普通高等学校招生全国统一考试数学(理科数学)最后一卷(整理含答案)17479.pdf

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1、 绝密 启用前 普通高等学校招生全国统一考试最后一卷 本试题卷共 16 页，23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题

2、卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合2|5 Ax xx，=1,3,7B，则A B（）A 1 B 7 C1,3 D1,7 2已知ab，则条件“0c”是条件“acbc”的（）条件 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 3元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处

3、，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0 x，则一开始输入的x的值为（）A34 B78 C1516 D3132 4已知椭圆22221(0)xyabab 的左焦点1F，过点1F作倾斜角为30的直线与圆222xyb相交的弦长为3b，则椭圆的离心率为（）A12 B22 C34 D32 5已知函数 sinf xAx(0,0,)A的部分图像如图所示，则函数 cosg xAx图像的一个对称中心可能为（）A2,0 B1,0 C10,0 D14,0 661211xx的展开式中的常数项是（）A-5 B7 C-11 D13 7四面体ABCD中，10ABCD，2 34ACBD，

4、2 41ADBC，则四面体ABCD外接球的表面积为（）A50 B100 C D300 8已知函数 sin 2(0)f xx 的图像向右平移6个单位后，得到函数 g x的图像关于直线12x对称，若3245g，则sin 26（）A725 B34 C725 D34 9如图为正方体1111ABCDA B C D，动点M从1B点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到1B的运动过程中，点M与平面11A DC的距离保持不变，运动的路程x与11lMAMCMD之间满足函数关系 lf x，则此函数图象大致是（）A B C D 10在ABC中，点D满足34BDBC，当E点在线段AD上移动时，若AEABA

5、C，则221t的最小值是（）A3 1010 B824 C910 D418 11已知函数 21,0,3,0,xxfxxxx若函数 1g xf xk x在,1恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A1,3 B1,3 C2,3 D3,12如图，已知抛物线28 2yx的焦点为F，直线l过点F且依次交抛物线及圆222 22xy于A，B，C，D四点，则4ABCD的最小值为（）A3 2 B5 2 C132 D182 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)(23)题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。1

6、3已知aR，i为虚数单位，若i1ia 为纯虚数，则a的值为_ 14我国古代数学家著作九章算术有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第 1 关收税金12，第 2 关收税金为剩余金的13，第 3 关收税金为剩余金的14，第 4 关收税金为剩余金的15，第 5 关收税金为剩余金的16，5 关所收税金之和，恰好重 1斤，问原本持金多少？”若将题中“5 关所收税金之和，恰好重 1 斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x，按此规律通过第 8 关”，则第 8 关需收税金

7、为_x 15若x，y满足约束条件2040 2xyxyy，则1yx 的取值范围为_ 16 已 知ABC的 内 角A，B，C的 对 边 分 别 是a，b，c，且222coscosabcaBbAabc，若2ab，则c的取值范围为_ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知数列 na是递增的等差数列，23a，1a，31aa，81aa成等比数列（1）求数列 na的通项公式；（2）若13nnnba a，数列 nb的前n项和nS，求满足3625nS 的最小的n的值 18某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于 90 分的具有复赛资格，某校有 800 名学生

8、参加了初赛，所有学生的成绩均在区间30,150内，其频率分布直方图如图 （1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间110,130与130,150各抽取多少人?（3）从（2）抽取的 7 人中，选出 3 人参加全市座谈交流，设X表示得分在区间130,150中参加全市座谈交流的人数，求X的分布列及数学期望E X（）19已知四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，底面ABCD为菱形，60ABC，E是BC中点，M是PD的中点，F是PC上的点（1）求证：平面AEF平面PAD；（2）当F是PC中点，且ABAP时

9、，求二面角FAEM的余弦值 20已知椭圆2222:10 xyEabab的左焦点1F与抛物线24yx 的焦点重合，椭圆E的离心率为22，过点3,04M mm作斜率不为0 的直线l，交椭圆E于,A B两点，点5,04P，且PA PB为定值（1）求椭圆E的方程；（2）求OAB面积的最大值 21已知函数 111exxf xx（1）证明：当0时，0f x；（2）若当0 x时，0f x，求实数的取值范围 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线1C：221xy，直线l：co

10、ssin4 （1）将曲线1C上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2 倍、3倍后得到曲线2C，请写出直线l，和曲线2C的直角坐标方程；（2）若直线1l经过点1,2P且1ll，1l与曲线2C交于点,M N，求PMPN的值 23选修 4-5：不等式选讲 已知不等式36xxx 的解集为,m n（1）求m，n的值；（2）若0 x，0y，0nxym，求证：16xyxy 绝密 启用前 普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分 1D 2B 3C 4B 5C 6C 7C 8C 9C 10C 11A 12C 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题

11、5 分。131 14172 152,23 161,2 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 12 分）【答案】（1）21nan；（2）13【解析】（1）设 na的公差为(0)d d，由条件得1211327(2)0adaaddd，11 2ad，4 分 1 2121nann 6 分（2）13331121 212 2121nnnba annnn，8 分 311111312335212121nnSnnn 由3362125nn得12n 11 分 满足3625nS 的最小值的n的值为1312 分 18（本小题满分 12 分）【答案】（1）20；（2）5，2；（3）见解析 【

12、解析】（1）由题意知90,110之间的频率为：1 200.0025 0.005 0.0075 2 0.01250.3，2 分 0.30.0125 0.005020 0.65，获得参赛资格的人数为800 0.655204 分（2）在区间110,130与130,150，0.0125:0.00505:2，在区间110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7 人 分在区间110,130与130,150各抽取 5 人，2 人结果是 5，26 分（3）X的可能取值为 0，1，2，则：7 分 305237C C20C7P X；8 分 215237C C41C7P X；9 分 125237C C12C

13、7P X；10 分 故X的分布列为：X 0 1 2 P 27 47 17 24160127777E X 12 分 19（本小题满分 12 分）【答案】（1）见解析；（2）3 1010【解析】（1）连接AC，底面ABCD为菱形，60ABC，ABC是正三角形，E是BC中点，AEBC，又ADBC，AEAD，1 分 PA平面ABCD，AE平面ABCD，PAAE，3 分 又PAADA，AE平面PAD，4 分 又AE平面AEF，平面AEF平面PAD5 分 （2）解：由（1）得AE，AD，AP两两垂直，以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系；不妨设2ABAP，则3AE，

14、则0,0,0A，3,1,0C，0,2,0D，0,0,2P，3,0,0E，3 1,122F，0,1,1M，7 分 3,0,0AE，3 1,122AF，0,1,1AM，设,x y zm是平面AEF的一个法向量，则30 31022AExAFxyzmm，取1z，得0,2,1m，9 分 同理可求，平面AME的个法向量，0,1,1n，10 分 则3 10cos10m nm nmn 观察可知，二面角的平面角为锐角，二面角FAEM的平面角的余弦值为3 101012 分 20（本小题满分 12 分）【答案】（1）2212xy；（2）22【解析】（1）设1(,0)F c，抛物线24yx的焦点坐标为(1,0)，且椭

15、圆E的左焦点1F与抛物线24yx的焦点重合，1c，2 分 又椭圆E的离心率为22，得2a，3 分 于是有2221bac故椭圆E的标准方程为：2212xy4 分（2）设11,A x y（），22,B xy（），直线l的方程为：xtym，由2222xtymxy整理得2222220tytmym（）12222tmyyt，212222my yt，6 分 115(,)4PAxy，225(,)4PBxy，121255()()44PA PBxxy y 2212125525(1)()()4216ty ytmtyymm222225(2)(2)5722216mmtmmmt8 分 要使PA PB为定值，则225222

16、12mmm，解得1m 或23m（舍），9 分 当1m 时，22122|2 2(1)12tABtyyt，10 分 点O到直线AB的距离211dt，11 分 OAB面积2221122212211tsttt 当0t，OAB面积的最大值为2212 分 21（本小题满分 12 分）【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）当0时，e1xf xx，则 1 exfx，1 分 令 0fx，解得0 x 当0 x 时，0fx，f x在,0上是减函数；当0 x 时，0fx，f x在0,上是增函数；3 分 故 f x在0 x 处取得最小值 00f，即 0f x 4 分 （2）由已知0 x，e1 0 x （i）

17、当0时，若1x，则01xx，此时 0f x，不符合题设条件；5 分（ii）当0时，若0 x，e1 0e1e1 01xxxxf xxxx，令 e1e1xxg xxx，则 00f xg x，而 1e1ee1 e1exxxxxgxxx 6 分 当102 时，由（1）知，e1 0 xf xx ，即e1xx，它等价于e1xx，e1xx，1 e1e1 e1ee1xxxxxgxx，1 e11 e21 e10 xxx，此时 g x在0,上是增函数，00g xg，即 0f x 9 分 当12时，由（1）知，e1xx，1 exx，1e1e1e1e1xxxxgxxxx 1e11e11 exxxxxx 21e1xx，

18、当210 x时，0g x，此时 g x在210,上是减函数，00g xg，即 0f x，不符合题设条件11 分 综上：102 12 分 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程【答案】（1）4xy，22143xy；（2）2【解析】（1）因为l：cossin4，所以l的直角坐标方程为4xy；2分 设曲线2C上任一点坐标为,x y，则2 3xxyy ，所以23xxyy，代入1C方程得：22123xy，所以2C的方程为22143xy5 分（2）直线l：4xy倾斜角为4，由题意可知，直线1l的参数方程为212 222xtyt（t为参数），7 分 联立直线1l和曲线2C的方程得，2711 2702tt设方程的两根为12,t t，则1 22t t，由直线参数t的几何意义可知，1 22PM PNtt10 分 23（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲【答案】（1）1m ，9n；（2）证明见解析【解析】（1）由36xxx，得3 36xxxx 或03 36xx或0 36xxxx ，3 分 解得19x，1m ，9n 5 分（2）由（1）知0 x，0y，91xy，119991010216yxyxxyxyxyxy，当且仅当9yxxy即112x，14y 时取等号，1116xy，即16xyxy 10 分