的非磁性媒质中，沿正xe方向传播。（1）求波的振幅衰减一半时，传播的距离；（2）求媒质的波阻抗，波的相速和波长；（3）设在0 x处的yteE3106sin509，写出),(txH的表示式。解：（1）210tan，这

50、是一个低损耗媒质，平面波的传播特性，除了有微弱的损耗引起的衰减之外，和理想介质的相同。其衰减常数为 497.01035.2210321021028922 因为2/1 ie，所以m40.12lnl（2）对低损耗媒质，4.2385.2/120/相速m/s1090.15.2103188v 波长(cm)32.6(m)0632.0/fv（3）3.991035.210689(A/m)33.99106sin(21.0)3106sin(50),(95.095.0zxzxxtextetxeeH 6-8 微波炉利用磁控管输出的频率的微波加热食品，在该频率上，牛排的等效复介电常数)j3.01(40r。求：（1）微波