2020届四川省成都外国语学校高三12月月考数学(文)试题(解析版)5270.pdf

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1、第 1 页 共 19 页 2020 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考数学（文）试题 一、单选题 1已知集合12MxR x，集合4NxR x，则MN（）A12x x B142xx CR D【答案】B【解析】由题意结合交集的定义可得：142MNxx.本题选择B选项.2在复平面内，复数z所对应的点A的坐标为（3，4），则zz（）A4255i B4355i C3455i D3455i【答案】C【解析】先写出复数z代数形式，再根据复数的模以及除法运算法则求结果.【详解】34zi，所以22345z，所以5 3453434343455iiziiiz.故选：C【点睛】本题考查复数几何意义、复数的模以及

2、复数除法运算，考查基本分析求解能力，属基础题.3 等比数列 na的前n项和为nS，若1234563,6aaaaaa，则12S（）A15 B30 C45 D60【答案】C【解析】根据题设条件，得到4561232aaaaaa，进而得到78910111212,24aaaaaa，即可求解12S的值，得到答案.【详解】第 2 页 共 19 页 由题意，等比数列 na的前 n 项和为nS，满足1234563,6aaaaaa，则456123623aaaaaa，所以78910111212,24aaaaaa，则1212310111245Saaaaaa，故选 C.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，及其前

3、n 项和的计算，其中解答中熟记等比数列的通项公式和前 n 项和公式，准确计算是解得的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4有一批种子，对于一颗种子来说，它可能 1 天发芽，也可能 2 天发芽，如表是不同发芽天数的种子数的记录：发芽天数 1 2 3 4 5 6 7 8 种子数 8 26 22 24 12 4 2 0 统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是（）A2 B3 C3.5 D4【答案】B【解析】根据数据以及中位数定义求结果.【详解】因为这批种子共有8262224124298个，82649,8262249，所以这组数据的中位数是 3，故选：B【点睛】本题考查中位数定义

4、，考查基本分析求解能力，属基础题.5秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的2,2xn，则输出的S=（）第 3 页 共 19 页 A8 B10 C12 D22【答案】D【解析】根据程序依次计算，直到跳出循环，输出结果，即可对照选择.【详解】模拟程序的运行，可得2,2,0,0,2xnkSa，2,1Sk，不满足条件2k，执行循环体，4,8,2aSk，不满足条件2k，执行循环体，6,22,3aSk，此时，满足条件2k，退出循环，输出 S 的值为

5、22.故选：D【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.6已知条件:12p x，条件:q xa，且q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A01a B13a C1a D3a 【答案】C【解析】分别求出两个命题p、q是的范围，p是q的必要不充分条件等价于q是p的必要不充分条件，由此求得a的取值范围【详解】:121p xx或3x ，当0a 时，:q xaxa或xa，当0a 时，:q xaxR，因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，因此 从而0a 或0,1,013,aaaa ，即1a 第 4 页 共 19 页 故选：C【点睛】本题考查由必要不充分条件求

6、参数，属于基础题 7将函数2sin 24yx的图象向右平移12单位后，所得图象对应的函数解析式为（）A52sin 212yx B52sin 212yx C2sin 212yx D2sin 212yx【答案】D【解析】先将函数2sin 24yx中 x 换为 x-12后化简即可.【详解】2sin 2()124yx化解为2sin 212yx 故选 D【点睛】本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将 x 按要求变换.8 某几何体的三视图如右图所示，其侧视图为等边三角形，则该几何体的体积为（）A32 36 B43 C32 312 D243【答案】A【解析】根据三视图还原为直观

7、图，可知该几何体由一个半圆锥和一个三棱柱组合而成，再求圆锥的底面半径，三棱柱的各边，根据体积公式求解即可【详解】第 5 页 共 19 页 由已知中的三视图可得，该几何体由一个半圆锥和一个三棱柱组合而成，如图，其中半圆锥的底面半径为 1，高为3，三棱柱的底面是一个边长为 2 的正三角形，高为2，则该几何体的体积：211333222 33246V 故选：A 【点睛】本题主要考查三视图、几何体的体积，以空间几何为载体，考查考生的空间想象能力与基本运算能力，考查的核心素养是数学抽象、直观想象、数学运算.9已知实数a，b满足不等式2211ab，则点1,1A与点1,1B 在直线10axby 的两侧的概率为

8、（）A34 B23 C12 D13【答案】C【解析】根据题目可知当A与B在直线两侧时110abab ，又因为2211ab，则图象是单位元内的点，其所在的位置占整个圆的12，由此可得结果【详解】解：若点1,1A与点1,1B 在直线10axby 的两侧，则110abab ，即110abab ，又实数a，b满足不等式2211ab，作出图象如图：由图可知，第 6 页 共 19 页 点1,1A与点1,1B 在直线10axby 的两侧的概率为12 故选：C 【点睛】本题考查线性规划以及几何概型，属于基础题 10 正项数列 na的前n项和为nS，且2*2nnnSaanN，设 2112nnnnacs，则数列

9、nc的前 2020 项的和为（）A20192020 B20202019 C20202021 D20212020【答案】C【解析】先根据和项与通项关系得11nnaa，再根据等差数列定义与通项公式、求和公式得,nnaS，代入化简nc，最后利用分组求和法求结果.【详解】因为2*2,0nnnnSaanNa，所以当1n 时，21112aaa，解得11a，当2n 时，2211122nnnnnnnaSSaaaa，所以 1110nnnnaaaa，因为0na，所以11nnaa，所以数列 na是等差数列，公差为 1，首项为 1，所以111,2nnn nann S，所以 2121111112(1)1nnnnnnan

10、csn nnn ，则数列 nc的前 2020 项的和11111111202011223342020202120212021 .第 7 页 共 19 页 故选：C【点睛】本题考查根据和项求通项、等差数列定义、等差数列通项公式与求和公式以及分组求和法，考查基本分析求解能力，属中档题.11设函数 f x满足 2xexfxfxx，224ef，则0 x 时，f x（）A有极大值，无极小值 B有极小值，无极大值 C既有极大值又有极小值 D既无极大值也无极小值【答案】B【解析】先利用导数的运算法则，确定 fx的解析式，构造新函数，确定函数的单调性即可求出结论【详解】解：由 22xx fxxf xe，即 2x

11、x fxe，结合 224ef，可知 2xefxx，32xexfxx，可知此函数仅有一个极值点，是极小值点，没有极大值 故选：B【点睛】本题考查导数知识的应用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 12已知定义在 上的函数对任意的 都满足，当时，若函数，且至少有 6 个零点，则 取值范围是 A B C D【答案】A【解析】试题分析：函数 g（x）=f（x）-loga|x|的零点个数，即函数 y=f（x）与 y=loga|x|的交点的个数；由 f（x+1）=-f（x），可得 f（x+2）=f（x+1+1）=-f（x+1）=f（x），故函数 f（x）是第 8 页 共 19

12、页 周期为 2 的周期函数，又由当-1x1 时，f（x）=x3，据此可以做出 f（x）的图象，y=loga|x|是偶函数，当 x0 时，y=logax，则当 x0 时，y=loga（-x），做出 y=loga|x|的图象:结合图象分析可得：要使函数 y=f（x）与 y=loga|x|至少有 6 个交点，则 loga51 或 loga5-1，解得 a5，或.故选 C.【考点】1.考查函数图象的变化与运用 二、填空题 13已知tan2a，则sin2a _.【答案】45【解析】利用诱导公式化简已知等式的左边求出tan a的值，再利用二倍角的正弦公式得到sin22sincosaa，分母除以1，利用同角

13、三角函数关系式得到222sincossin 2sincosaaaaa，最后转化为tana即可求出sin2的值.【详解】解：因为tantan2aa，所以222sincossin 2sincosaaaaa 222tan2 24tan1215aa 故答案为：45【点睛】本题考查了二倍角的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键.第 9 页 共 19 页 14向量a，b满足2a，1b，且22,2 3ab，则a，b的夹角的取值范围是_.【答案】2,33【解析】首先根据22,2 3ab两边平方，然后根据平面向量的数量积公式进行求解即可【详解】因为22,2 3a

14、b，所以224,12ab，即2244448cos4,12aba b，所以1 1cos,2 2，故2,33 故答案为：2,33【点睛】本题重点考查了数量积的概念、运算法则及夹角等知识，属于基础题 15在平面直角坐标系xOy中，过点（0，1）的直线l与双曲线2231xy交于两点A，B，若OAB是直角三角形，则直线l的斜率为_.【答案】1k 【解析】先设直线方程与双曲线方程联立方程组，根据垂直条件，结合韦达定理求直线l的斜率.【详解】直线l的斜率显然存在，设直线为1ykx，联立双曲线：2231xy，消去y得：223220kxkx.若90AOB，则0110ABABOA OBx xkxkx，222222

15、(1)10(1)1033ABABkkx xk xxkkkk 解得1k .若90OAB（A在左支）设A点坐标（m，n）（0m），则第 10 页 共 19 页 22900OABmnn，联立双曲线无解，故不可能出现90OAB。若90OAB（B 在右支），同理不可能 故答案为：1k 【点睛】本题考查直线与双曲线位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题 16设实数x，y满足23,12,4,xyxy则1yx 的最大值为_.【答案】2【解析】先根据题意画出可行域，目标函数1yx 表示的是可行域内的点到定点10P，的斜率，当直线过点A时斜率为最大值，只需解方程组求解点2,2A代入目标函数即可 【详

16、解】由实数x，y满足23,12,4,xyxy作出可行域如图，联立2,4xxy得2,2A，由1yzx，而222 1PAk，所以目标函数1yx 的最大值为 2 故答案为：2 第 11 页 共 19 页【点睛】本题考查求分式型的非线性规划的目标函数题，准确作图，利用目标函数的集合意义是解题的关键 17 在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，2coscoscosbcosCaBbAB.（1）求证：ABC是等腰三角形；（2）若7cos8A，且ABC的周长为 5，求ABC的面积.【答案】(1)证明见解析；(2)154.【解析】试题分析：（1）根据正弦定理边化角有2sinBcosCsinAco

17、s BsinBcosAcosBcosBsin AB，据此可得0sin BC，则BC，所以ABC是等腰三角形；（2）由（1）结合余弦定理可得：2ba.ABC的周长为55abca，得1,2ab.由面积公式可得ABC的面积11524SbcsinA.试题解析：（1）根据正弦定理，由2bcosCacos BbcosAcosB可得 2sinBcosCsinAcos BsinBcosAcosBcosBsinAcosBsinBcosA cosBsin AB，即sinBcosCcosBsinC，故0sin BC，由,0,B C得,BC ，故BC，所以ABC是等腰三角形；（2）由（1）知bc，2222222722

18、28bcabacosAbabcb.又因为ABC的周长为55abca，得1,2ab.故ABC的面积2117152 212284SbcsinA .18某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有N人参加，现将所有参加者按年龄情况分为20,25，25,30，30,35，35,40，40,45，第 12 页 共 19 页 45,50，50,55等七组，其频率分布直方图如图所示，已知25,30这组的参加者是 6 人.（1）根据此频率分布直方图求N;（2）已知35,40，40,45这两组各有 2 名数学教师，现从这两个组中各选取 2 人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中恰有

19、 1 名数学老师的概率 【答案】（1）40N；（2）1635【解析】（1）先求出年龄在25,30内的频率，由25,30这组的参加者人数和其频率求出总人数N.（2）分别求出“从年龄在35,40之间选出的人中至少有1名数学教师的人数和“从年龄在40,45之间选出的人中至少有 1 名数学教师的人数，即可求出两组选出的人中都至少有 1 名数学老师的概率【详解】解：（1）根据题意，25,30这组频率为0.03 50.15，所以6400.15N；（2）35,40这组的参加者人数为0.04 5 408，40,45这组的参加者人数为0.03 5 406，恰有 1 名数学老师的概率为1 1221 12 6462

20、 422861635c cccc cc c.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题 19 在如图所示的几何体中，ABC是边长为 2 的正三角形，1AE,AE平面ABC，平面BCD 平面ABC，BDCD，且BDCD.第 13 页 共 19 页 （1）若2AE，求证：AC P平面BDE；（2）若B到DE的距离是72，求该几何体的体积.【答案】（1）见解析；（2）3【解析】（1）取BC、BE、BA的中点为M，N，K，证明DNKM是平行四边形 则有KMDNP，又因为KMACP，即ACDNP，即可证得AC P平面BDE（2）首先证明AB 面AMED，几何体的体积

21、 B AEDMCAEDMVV锥锥13EAMDSMBMA，求出EAMDS，即可求得体积。【详解】（1）如图，取BC、BE、BA的中点，分别为M，N，K 连接DM，DN，NK，MK，112122NKAE，M为BC的终点，DMBC，1DM NK DMP 所以DNKM是平行四边形 所以KMDNP，又因为KMACP（三角形中位线定理），所以ACDNP 第 14 页 共 19 页 ACDNACBDEACBDEDNBDE平面平面平面 所以AC P平面BDE得证（2）如图，首先证明AB 面AMED，所以该几何体的体积 13EAMDB AEDMCAEDMVVSMBMA锥锥，所以核心是求EAMDS 如图 在EAM

22、D平面内，过M点做ED直线垂线，垂足是T，连接MT 则BTED，于是72BT 因为1MB，1MD 所以32BT，从而60TDM，所以2AE，从而3 32EAMDS 进而几何体的体积3【点睛】本题着重考查了三角形中位线定理、空间直线与平面平行的判定定理，空间几何体的体第 15 页 共 19 页 积，属于中档题。20已知椭圆2222:10 xyCabab的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，离心率为22，ABF的面积为21.（1）求椭圆C的方程；（2）若M，N为y轴上的两个动点，且MFNF，直线AM和AN分别与椭圆C交于E，D两点，若O是坐标原点，求证：E、O、D三点共线。【答案】（1）22142

23、xy；（2）见解析【解析】（1）根据离心率公式和面积公式可求得,a b，即可求得椭圆的方程；（2）分别设直线AMl求出其与曲线的交点2,0A，11,E x y，同理设ANl求出其与曲线的交点2,0A，22,D x y，根据斜率ODOEkk得到三点共线【详解】（1）依题意：22cea，2ac，bc，211212122ABFSacbc，所以222cb，24a，所以椭圆方程：22142xy（2）设:2AMmlyxm与2224xy交于2,0A、11,E x y，且0,Mm 2222222122402224myxmxm xmxy，212422mxm，1242mym，设:2ANnlyxn与2224xy交于

24、2,0A、22,D x y，且0,Nn，2,0F 同理可得222424,22nnDnn，所以222244242422OEmmmkmmm，第 16 页 共 19 页 由MFNF，可得mn2，2222228448448424842424ODOEnmmmmkknmmmm，所以ODOEkk 所以E，O，D三点共线从而ED恒过定点O【点睛】本意考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆相交，一元二次方程的根与系数的关系、三点共线关系，考查推理能力与计算能力 21如果函数 f x满足 1fxfx且1x 是它的零点，则函数 f x是“有趣的”，例如 1lnlng xxx就是“有趣的”，已知 2lnlnh x

25、xcbx是“有趣的”.（1）求出b、c并求出函数 h x的单调区间；（2）若对于任意正数x，都有 0h xkg x恒成立，求参数k的取值范围.【答案】（1）2b，1c，单减区间为 0，1），单增区间为1，；（2）1,2【解析】（1）根据定义得方程恒成立，解得b、c，再根据复合函数单调性确定函数 h x的单调区间；（2）先化简不等式，再求导数，根据导函数符号分类讨论,利用导数证明12k 恒成立,再说明12k 不恒成立.【详解】（1）因为 2lnlnh xxcbx是“有趣的”，所以 1(),(1)0h xhhx 即 221lnlnlnln,1ln(1)ln0bxcbxchcbxx 221112,x

26、ccxcbc 211ln1ln 2ln()2h xxxxx()h x的定义域为(0,)，单减区间为（0，1），单增区间为1，.第 17 页 共 19 页（2）参数k的取值范围为1,2.引理：不等式1lnyy 对任意正数 y 都成立。证明如下：11 ln101(0,1),0;(1,),0(1)0uyyuyyyyyyyy 由 0h xkg x恒成立，得221(ln)ln02xkxx恒成立。.我们构造函数221()(ln)ln2xF xkxx。注意到10F（）。222222ln11()21 ln111xxF xkk xxxxx xx x 构造()(1)ln1G tk ttt，注意到(1)0G，且 2

27、21()1F xG xx x 11()ln11ln21kG tktkkkttt 我们以下分两部分进行说明：第一部分：12k 时，()0F x 恒成立。12k 时，由引理得：111ln0tt，知道11()1ln210G tkktt ，从而当1t 时有()(1)0G tG，1t 时有()(1)0G tG，所以 221()1F xG xx x在（0，1）上为负，在1（，）上为正。从而 F x在0,1上单减，在1，上单增，最小值为 1F。从而()(1)0F xF 第二部分：12k 时，不满足条件。构造函数()(1ln)21H sk ssk。（）若0k，则对于任意(0,1)s，都有()0H s。（）若0

28、k，则对于任意(0,1)s，()(1)0kH sss，第 18 页 共 19 页 而11ee10kkhk，所以在（0，1）上H s（）有唯一零点0SS，同时在0,1ss，时都有0H s（）。于是只要12k，无论是（）还是（），我们总能找到一个实数001s，在(0,1)s时都有0H s（）。这样在011,ts时，都有1()0G tHt ，结合(1)0G，所以011,ts时()0G t，从而在011,xs时有 221()01F xG xx x。(1)0F，所以011,xs时0F x（），不满足要求。【点睛】本题考查利用导数求函数单调性以及利用导数研究不等式恒成立，考查综合分析求解能力，属难题.22

29、选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系下，直线（为参数），以原点 为极点，以 轴为非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为（）写出直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（）若直线 与曲线 交于，两点，求的值【答案】（）直线:，曲线:；（）.【解析】试题分析：（）消去参数，得直线 的普通方程为，由，两边同乘以，得曲线 的直角坐标方程为；（）将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程得，即，由直线参数的几何意义知，.试题解析：（）直线 的普通方程为，由，即曲线 的直角坐标方程为 第 19 页 共 19 页（）把直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程得，即，设方

30、程的两根分别为，则 【考点】极坐标与参数方程（互化）、直线参数几何意义 23已知函数()|()f xxxR.（1）求不等式(1)(1)4f xf x的解集M；（2）若,a bM证明：2()()4f abf ab【答案】（1）2,2M （2）见解析.【解析】（1）由零点分段法讨论x的范围，解各个范围内的不等式，最后求并集即可求出解集.（2）由题意可知，即证2|4abab，对两边平方，作差，根据（1）的结论即可证明结果.【详解】（1）2,1112,112,1x xxxxx x ，故124xx 或1124x 或124xx，故不等式的解为 2,2.（2）证明：要证2|4abab，只需证224()(|4)abab，即证222484()8|16aabbabab（）.只需证：222484()8|160aabbabab 因为88|abab，所以只需证：22244()160abab，又由（1）知，|2,|2ab，则22440ab，即22244()160abab，所以（）式显然成立，故原命题得证.【点睛】本题考查零点分段法解绝对值不等式，考查分析法证明不等式，属于基础题.