五年级奥数：周期问题37054.pdf

《五年级奥数：周期问题37054.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《五年级奥数：周期问题37054.pdf（9页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、-八周期性问题(A)年级班得分 一、填空题 1.*年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期_.2.1989 年 12 月 5 日是星期二,则再过十年的 12 月 5 日是星期_.3.按下面摆法摆 80 个三角形,有_个白色的.4 节日的校园挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯.也就是说,从第一盏白灯起,每一盏白灯后面都紧接着有 3 盏彩灯,小明想第 73 盏灯是_灯.5.时针现在表示的时间是 14 时正,则分针旋转 1991 周后,时针表示的时间是_.6.把自然数 1,2,3,4,5如表依次排列成 5 列，则数1992在_列.第一列 第二列 第三列 第四列 第五列

2、 1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 14 18 17 16 15 7.把分数74化成小数后，小数点第 110 位上的数字是_.8.循环小数7992511.0与74563.0.这两个循环小数在小数点后第_位,首次同时出现在该位中的数字都是 7.9.一串数:1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,共有 1991 个数.(1)其中共有_个 1,_个 9_个 4；(2)这些数字的总和是_.10.50777.7个所得积末位数是_.二、解答题-11.紧接着 1989 后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数.例如 89=72

3、,在 9 后面写 2,92=18,在 2 后面写 8,得到一串数字:1 9 8 9 2 8 6 这串数字从 1 开场往右数，第 1989 个数字是什么？12.1991 个 1990 相乘所得的积与 1990 个 1991 相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？13.设222.2n 1991 个，则n的末两位数字是多少？14在一根长 100 厘米的木棍上，自左至右每隔 6 厘米染一个红点，同时自右至左每隔5 厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，则长度是 1 厘米的短木棍有多少根？八周期性问题(B)年级班得分 一、填空题 1.1992 年 1 月 18 日是星期六，再过十年的 1 月

4、18 日是星期_.2.黑珠、白珠共 102 颗，穿成一串，排列如下列图：这串珠子中，最后一颗珠子应该是_色的,这种颜色的珠子在这串中共有_颗.3.流水线上生产小木珠涂色的次序是:先 5 个红,再 4 个黄,再 3 个绿,再 2 个黑,再 1 个白,然后再依次是 5 红,4 黄,3 绿,2 黑,1 白,继续下去第 1993 个小珠的颜色是_色.4.把珠子一个一个地如下列图按顺序往返不断投入A、B、C、D、E、F袋中.第 1992 粒珠子投在_袋中.5.将数列 1,4,7,10,13依次如图排列成 6 行,如果把最左边的一列叫做第一列,从左到右依次编号,则数列中的数 349 应排在第_行第_列.1

5、 4 7 10 13 28 25 22 19 16 31 34 37 40 43 58 55 52 49 46 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 -13 6分数139化成小数后，小数点后面第1993位上的数字是_.7.143化成小数后,小数点后面1993位上的数字是_.8.在一个循环小数0.1234567中,如果要使这个循环小数第100位的数字是5,则表示循环节的两个小圆点,应分别在_和_这两个数字上.9.1991个 9 与 1990个 8 与 1989个 7 的连乘积的个位数是 _.10.算式(367367+762762)123123的

6、得数的尾数是_.二、解答题 11.乘积 123419901991 是一个多位数，而且末尾有许多零，从右到左第一个不等于零的数是多少？12有串自然数，第一个数与第二个数互质，而且第一个数的65恰好是第二个数的41，从第三个数开场，每个数字正好是前两个数的和，问这串数的第 1991 个数被 3 除所得的余数是几？共产党好共产党好共产党好 社会主义好社会主义好社会主义好 上表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为共社，第二组为产会，则第340 组是_.14.甲、乙二人对一根 3 米长的木棍涂色.首先,甲从木棍端点开场涂黑 5 厘米,间隔 5 厘米不涂色,接着再涂黑 5 厘米,这样交替做到底.然后

7、,乙从木棍同一端点开场留出 6 厘米不涂色,接着涂黑6厘米,再间隔6厘米不涂色,交替做到底.最后,木棍上没有被涂黑局部的长度总和为_厘米.-答案 1.二 因为 74=28，由*年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是 29 天，且 2 月 1 日与 2月 29 日均为星期日，3 月 1 日是星期一，所以从这年 3 月 1 日起到这年 6 月 1 日共经过了 31+30+31+1=93(天).因为 937=132，所以这年 6 月 1 日是星期二.2日 依题意知，这十年中 1992 年、1996 年都是闰年，因此，这十年之中共有 36510+2=3652天 因为3652+17=5216，所以再过

8、十年的 12 月 5 日是星期日.注上述两题(题 1题 2)都是推断假设干天、假设干月或假设干年后*一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答.在计算天数时,要根据四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰的规定，即公历年份不是整百数时，只要是 4 的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是 400 的倍数才是闰年.3.39 从图中可以看出,三角形按二黑二白一黑一白的规律重复排列，也就是这一排列的周期为 6，并且每一周期有 3 个白色三角形.因为 806=132，而第十四期中前两个三角形都是黑色的，所以共有白色三角形133=39个.4.白 依题意知,电灯的安装排列如下:白,

9、红,黄,绿,白,红,黄,绿,白,这一排列是按白，红，黄，绿交替循环出现的，也就是这一排列的周期为 4.由 734=181,可知第 73 盏灯是白灯.5.13 时.分针旋转一周为 1 小时,旋转 1991 周为 1991 小时.一天 24 小时,199124=8223，1991小时共82天又23小时.现在是14时正,经过82天仍然是14时正,再过23小时,正好是13时.注在圆面上,沿着圆周把 1 到 12 的整数等距排成一个圈,再加上一根长针和一根短针,就组成了我们天天见到的钟面.钟面虽然是则的简单平常,但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题,周期现象就是其中的一个重要方面.6.3 仔细观察题中数

10、表.1 2 3 4 5 (奇数排)第一组 9 8 7 6 (偶数排)10 11 12 13 14 (奇数排)第二组 18 17 16 15 (偶数排)19 20 21 22 23 (奇数排)第三组-27 26 25 24 (偶数排)可发现规律如下:(1)连续自然数按每组 9 个数,且奇数排自左往右五个数,偶数排自右往左四个数的规律循环排列；(2)观察第二组,第三组,发现奇数排的数如果用 9 除有如下规律:第 1 列用 9 除余数为 1,第 2 列用 9 除余数为 2,，第 5 列用 9 除余数为 5.(3)109=11，10 在 1+1 组，第 1 列 199=21，19 在 2+1 组，第

11、1 列 因为 19929=2213，所以 1992 应排列在 221+1=222 组中奇数排第 3 列数的位置上.7.7 74=0.57142857 它的循环周期是6，具体地六个数依次是 5，7，1，4，2，8 1106=182 因为余 2，第 110 个数字是上面列出的六个数中的第2 个，就是 7.8.35 因为 0.1992517的循环周期是 7,0.34567的循环周期为 5,又 5 和 7 的最小公倍数是35,所以两个循环小数在小数点后第35 位,首次同时出现在该位上的数字都是7.9.853,570,568,8255.不难看出,这串数每 7 个数即 1,9,9,1,4,1,4为一个循环

12、,即周期为 7,且每个周期中有3个 1,2 个 9,2 个 4.因为 19917=2843，所以这串数中有284 个周期，加上第285 个周期中的前三个数 1，9，9.其中 1 的个数是:3284+1=853(个),9 的个数是 2284+2=570(个),4 的个数是 2284=568(个).这些数字的总和为 1853+9570+4568=8255.10.9 先找出积的末位数的变化规律:71末位数为 7,72末位数为 9,73末位数为 3,74末位数 1；75=74+1末位数为 7,76=74+2末位数为 9，77=74+3末位数为 3，78=247末位数为 1 由此可见，积的末位依次为 7

13、，9，3，1，7，9，3，1，以 4 为周期循环出现.因为 504=122，即 750=21247，所以 750与 72末位数一样，也就是积的末位数是 9.11.依照题述规则多写几个数字:86884 可见 1989 后面的数总是不断循环重复出现 286884，每 6 个一组，即循环周期为 6.因为(1989-4)6=3305，所以所求数字是 8.-12.1991 个 1990 相乘所得的积末两位是 0,我们只需考察 1990 个 1991 相乘的积末两位数即可.1 个 1991 末两位数是 91,2 个 1991 相乘的积末两位数是 81,3 个 1991 相乘的积末两位数是 71,4 个至

14、10 个 1991 相乘的积的末两位数分别是 61,51,41,31,21,11,01,11 个 1991相乘积的末两位数字是 91，由此可见，每 10 个 1991 相乘的末两位数字重复出现，即周期为 10.因为 199010=199,所以 1990 个 1991 相乘积的末两位数是 01,即所求结果是 01.13.n是 1991 个 2 的连乘积,可记为n=21991,首先从 2 的较低次幂入手寻找规律,列表如下:n n的十位数字 n的个位数字 n n的十位数字 n的个位数字 21 0 2 212 9 6 22 0 4 213 9 2 23 0 8 214 8 4 24 1 6 215 6

15、 8 25 3 2 216 3 6 26 6 4 217 7 2 27 2 8 218 4 4 28 5 6 219 8 8 29 1 2 220 7 6 210 2 4 221 5 2 211 4 8 222 0 4 观察上表,容易发现自 22开场每隔 20 个 2 的连乘积,末两位数字就重复出现,周期为 20.因为 199020=9910，所以 21991与 211的末两位数字一样，由上表知 211的十位数字是 4，个位数字是 8.所以,n的末两位数字是 48.14.因为100能被5整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我们可以看作是从同一端点染色.6 与 5 的最小公倍数是30,

16、即在 30 厘米的地方,同时染上红色,这样染色就会出现循环,每一周的长度是30 厘米,如下列图所示.由图示可知长1 厘米的短木棍,每一周期中有两段,如第 1 周期中,6-5=1,55-64=1.剩余 10 厘米中有一段.所以锯开后长 1 厘米的短木棍共有7 段.综合算式为:2(100-10)30+1=23+1=7(段)注解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔 5 厘米的染色,转化为自左向右的染色,便于利用最小公倍数发现周期现象,化难为易.答案 1.五 在这十年中有 3 个闰年,所以这 10 年的总天数是 36510+3,365 被 7 除余 1,所以总天数被 7 除的余数是(13-7=)

17、6,因此 10 年后的 1 月 18 日是星期五.2.黑,26 根据图示可知,假设去掉第一颗白珠后它们的排列是按一黑三色交替循环出现的，也就是这一排列的周期为 4.由(102-1)4=251，可知循环 25 个周期，最后一颗珠子是黑色的.黑色珠子共有.6 12 18 24 30 5 10 15 20 25 95 96 100.90-125+1=26(颗).3.黑 小木球是依次按 5 红,4 黄,3 绿,2 黑和 1 白的规律涂色的,把它看成周期性问题,每个周期为 15.由 199315=13213 知，第 1993 个小球是第 133 周期中的第 13 个，按规律涂色应该是黑色，所以第 199

18、3 个小球的颜色是黑色.4.B 通过观察可以发现,第 11 次到第 20 次投进的袋子依次与第 1 次到第 10 次投进的袋子一样,即当投的次数被 10 除余 1,2,3,，8，9，0，分别投进A，B，C，D，C，B袋中，1992被 10 除余 2，所以第 1992 粒珠子投在B袋中.5.24,2 这个数列从第 2 项起,每一项都比前一项多 3,(349-1)3+1=117,所以 349 是这列数中的第 117 个数.从排列可以看出,每两排为一个周期,每一周期有 10 个数.因为 11710=117，所以数349是第 11 个周期的第 7 个数，也就是在第 24 行第 2列.6.6 139=7

19、92306.0 它的循环周期是 6,因为 1993=6332+1,所以化成小数后,其小数点后面第 1993 位上的数字是 6.7.7 143=7428512.0 它的循环周期是6,因为(1993-1)6=332,则循环节142857恰好重复出现332次.所以小数点后面第1993位上的数字是7.8.3,7 表示循环小数的两个小圆点中,后一个小圆点显然应加在7 的上面,且数字5肯定包含在循环节中，设前一个小圆点加在5的上面，这时循环周期是 3，100-43=32，第 100位数字是 7.设前一个小圆点加在 4的上面，这时循环周期是 4，100-34=241，第 100位数字是 4.设前一个小圆点加

20、在 3的上面，这时的循环周期是 5，100-25=193，第100 位数字正好是 5.注拿到此题后容易看出后一个小圆点应加在 7 的上面,但前一个圆点应加在哪个数字上,一下子难以确定,怎么办唯一的方法就是试.因为循环节肯定要包含5,就从数字5开场试.逐步向前移动,直到成功为止.这就像我们在迷宫中行走,不知道该走哪条道才能走出迷宫,唯一的方法就是探索:先试一试这条,再试一试那条.9.2 由特例不难归纳出:(1)9 的连乘积的个位数字按 9,1 循环出现,周期为 2；(2)8 的连乘积的个位数字按 8,4,2,6 循环出现,周期为 4；(3)7 的连乘积的个位数字按 7,9,3,1 循环出现,周期

21、为 4.-因为 1991=9952+1,所以 1991 个 9 的连乘积的个位数字是 9；因为 1990=4974+2，所以 1990 个 8 的连乘积的个位数字是 4；因为 1989=4974+1，所以 1989 个 7 的连乘积的个位数字是 7.947 的个位数字是 2,即 1991 个 9 与 1990 个 8 与 1989 年 7 的连乘积的个位数字是 2.10.9 7 的连乘积,尾数(个位数字)以 7,9,3,1 循环出现,周期为 4.因为 3674=913，所以，367367的尾数为 3.2 的连乘积,尾数以 2,4,8,6 循环出现,周期为 4.因为 7624=1902，所以，7

22、62762的尾数为 4.3 的连乘积,尾数以 3,9,7,1 循环出现,周期为 4.1234=303，所以，123123的尾数为 7.所以,(367367+762762)123123的尾数为(3+4)7=49 的尾数,所求答案为 9.12.因为第一个数65=第二个数41,所以第一个数：第二个数=41：65=3：10.又两数互质,所以第一个数为 3,第二个数为 10,从而这串数为：3,10,13,23,36,59,95,154,249,403,652,1055 被 3 除所得的余数为：0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，按0，1，1，2，0，2，2，1循环，周期为 8.因为 1991

23、8=2487，所以第 1991 个数被 3 除所得余数应是第 249 周期中的第 7 个数，即 2.注解答此题应注意以下两个问题:(1)由于两个数互质,所以这两个数只能是最简整数比的两个数；(2)求出这串数被 3 除所得的余数后,找出余数变化的周期,但这并不是这串数的周期.一般来说,一些有规律的数串,被*一个整数逐个去除,所得的余数也具有周期性.13.因为共产党好四个字，社会主义好五个字，4 与 5 的最小公倍数是 20，所以在连续写完 5 个共产党好与 4 个社会主义好之后，将重复从头写起，出现周期现象，而且每个周期是 20 组数.因为 34020=17,所以第 340 组正好写完第 17

24、个周期,第 340 组是(好,好).注此题从题面上看是一个文字游戏,其实质是一个周期的问题:四个四个地数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 五个五个地数 14.根据题意甲、乙从同一端点开场涂色，甲按黑、白，黑、白交替进展；乙按白、黑，白、黑交替进展，如下列图所示.由上图可知,甲黑、乙白从同一端点起，到再一次甲黑、乙白同时出现，应是 5 与 6 的最小公倍数的 2 倍，即 562=60 厘米，也就是它们按 60 厘米为周期循环出现.并且在每一个甲 60cm 1 3 5 4 2-周期中没有涂色的局部是 1+3+5+4+2=15(厘米)所以,在 3 米的木棍上没有涂黑色的局部长度总和是 15(30060)=75(厘米)注请注意这里的周期是5 与 6 最小公倍数的 2 倍,而不是 5 与 6的最小公倍数.这是同学们容易犯的错误.