吉林省延吉市延边第二中学2020届高三数学上学期第一次调研试题文(含解析)42538.pdf

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1、-1-吉林省延吉市延边第二中学 2020 届高三数学上学期第一次调研试题 文（含解析）本试卷共 23 题，共 150 分，共 6 页。考试结束后，将答题卡交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超过答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀

2、。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合2Ax xx，11Bxx，则AB（）A.0,1 B.0,1 C.,1 D.,00,1【答案】A【解析】【分析】求解不等式确定集合A,B，然后进行交集运算即可.【详解】求解不等式2xx可得：|01Axx，求解不等式11x可得|01Bxx，结合交集的定义可知AB 0,1.故选：A.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，不等式的解法，交集的运算法则等知识，意在考查-2-学生的转化能力和计算求解能力.2.i 为虚数单位，设复数 z 满足34iiz，则复数 z 的模是（）A.10

3、B.25 C.3 D.5【答案】D【解析】【分析】由复数及复数的模的运算，即可得解.【详解】解：因为34iiz，所以34iz43ii 则z=22(3)45，故选 D.【点睛】本题考查了复数的运算，属基础题.3.在ABC中，“AB”是“coscosAB”的()A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】余弦函数cosyx在0（，）上单调递减【详解】因为A,B是ABC的内角，所以,A B（0，）,在0（，）上余弦函数cosyx单调递减,在ABC中，“AB”“coscosAB”【点睛】充要条件的判断，是高考常考知识点，充要条件的判断一般有三

4、种思路：定义法、等价关系转化法、集合关系法。4.已知3ae，33log 5log 2b，2ln3c，则a，b，c的大小关系为（）A.acb B.bca -3-C.cab D.cba【答案】C【解析】【分析】根据3logyx的单调性判断,a b的大小关系，由1ac 判断出三者的大小关系.【详解】由3log1ae，335loglog2bae，ln31c，则cab.故选 C.【点睛】本小题主要考查对数运算，考查对数函数的单调性，考查对数式比较大小，属于基础题.5.等比数列na的前n项和为nS，已知2132Saa，41a，则4S（）A.78 B.158 C.14 D.15【答案】D【解析】由2132S

5、aa，得12132aaaa，即232aa，又 na为等比数列，所以公比321q2aa，又314118aaa q，所以18a.414111)168151112aqSq（.故选 D.6.函数log42ayx（0a，且1a）的图象恒过定点A，且点A在角的终边上，则sin2（）A.513 B.513 C.1213 D.1213【答案】C -4-【解析】【分析】令对数的真数等于 1，求得 x、y 的值，可得定点 A 的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得tan，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得sin2的值【详解】对于函数aylogx42(a0且a1)，令x41，求得x3，y2，可得

6、函数的图象恒过点A3,2，且点 A 在角的终边上，y2tanx3，则2222sincos2tan12sin2sin cos tan 113，故选：C【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，属于基础题 7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A.3(8)6 B.3(92)6 C.3(82)6 D.3(6)6【答案】A【解析】【分析】先找到三视图对应的几何体原图，再求几何体的体积.-5-【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个组合体，由一个底面半径为 1，高为3的半圆锥，和一个底面边长为 2 的正方形，高为

7、3的四棱锥组合而成 故这个几何体的体积11132 23323V (8)36.故选：A【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.8.若向量a，b的夹角为3，且2a，1b，则向量a-2b与向量a的夹角为（）A.6 B.3 C.23 D.56【答案】B【解析】【分析】由平面向量数量积的运算可得：(2)cos2abaab a=12，再求角即可.【详解】解：因为向量a，b的夹角为3，且2a，1b，所以12 11,2a b 所以222442abaa bb，2222abaaa b，设向量a-2b与向量a的夹角为，-6-则(2)cos2a

8、baab a=12，又0,，即向量a-2b与向量a的夹角为3，故选 B.【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题.9.关于函数2sin 314yx，下列叙述有误的是(）A.其图象关于直线4x 对称 B.其图象关于点,112对称 C.其值域是1,3 D.其图象可由2sin14yx图象上所有点的横坐标变为原来的13得到【答案】B【解析】【分析】利用正弦函数的图象与性质，逐个判断各个选项是否正确，从而得出。【详解】当4x 时，1y ，为函数最小值，故 A 正确；当12x时，sin(3)1124，3y，所以函数图象关于直线12x对称，不关于点,112对称，故 B 错误；函数的值域为1,3，显然

9、 C 正确；2sin14yx图象上所有点的横坐标变为原来的13得到2sin(3)14yx，故 D 正确。综上，故选 B。【点睛】本题主要考查正弦函数的图象与性质，牢记正弦函数的基本性质是解题的关键。10.定义在R上的偶函数()f x满足(1)(1)f xf x，且当 1,0 x 时，2()f xx，函-7-数()g x是定义在R上的奇函数，当0 x 时，()lgg xx，则函数()()()h xf xg x的零点的的个数是（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】D【解析】【分析】分别作出函数()yf x与函数()yg x图像，再观察其交点个数即可.【详解】解：由(1)(1)f xf x，可

10、得函数()f x的周期为 2，又()f x为偶函数，且当 1,0 x 时，2()f xx，又()g x是定义在R上的奇函数，当0 x 时，()lgg xx，则函数()()()h xf xg x的零点个数即函数()yf x与函数()yg x图像的交点个数，又函数()yf x与函数()yg x图像如图所示，即函数()yf x与函数()yg x图像的交点个数为 10 个，故选 D.【点睛】本题考查了函数的奇偶性及函数零点问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.11.历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，

11、引入“兔子数列”：即 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，.即(1)(2)1FF，*()(1)(2)(3,)F nF nF nnnN，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有-8-着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列 nb，又记数列 nc满足11cb，22cb，*1(3,)nnncbbnnN，则1232019.cccc的值为（）A.4 B.-728 C.-729 D.3【答案】D【解析】【分析】先列出数列 nb、nc的前面的有限项，再观察数列的周期性，运算即可得解.【详解】解：由题意有数列 nb为 1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1

12、,0,1,1,即数列 nb为周期为 6 的数列，则数列 nc为 1,1,1,1，-2，-1,1,0,1,1，-2，-1,1,0,1,1，-2，-1,观察数列 nc可知数列从第三项开始后面所有数列构成一周期为 6 的数列，且每一个周期的和为 0，所以1232019.cccc=123420182019122019(.)1 1 13ccccccccc ，故选 D.【点睛】本题考查了阅读能力及数列的周期性，属中档题.12.已知()f x为定义在(0,)上的可导函数，且()()f xxfx恒成立，则不等式21()()0 x ff xx的解集为（）A.(1,)B.(,1)C.(2,)D.(,2)【答案】A

13、【解析】令()()f xg xx，则2()()()xfxf xg xx()()f xxfx()()0 xfxf x，即2()()()0 xfxf xg xx在(0,)上恒成立 -9-()g x在(0,)上单调递减 21()()0 x ff xx 1()()1ff xxxx，即1()()gg xx 1xx，即1x 故选 A 点睛：本题首先需结合已知条件构造函数，然后考查利用导数判断函数的单调性，再由函数的单调性和函数值的大小关系，判断自变量的大小关系.二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案写在答题纸上)13.体积为4 3的球的内接正方体的棱长为_。【答案】2【解析

14、】可知球半径3334VR，而球内接正方体的体对角线长等于球直径2 3。设正方体的棱长为x，则有32 3x，解得2x 14.已知(0,)且3cos()65求cos _.【答案】3 3410【解析】【分析】先求出 sin365【详解】因为530,cos()0,66665 -10-4,sin()46265，所以33413 34coscos()()66525210.故答案为：3 3410.【点睛】(1)本题主要考查三角化简求值，考查同角的平方关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析得到4,sin()46265，否则会出现双解.15.在等差数列an中，已知3571

15、5aaa，则483aa=_.【答案】20【解析】数列an是等差数列，且35715aaa，3a5=15，a5=5.484484646532222420aaaaaaaaaa.答案为 20.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,nna d n aS，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2pqmnraaaaa（2pqmnr）与前n 项和的关系，利用整体代换思想解答.16.如图，向量OAOB，|2OA，1OB，P是以O为圆心、|OA为半

16、径的圆弧AC上的动点，若OPmOAnOB，则mn的最大值是_.-11-【答案】1【解析】【分析】将OPmOAnOB两边平方，利用数量积的运算化简可得2244mn，用基本不等式即可求得最大值【详解】因OAOB，2OA，1OB，所以224,1,?0OAOBOAOB,因为P为圆上，所以24OP，OPmOAnOB，22()OPmOAnOB，2244mn，2244mnmn，44mn，1mn，故答案为 1【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算、基本不等式的应用，属基础题数量积的运算主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cosa ba b（此时a b往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影

17、是a bb；（3）,a b向量垂直则0a b;(4)求向量manb 的模（平方后需求a b）.三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题.每个-12-试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题.考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分 17.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2sin sinsinsinsinsinBCbB cCaAA.（1）求A的大小；（2）若2a，3B，求ABC的面积.【答案】(1)4A.(2)334ABCS【解析】【分析】（1）先 由 正 弦 定 理，将2sin sinsinsinsinsinBCbB

18、 cCaAA化 为222bcbcaaa，结合余弦定理，即可求出角A；（2）先求出sinC，再由正弦定理求出b，根据三角形面积公式，即可得出结果.【详解】（1）因为2sin sinsinsinsinsinBCbB cCaAA，由正弦定理可得：222bcbcaaa，即2222bcabc，再由余弦定理可得2cos2bcAbc，即2cos2A,所以4A；（2）因为3B，所以62sinsin4CAB，由正弦定理sinsinabAB，可得3b.-13-133sin24ABCSabC.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理、余弦定理即可，属于常考题型.18.已知数列 na满足11a，1431nnaan，

19、nnban.（1）证明：数列 nb为等比数列；（2）求数列 na的前n项和.【答案】（1）见证明；（2）221141322nnn【解析】【分析】（1）利用等比数列的定义可以证明；（2）由（1）可求nb的通项公式，结合nnban可得na，结合通项公式公式特点选择分组求和法进行求和.【详解】证明：（1）nnban，111nnban.又1431nnaan，1143111nnnnnnannbanbanan44nnanan.又1111 12ba ，数列 nb是首项为 2，公比为 4 的等比数列.解：（2）由（1）求解知，124nnb，124nnnabnn，21122 1 412(1444)(123)1

20、42nnnnn nSaaan 221141322nnn.【点睛】本题主要考查等比数列的证明和数列求和，一般地，数列求和时要根据数列通项公式的特征来选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养.-14-19.2019 年，河北等 8 省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择 1 门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择 2门.为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.(1)若甲同学随机选择 3 门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率；(2)试根据茎叶图分析甲同学应物理和历史

21、中选择哪一门学科？并说明理由；(3)甲同学发现，其物理考试成绩y(分)与班级平均分x(分)具有线性相关关系，统计数据如下表所示，试求当班级平均分为 50 分时，其物理考试成绩.参考数据:72134840iix，72150767iiy，7141964iiix y，71()()314iiixxyy.参考公式：ybxa，1122211()()()nniiiiiinniiiixxyyx yn x ybxxxn x，ay b x(计算ab，时精确到0.01).【答案】（1）14；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】(1)列出基本事件的所有情况，然后再列出满足条件的所有情况，利用古典概率公式即可得到

22、答案.(2)计算平均值和方差，从而比较甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科；（3）先计算x和y，然后通过公式计算出线性回归方程，然后代入平均值 50 即可得到答案.【详解】(1)记物理、历史分别为12,A A，思想政治、地理、化学、生物分别为1234,B B B B，-15-由题意可知考生选择的情形有112,A B B，113,A B B，114,A B B，123,A B B，124,A B B，134,A B B，212,A B B，213,A B B，214,A B B，223,A B B，224,A B B，234,A B B，共 12 种 他选到物理、地理两门功课的满情形有11212

23、3124,A B BA B BA B B，共 3 种 甲同学选到物理、地理两门功课的概率为31124P (2)物理成绩的平均分为76828285879093857x物理 历史成绩的平均分为69768082949698857x历史 由茎叶图可知物理成绩的方差2s物理历史成绩的方差2s物理 故从平均分来看，选择物理历史学科均可以；从方差的稳定性来看，应选择物理学科；从最高分的情况来看，应选择历史学科(答对一点即可)(3)57+61+65+72+74+77+84707x，85y,71722217419647 70 853140.58348407 705407iiiiix yx ybxx 850.58

24、7044.04ayb x y关于x的回归方程为0.58+44.40yx 当50 x 时，0.5850+44.4073y,当班级平均分为 50 分时，其物理考试成绩为 73 分【点睛】本题主要考查古典概型，统计数的相关含义，线性回归方程的计算，意在考查学生的阅读理解能力，计算能力和分析能力，难度不大.20.如图，在多面体111ABCABC中，四边形11ABB A是正方形，1ACB是正三角形，1ACAB，11/BCBC，112BCBC.-16-（1）求证：1AB/平面11AC C；（2）求多面体111ABCABC的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）取的中点，证明四边形

25、11CDBC为平行四边形，可得11/CCB D，从而可得面，再证明面，利用面面平行的判定，可得平面1/ADB平面11AC C，从而可得1AB/平面11AC C；（2）先证明CD 平面11ADC A，于是多面体111ABCABC是由直三棱柱111ABDABC和四棱锥11CADC A组成的，即可得出结论 试题解析：证明：（1）取BC中点，连11,AD B D C D，11/BCBC，112BCBC 四边形11BDC B，11CDBC是平行四边形，1C D/1B B，11/CCB D，在正方形11ABB A中，11/BBAA，1C D/1AA，四边形11ADC A为平行四边，11/ADAC，1B D

26、ADD，平面1/ADB平面11AC C，又1AB 平面1ADB，1AB/平面11AC C -17-（2）在正方形1ABB A中，12AB，又1ABC是等边三角形，所以12ACBC,所以22211ACAAAC，222ABACBC，于是1AAAC，ACAB，又1AAAB，1AA 平面ABC，1AACD，又CDAD，1ADAAA，CD 平面11ADC A，于是多面体111ABCABC是由直三棱柱111ABDABC和四棱锥11CADC A组成.又直三棱柱111ABDABC的体积为111(1 1)1224 ，四棱锥11CADC A的体积为122113226，故多面体111ABCABC的体积为115461

27、2.考点：（1）直线与平面平行的判定；（2）几何体的体积.21.已知函数 ln21xf xaxbx（,a b为常数）（）若函数 fx在1x 处的切线方程为240 xy，求,a b；（）当,0,ab xe时，1f xx，求实数a的取值范围【答案】()1,1ab；（）122ae.【解析】试题分析：()运用导数的几何意义建立方程求解；（）借助题设条件,运用导数的知识与分类整合的数学思想求解.-18-试题解析:（）21 ln0 xfxa xx，112fa，得1a，由已知得切点1,2，所以 1212fab ，得1b，所以1,1ab（）当,0,ab xe时，110f xxfxx，令 21ln211g xx

28、f xxaxax，22211211,0,axaxaxxgxxexx，（1）当0a 时，1xgxx，所以 g x在0,1上为增函数，在1,e上为减函数，所以函数 g x在0,e上的最大值为 120g ，（2）当0a 时，令 0g x，得12xa或1x 当102a，即0a 时，函数 g x在0,1上为增函数，在1,e上为减函数，所以函数 g x在0,e上的最大值为 1211gaa，由 10g，得20a；当1012a，即12a 时，函数 g x在10,1,2ea上为增函数，在1,12a上为减函数，所以函数 g x在0,e上的最大值为 1max,2gg ea，因为2111111ln211ln20222

29、224gaaaaaaaa 成立，由 212110g eaeae ，得12ae；所以1122ae；-19-当112a，即12a 时，函数 g x在0,e上为增函数，所以函数 g x在0,e上的最大值为 402e eg e成立；当112ea，即1122ae时，g x在10,1,2ea上为增函数，在11,2a上为减函数，所以函数 g x在0,e上的最大值为 max1,gg e，因为 121120gaaa 成立，由 212110g eaeae ，得12ae，而1122ae，所以1122ae；当12ea，即102ae时，函数 g x在0,1上为增函数，在1,e上为减函数，所以 g x在0,e上的最大值为

30、 1g，因为 121120gaaa 成立，所以102ae；综上所述，实数a的取值范围为122ae 考点：导数的知识与分类整合思想的运用【易错点晴】本题考查的是导数在研究函数的单调性和最值方面的运用的问题,这类问题的设置重在考查导数的工具作用.解答这类问题是,一要依据导数的几何意义,导函数在切点处的导函数值就切线的斜率;再一个就是切点既在切线上也在曲线上,这两点是解决曲线的切线这类问题所必须掌握的基本思路.本题的第二问设置的是不等式恒成立的前提下求参数的取值范围问题,求解时先将不等式进行转化,再构造函数,然后通过运用导数对函数最值的分类研究,最后求出参数a的取值范围.（二）选考题：共 10 分。

31、请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.（选修 4-4：坐标系与参数方程）22.已知直线l的参数方程为1 324xtyt （t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，-20-建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2 2cos4（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于,A B两点，求AB【答案】（1）4320 xy，22:220C xyxy；（2）2【解析】【分析】（1）消去参数即可确定普通方程，将极坐标方程两边乘以整理计算即可确定直角坐标方程；（2）联立直线参数方程的标准形式和圆的方程，结合参数的几何意义即可求得弦长【详解】（

32、1）直线1 3:24xtlyt （t为参数），消去t得：42(1)3yx 即：4320 xy 曲线:2 2cos4C，即2cos2sinrqq 又22,cos,sinxyxy，22cos2sin 故曲线22:220C xyxy（2）直线l的参数方程为1 324xtyt （t为参数）直线l的参数方程为315425xtyt （t为参数）代入曲线22:220C xyxy，消去,x y得：2430tt 123,1tt 由参数t的几何意义知，12|3 12ABtt 【点睛】本题考查直线的参数方程，圆的极坐标方程与普通方程的互化等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题 -21-（选修 4-5

33、：不等式选讲）23.已知函数()|1|f xxxa（1）当2a 时，求不等式()5f x 的解集；（2）若()2f x 的解集为 R，求a的取值范围【答案】（1）-2,3（）；（2）13aa 或【解析】【分析】（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；（2）由绝对值三角不等式可得min()1f xa，从而得12a 或12a，进而可得解.【详解】（1）当2a 时，原不等式可化为1-1221 2535215xxxxx 或或 解得2,3x 所以不等式的解集为2,3 （2）由题意可得min()2f x,1(1)()1xxaxxaa 当(1)()0 xxa时取等号.min()1f xa 12a 或12a，即1a 或3a 【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解及绝对值三角不等式求最值，属于基础题.