陕西省汉中市2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)42446.pdf

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1、 1 20182019 学年度第二学期期末校际联考 高二数学（理科）试题 第卷（选择题 共 60 分）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合A x|x2 2x 3 0，B x|2x 0则AB（）A.3，2）B.（2，3 C.1，2）D.（1，2）【答案】C【解析】【分析】求得集合|13,|2AxxBx x，根据集合的交集运算，即可求解【详解】由题意，集合2|230|13AxxxxxBx，所以|12 1,2)ABxx 故选：C 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合,A B，再根据集合的运算求

2、解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题 2.复数21zi在复平面内对应的点在（）A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第二象限 【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法法则将复数z表示为一般形式，即可得出复数z在复平面内对应的点的位置。2【详解】221122ziiii Q，对应的点的坐标为0,2，所对应的点在虚轴上，故选：B。【点睛】本题考查复数对应的点，考查复数的乘法法则，关于复数问题，一般要利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行解答，考查计算能力，属于基础题。3.已知1,1A ，1,3B，,5C x，若ABBC,则x（）A.2 B.3 C.2 D.5【答案】A【解

3、析】【分析】先求出,AB BC的坐标，再利用共线向量的坐标关系式可求x的值.【详解】2,4,1,2ABBCx，因ABBC，故412 2x，故2x.故选A.【点睛】如果1122,ax ybxy，那么：（1）若/ab，则1 22 1xyx y；（2）若ab，则12120 x xy y；4.若角是第四象限角，满足1sincos5，则sin 2（）A.2425 B.2425 C.1225 D.1225【答案】B【解析】【分析】由题意利用任意角同角三角函数的基本关系，求得sin2的值【详解】解：角满足1sincos5，平方可得 1+sin2125，sin22425，故选：B 【点睛】本题主要考查同角三角

4、函数的基本关系，属于基础题 3 5.设实数0,0abc，则下列不等式一定正确的是()A.01ab B.abcc C.0acbc D.ln0ab【答案】D【解析】【分析】对 4 个选项分别进行判断，即可得出结论【详解】解：由于ab 0，1ab，A错；当 0c 1 时，cacb；当c 1 时，cacb；当c 1 时，cacb，故cacb不一定正确，B错；ab 0，c 0，故acbc 0，C错 lnln10ab，D对；故选：D 【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 6.已知两个不同的平面，和两条不同的直线a，b满足,ab，则“ab”是“”的（）A.充分不必要条件 B.

5、必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】分别判断充分性和必要性得到答案.【详解】如图所示：4 既不充分也不必要条件.故答案选D【点睛】本题考查了充分必要条件，举出反例可以简化运算.7.函数()sin()(0)3f xx的最小正周期为2，则该函数的图象（）A.关于直线12x对称 B.关于直线24x对称 C.关于点012，对称 D.关于点024，对称【答案】B【解析】【分析】求出函数的解析式，然后判断对称中心或对称轴即可【详解】函数f（x）2sin（x3）（0）的最小正周期为2，可得 4，函数f（x）2sin（4x3）由 4x3k+2，可得x424k，k Z

6、 当k 0 时，函数的对称轴为：x24 故选：B 【点睛】本题考查三角函数的性质的应用，周期的求法，考查计算能力，是基础题 5 8.西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90 位，阅读过红楼梦的学生共有80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8【答案】C【解析】【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.【详解】由题意得，阅读过西游记的

7、学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70100=0.7故选C 【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养采取去重法，利用转化与化归思想解题 9.已知定义在R上的函数 f x满足 fxf x，且函数 f x在,0上是减函数，若 1af，142logbf，0.32cf，则a，b，c的大小关系为（）A.cba B.acb C.bca D.abc【答案】B【解析】【分析】利用函数奇偶性和单调性可得，距离y 轴近的点，对应的函数值较小，可得选项.【详解】因为函数 f x满足 fxf x，且函数 f x在,0上是减函数，所以可知距离y 轴近的点，对应的函数值较小；2

8、221loglog 224，0.30221且0.31222，所以bca，故选B.【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养.6 10.甲、乙两位同学将高三6 次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100 分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90 分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（）A.25 B.12 C.35 D.45【答案】C【解析】【分析】首先求得甲的平均数，然后结合题意确定污损的数字可能的取值，最后利用古典概型计算公式求解其概率值即可.【详解】由题意可得：x 甲88878592939590

9、6，设被污损的数字为x，则：x 乙8586868890998966xx，满足题意时，xx甲乙，即：908966xx，即 x 可能的取值为0,1,2,3,4,5x,结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值：63105p.故选：C.【点睛】本题主要考查茎叶图的识别与阅读，平均数的计算方法，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.若双曲线2222:10,0 xyCabab的一条渐近线被圆2222xy所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（）A.3 B.2 C.5 D.2 5 7【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合点到直线距离公式整理计算可得双

10、曲线的离心率.【详解】设圆心到直线的距离为d，由弦长公式可得：22 22d，解得：1d，双曲线的渐近线方程为：0bxay，圆心坐标为0,2，故：22021aab，即：21ac，双曲线的离心率2cea.故选：B.【点睛】本题主要考查圆的弦长公式，点到直线距离公式，双曲线离心率的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知定义在R上的奇函数 f x满足2f xfx，当01x时，2f xx，则 1232019ffff（）A.2019 B.1 C.0 D.-1【答案】C【解析】【分析】根据题意推导出函数 yf x的对称性和周期性，可得出该函数的周期为4，于是得出 12320195041

11、2341fffffffff 23ff可得出答案。【详解】函数 yf x是R上的奇函数，则 2f xfxf x，42f xf xf xf x ，所以，函数 yf x的周期为4，且 2111f，200ff，33 4111ffff ，400ff，12341 0 1 00ffff ，8 2019504 43 Q，1232019ffff 5041234123fffffff 504 0 1 0 10 ，故选：C。【点睛】本题考查抽象函数求值问题，求值要结合题中的基本性质和相应的等式进行推导出其他性质，对于自变量较大的函数值的求解，需要利用函数的周期性进行求解，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题。第卷（

12、非选择题 共 90 分）二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）13.抛物线24yx上的点04,My到其焦点F的距离为_.【答案】5【解析】【分析】先计算抛物线的准线，再计算点到准线的距离.【详解】抛物线24yx，准线为：1x 点04,My到其焦点F的距离为点04,My到准线的距离为5 故答案为5【点睛】本题考查了抛物线的性质，意在考查学生对于抛物线的理解.14.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3B，3b，1a，则c _.【答案】2【解析】【分析】直接利用余弦定理得到答案.【详解】3B，3b，1a 22222cos312,1bacacBcccc （舍去）9

13、故答案：2【点睛】本题考查了余弦定理，意在考查学生的计算能力.15.若函数 222,2log,2xxfxxax的最小值为 2f，则实数a的取值范围为_.【答案】0,【解析】【分析】分析函数 yf x的单调性，由题设条件得出 2log22af，于此求出实数a的取值范围。【详 解】当2x 时，2222xxf x，此 时，函 数 yf x单 调 递 减，则 21f xf；当2x 时，2logaf xx，此时，函数 yf x单调递增。由于函数 yf x的最小值为 2f，则 2log221af，得22a，解得0a.因此，实数a的取值范围是0,，故答案为：0,。【点睛】本题考查分段函数的最值问题，求解时要

14、分析函数的单调性，还要注意分界点处函数值的大小关系，找出一些关键的点进行分析，考查分析问题，属于中等题。16.一个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为_【答案】21【解析】【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为12,O O，则球心O为线段12OO的中点，利用勾股定理求出球O的半径2R，由此能求出球O的表面积【详解】一个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O的球面上，10 设此直三棱柱两底面的中心分别为12,O O，则球心O为线段12OO的中点，设球O的半径为R，则2223232132324R 球O的表面积2S4 R21.故答案为：21 【点睛】本题考查球

15、的表面积的求法，空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、属于中档题 三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60 分.17.如图，在棱长为2 的正方体1111ABCDABC D中，点E是棱1DD的中点，点F在棱1B B上，且满足12B FFB.（）求证：111ACD D；（）求平面AEF与平面11AA D D所成锐二面角的余弦值.11【答案】（）详见解析；（）27.【解析】【分析】（）由正方体的性质得出1DD 平面1111DCBA，再由直线与平面垂直的性

16、质可证明出 111ACDD；（）以D为原点，DA，DC，1DD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，计算出平面AEF和平面11AA D D的法向量，利用向量法求出这两个平面所成锐二面角的余弦值。【详解】（）在正方体1111ABCDABC D中，1D D 平面1111DCBA，11AC 平面1111DCBA，111ACD D；（）如图，以D为原点，DA，DC，1DD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则2,0,0A，0,0,1E，22,2,3F，2,2,0B，2,0,1AE ，20,2,3AF，0,2,0AB，设,nx y z为平面AEF的一个法向量，则00n AEn AF，即202203xz

17、yz，令6z，可得3,2,6n，AB 平面11AA D D，0,2,0AB 为平面11AA D D的一个法向量，42cos,72 9436AB nAB nAB n uuu r ruuu r ruuu r r，平面AEF与平面11AA D D所成锐二面角的余弦值为27.12 【点睛】本题考查直线与直线垂直的证明，考查利用空间向量法计算二面角，解题的关键就是计算出两个平面的法向量，利用空间向量法来进行计算，考查计算能力与逻辑推理能力，属于中等题。18.已知数列 na满足11a，122nnnaa.（）证明：数列2nna 是等差数列；（）求数列 na的前n项和nS.【答案】（）详见解析；（）21222

18、nnSnn.【解析】【分析】（）利用定义 11222nnnnaa得证.（）由（）知212nnan，利用分组求和法的到前n项和nS.【详解】解：（）由122nnnaa，可得11222nnnnaa，即 11222nnnnaa，又11a，123a，数列2nna 是首项为3，公差为2 的等差数列.（）由（）知，232121nnann，212nnan，24823521nnSn 13 212 1 212422221 2nnnnnn.【点睛】本题考查了等差数列的证明，分组求和法求前n项和nS，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用.19.第 18 届国际篮联篮球世界杯将于2019 年 8 月 31 日至9

19、 月 15 日在中国北京、广州等八座城市举行.届时，甲、乙、丙、丁四名篮球世界杯志愿者将随机分到A、B、C三个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.（1）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（2）设随机变量为这四名志愿者中参加A岗位服务的人数，求的分布列及数学期望E.【答案】(1)56(2)见解析【解析】【分析】（1）先记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件M，根据题意求出 P M，再由 1P MP M，即可得出结果；(2)根据题意，先确定可能取得的值，分别求出对应概率，即可得出分布列，从而可计算出期望.【详解】解：（1）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件M，那么 223223431

20、6C AP MC A.所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 151166P MP M .（2）由题意，知随机变量可能取得的值为1，2.则22422343123C APC A.所以12112133PP .14 所以所求的分布列是 1 2 P 23 13 所以21412333E .【点睛】本题主要考查古典概型以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记概念以及概率计算公式即可，属于常考题型.20.已知函数 224lnfxxaxx，aR.（）当0a 时，求函数 f x的单调区间；（）当1a 时，若函数 2g xf xx在1,x上有两个不同的零点，求a的取值范围.【答案】（）单调递减区间为120,e，单

21、调递增区间为12e,；（）,e.【解析】【分析】（）将0a 代入函数 yfx的解析式，求出该函数的定义域与导数，解不等式 0fx和 0fx并与定义域取交集可分别得出该函数的单调递减区间和递增区间；（）求出函数 yg x的导数，分析函数 yg x在区间1,上的单调性，由题中条件得出 min0g xg a，于此可解出实数a的取值范围。【详解】（）函数 f x的定义域为0,，当0a 时，22lnf xxx，4 ln222ln1fxxxxxx，令 0fx，即2ln10 x+，解得12xe，令 0fx，即2ln10 x+，解得120 xe，15 函数 f x的单调递减区间为120,e，单调递增区间为12

22、e,；（）2224lnxagxxxx，ln242l444n1xgxxaxaxxax，由1,x得，ln10 x，当1,xa时，0gx，当,xa时，0gx，函数 g x在1,a上单调递减，在,a 上单调递增，110g，2240gaa，函数 g x在1,x上有两个不同的零点，只需 2min1 2ln0g xg aaa，解得ae，a的取值范围为,e.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，利用导数研究函数的零点个数问题，解题时常用导数研究函数的单调性、极值与最值，将零点个数转化为函数极值与最值的符号问题，若函数中含有单参数问题，可利用参变量分离思想求解，考查化归与转化思想，属于中等题。21.已知椭圆

23、E：222210 xyabab的上顶点为P，右顶点为Q，直线PQ与圆2245xy相切于点2 4,5 5M.（）求椭圆E的标准方程；（）设椭圆E的左、右焦点分别为1F、2F，过1F且斜率存在的直线l与椭圆E相交于A，B两点，且222AFBFAB，求直线l的方程.【答案】（）2214xy；（）530 xy或530 xy.【解析】【分析】（）根据题中条件得知PQOM可求出直线PQ的斜率，结合点M在直线PQ上，利 16 用点斜式可写出直线PQ的方程，于是可得出点P、Q的坐标，进而求出椭圆E的标准方程；（）可知直线l的斜率不为零，由椭圆定义得出43aAB，设该直线方程为3yk x，将直线l的方程与椭圆E

24、的方程联立，并列出韦达定理，利用弦长公式以及43aAB，并结合韦达定理可求出k的值，于此可得出直线l的方程。【详解】（）直线PQ与圆2245xy相切于点2 4,5 5M，45225OMk，直线PQ的方程为412525yx，0,1P，2,0Q，即2a，1b，椭圆E的标准方程为2214xy；（）易知直线l的斜率不为零，设直线l的方程为3yk x，代入椭圆E的方程2214xy中，得：22221 48 31240kxk xk，由椭圆定义知224AFBFABa，又222AFBFAB，从而4833ABa，设11,A x y，22,B x y，则21228 314kxxk，212212414kx xk.22

25、2121212114ABkxxkxxx x83，代入并整理得2212143kk，15k .故直线l的方程为530 xy或530 xy.【点睛】本题考查椭圆方程的求解、直线与圆的位置关系，考查直线与椭圆中弦长的计算，解决这类问题的常规方法就是将直线与圆锥曲线方程联立，结合韦达定理与弦长公式计算，17 难点在于计算，属于中等题。（二）选考题：共10 分.考生从22、23 题中任选题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线l经过坐标原点O，曲线1C的参数方程为22cos2sinxy（为参数）.以点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程

26、为4sin.（1）求l与1C的极坐标方程；（2）设l与1C的交点为O、A，l与2C的交点为O、B，且4 2AB，求值.【答案】（1）l的极坐标方程为()R.1C的极坐标方程为4cos.（2）34【解析】【分析】（1）倾斜角为的直线l经过坐标原点O，可以直接写出R；利用22sincos1，把曲线1C的参数方程化为普通方程，然后再利用 222sin,cos,yxxy，把普通方程化成极坐标方程；（2）设1,A，2,B，则14cos，24sin，已知4 2AB，所以有 124 2，运用二角差的正弦公式，可以得到sin14，根据倾斜角的范围，可以求出值.【详解】解：（1）因为l经过坐标原点，倾斜角为，故

27、l的极坐标方程为R.1C的普通方程为2224xy，可得1C的极坐标方程为4cos.（2）设1,A，2,B，则14cos，24sin.所以124 cossinAB 4 2 sin4.18 由题设sin14，因为0，所以34.【点睛】本题考查了已知曲线的参数方程化成极坐标方程.重点考查了极坐标下求两点的距离.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数 1f xxxa.（）当1a 时，求不等式 2f xx的解集；（）当不等式 1fx 的解集为R时，求实数a的取值范围.【答案】()(,1)()0a 或2a 【解析】【分析】()根据x的范围得到分段函数 f x的解析式，从而分别在三段区间上求解不等式，取并集得到所求解集；()由绝对值三角不等式得到 f x的最小值，则最小值大于1，得到不等式，解不等式求得结果.【详解】()1a 时，2,12,112,1x xf xxx x 当1x 时，22xx，即0 x 1x 当11x 时，22x，即1x 11x 当1x 时，22xx，无解 综上，2f xx的解集为,1 ()11f xxxaa 当1a ，即1a 时,1ax 时等号成立；当1a ，即1a时,1xa 时等号成立 所以 f x的最小值为1a 即11a 19 0a或2a 【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型.