2020届北京市石景山区高三上学期期末考试数学试题5238.pdf

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1、页 1第 石景山区 2020 届高三第一学期期末 数 学 本试卷共 5 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡 第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1.已知集合02Axx，1,0,2,3B ，则AB A.0,1,2 B.0,2 C.1,3 D.1,0,1,2,3 2.复数21iz 的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.下列函数中既是奇函数，又在区间0 1（，）上

2、单调递减的是 A.3()f xx B.()lg|f xx C.()f xx D.()cosf xx 4.已知向量5,ma，2,2b，若abb，则实数m A.1 B.1 C.2 D.2 5.我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石 6.已知3log 4a，log 3b，5c，则a，b，c的大小关系是 A.abc B.acb C.bca D.bac 7.艺术体操比赛共有 7 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从

3、7 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 5 个有效评分5 个有效评分与 7 个原始评分相比，不变的数字特征是 A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分页 2第 体积与原正方体体积的比值为 A.81 B.71 C.61 D.51 9.在等差数列na中，设,k l p rN，则klpr 是klpraaaa的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要必要条件 D.既不充分也不必要条件 10.关于曲线:C224xxyy给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线C上任意

4、一点到原点的距离都不大于2 2；曲线C上任意一点到原点的距离都不小于2 其中，正确结论的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 11.在62()xx的二项展开式中，常数项等于_（用数字作答）12.已知双曲线标准方程为2213xy，则其焦点到渐近线的距离为 13.已知数列*()nannN为等比数列，11a，22a，则3a _.14.已知平面,给出下列三个论断：；以其中 的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_ 15.在ABC中，角,A B C所对的边分别是,a b c已知14bca，

5、2sin3sinBC，则cos A的值为_ 主（正）视图 左（侧）视图 俯视图 页 3第 16.已知向量1e，2e是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意 一点P，当12OPxeye时，则称有序实数对(,)x y为点P的广义坐标，若点A、B的广义坐标分别为11(,)x y、22(,)xy，对于下列命题：线段AB的中点的广义坐标为1212(,)22xxyy；向量OA平行于向量OB的充要条件是1221x yx y；向量OA垂直于向量OB的充要条件是12120 x xy y.其中，真命题是 .（请写出所有真命题的序号）页 4第 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或

6、证明过程 17.（本小题 13 分）已知函数1()cos(sincos)2f xxxx.（）若20，且53sin，求()f的值；（）求函数()f x的最小正周期，及函数()f x的单调递减区间.18.（本小题 13 分）一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6 点”获得 15 分，出现三次“6 点”获得 120 分，没有出现“6 点”则扣除 12 分(即获得12 分)（）设每盘游戏中出现“6 点”的次数为X，求X的分布列；（）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得 15 分的概率；（）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了请运用概

7、率统计的相关知识分析解释上述现象 19.（本小题 14 分）已知在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD是正三角形，CD平面PAD，OGFE、分别是ADBCPDPC、的中点（）求证：PO平面ABCD；（）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（）线段PA上是否存在点M，使得直线GM 与平面EFG所成角为6，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由 20.（本小题 14 分）已知函数()exf xax.（aR）（）求函数()f x的单调区间；OEFGPCDBA页 5第（）若3a，()f x的图象与y轴交于点A，求()yf x在点A处的切线方程；（）在（）的条件下

8、，证明：当0 x 时，2()31f xxx恒成立 21.（本小题 13 分）已知椭圆222:12xyCa过点(2,1)P（）求椭圆C的方程，并求其离心率；（）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），直线PA关于l的对称直线PB与椭圆交于另一点B设O为坐标原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由 22.（本小题 13 分）已知由*()n nN个正整数构成的集合1212,(,3)nnAa aaaaa n，记12AnSaaa，对于任意不大于AS的正整数m，均存在集合A的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m.（）求21,aa的值；（）求证：“naaa

9、,21成等差数列”的充要条件是“2)1(nnSA”；（）若2020AS，求n的最小值，并指出n取最小值时na的最大值.页 6第 石景山区 2020 届第一学期高三期末 数学试卷答案及评分参考 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C B B D A C D C 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分 11160；121；13 5；14 或；15.14；16.三、解答题：本大题共 6 个小题，共 80 分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题 13 分）解：（）因为

10、20，且53sin，所以 24cos1 sin5.2 分 所以 4 34128131=5 55225250f.5 分（）21cossincos21cossincos2xxxxxxxf 8 分 所以函数 xf的最小正周期22T.9 分 由32 22+242kxk,kZ，解得5+88kxk,kZ.11 分 所以函数 xf的单调递减区间5+88k,k,kZ.13 分 18.（本小题 13 分）解：（）X可能的取值为0，1，2，3.1 分 每次抛掷骰子，出现“6 点”的概率为16p.0331125(0)(1)6216P XC，1231175(1)(1)66216P XC，)42sin(22)2cos2

11、(sin212122cos12sin21xxxxx)42sin(22)2cos2(sin212122cos12sin21xxxxx页 7第 2231115(2)()(1)66216P XC，33311(3)()6216P XC，5 分 所以X的分布列为：6 分（）设“第i盘游戏获得 15 分”为事件Ai(i1，2)，则 12905()()(1)(2)21612P AP AP XP X.8 分 所以“两盘游戏中至少有一次获得 15 分”的概率为12951()()144P A P A 因此，玩两盘游戏至少有一次获得 15 分的概率为95144.10 分（）设每盘游戏得分为Y.由（）知，Y的分布列为

12、：Y 12 15 120 P 125216 512 1216 Y的数学期望为12551512151202161221636EY .12 分 这表明，获得分数Y的期望为负 因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大 13 分 X 0 1 2 3 P 125216 2572 572 1216 页 8第 19.（本小题 14 分）（）证明:因为PAD是正三角形，O是AD的中点，所以 POAD.又因为CD平面PAD，PO平面PAD，所以POCD.DCDAD，CDAD，平面ABCD，所以PO面ABCD.4 分（）如图，以O点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则)32,

13、0,0(),0,4,0(),0,0,2(),0,4,2(),0,4,2(),0,0,2(),0,0,0(PGDCBAO，)3,0,1(),3,2,1(FE，)3,2,1(),0,2,0(EGEF，设平面EFG的法向量为),(zyxm ,032,02zyxy 令1z，则)10,3(，m，6 分 又平面ABCD的法向量)1,0,0(n，7 分 设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为，所以21|cosnmnm.所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为3.9 分（）假设线段PA上存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为6，设 1,0,PAPM，PAGPPMGPGM，所以)1(32,4,2(GM.

14、11 分 所以76423,cos|6sin2mGM，13 分 整理得02322，无解，所以，不存在这样的点M.14 分 20.（本小题 14 分）解：（）()xfxea，1 分 OzyxEFGPCDBA页 9第 当0a 时，()0fx恒成立，所以()f x在R上单调递增，3 分 当0a 时，令()0fx，解得lnxa.当x变化时，(),()fxf x的变化情况如下表：x(,ln)a ln a(ln,)a ()fx 0+()f x 减 极小值 增 所以0a 时，()f x在(,ln)a上单调递减，在(ln,)a 上单调递增.5 分（）令0 x，得1y，则0,1A，6 分 因为 e3xfx，所以

15、0132f ，7 分 所以在A点处的切线方程为12(0)yx ，即21yx.9 分（）证明：令 22()(3+1)=e1xg xf xxxx，则 e2xgxx.令 e2xh xx，则 e2xhx，当0ln2x时，0hx，h x单调递减，当ln2x 时，0hx，h x单调递增；11 分 所以 ln2ln2e2ln222ln20h xh，即 0gx恒成立.所以 g x在,上单调递增，所以 01010g xg ，13 分 所以2e10 xx，即当0 x 时，231fxxx恒成立 14 分 21.（本小题 13 分）解：（）由椭圆222:12xyCa过点(2,1)P，可得24112a，解得28a 2

16、分 所以222826cab，3 分 所以椭圆C的方程为22182xy，离心率6322 2e 5 分 页 10第 （）直线AB与直线OP平行 6 分 证明如下：由题意，设直线:1(2)PA yk x，:1(2)PB yk x ，设点A11,)x y（，B22,)xy（，由2218221xyykxk得 22241)8(12)161640kxkk xkk（，8 分 所以128(21)2+41kkxk，所以21288241kkxk，同理2228+8241kkxk，所以1221641kxxk，10 分 由1121ykxk，2221ykxk，有121228()441kyyk xxkk，因为A在第四象限，所

17、以0k，且A不在直线OP上，所以121212AByykxx，又12OPk，故ABOPkk，所以直线AB与直线OP平行 13 分 22.（本题 13 分）解:（）由条件知AS1，必有A1，又naaa21均为整数，11a.2 分 AS2，由AS的定义及naaa21均为整数，必有A2，22a.4 分（）必要性：由“naaa,21成等差数列”及11a,22a 得),2,1(niiai此时,3,2,1nA满足题目要求 从而)1(21321nnnSA.6 分 充分性：由条件知,21naaa且均为正整数，可得),3,2,1(niiai 故)1(21321nnnSA，当且仅当),3,2,1(niiai时，上式

18、等号成立.于是当)1(21nnSA时，),3,2,1(niiai，从而naaa,21成等差数列.页 11第 所以“naaa,21成等差数列”的充要条件是“)1(21nnSA”.8 分（）由于含有n个元素的非空子集个数有12 n，故当10n时，10231210，此时A的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m，不符合要求.而用11个元素的集合1024,512,256,128,64,32,16,8,4,2,1A的非空子集的元素之和可以表示2047,2046,3,2,1共2047个正整数.因此当2020AS时，n的最小值为 11.10 分 当2020AS时，n的最小值为 11.记102110aaaS 则20201110aS并且11101aS.事实上若11101aS，11111022020aaS，则101011a，10101110 aS，所以1010m时无法用集合A的非空子集的元素之和表示，与题意不符.于是122020111110aaS，得2202111a，*11Na，所以101011a.当101011a时1010,499,256,128,64,32,16,8,4,2,1A满足题意 所以当2020AS时，n的最小值为 11，此时na的最大值1010.13 分【若有不同解法，请酌情给分】