河南省2020年中考数学压轴题全揭秘专题13击破类比、探究类综合题利器之相似知识(含解析)42535.pdf

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1、专题 13 击破类比、探究类综合题利器之相似知识 模型一、A字形（手拉手）及其旋转 模型二、K字型及其旋转 【例 1】（2019洛阳二模）如图 1，在 RtABC 中，ABC=90，AB=BC=4，点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，连接 DE，将ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转，记旋转角为，BD，EC 所在直线相交所成的锐角为 （1）问题发现 当=0时，CEBD=，=（2）拓展探究 试判断：当 0360时，CEBD和的大小有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明（3）在ADE 旋转过程中，当 DEAC 时，直接写出此时CBE 的面积 图 1 图 2 ABCDECABDECDAEBDCE

2、BACDAEB【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知，AC=42，CE=AE=22，BD=AD=2，CEBD=2，=A=45，（2）无变化，理由如下：延长CE交BD于F，ABC、ADE是等腰直角三角形，2ACAEABAD，DAE=BAC=45，DAB=CAE，ABDACE，2CEACBDAB,ABD=ACE，CFB=45，即=CFB=45.(3)如图所示，S=12BCBE=124（4-22）=8-42；如下图所示，ABCDE S=12BCBE=124（4+22）=8+42；综上所述，在ADE旋转过程中，DEAC时，此时CBE的面积为 842或 8+42.【变式 1-1】（2019洛阳三模）

3、如图 1，在 RtABC 中，C=90，AC=8，AB=10，D，E 两点分别是 AC，CB 上的点，且 CD=6，DEAB，将CDE 绕点 C 顺时针旋转一周，记旋转角为 （1）问题发现 当=0时，ADEB=；当=90时，ADEB=（2）拓展探究 请你猜想当CDE 在旋转的过程中，ADEB是否发生变化？根据图 2 证明你的猜想（3）问题解决 在将CDE 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，当 AD=213时，BE=，此时=图 1 图 2 ABCDE【答案】（1）43，43；（2）见解析；（3）3 132；60 或 300.【解析】解：（1）AB=10，AC=8，由勾股定理得：BC=6，DEAB

4、，CDCEACBC,即686CE，CE=92，BE=32，ADEB=43；由勾股定理得：AD=10，BE=152，ADEB=43；（2）不变化，理由如下：由题意知：DCEACB，CDCEACBC，由旋转性质得：ACD=BCE，ACDBCE，ADACBEBC,即8463ADBE.（3）由(2)知43ADBE，AD=213，BE=3 132,如图，过D作DFAC于F，设AF=x，则CF=8x，由勾股定理得：（213）2x2=62（8x）2，解得：x=5，即AF=5，CF=3，由CD=6，得FDC=30，DCF=60，即=60；同理可得，当=300时，AD=213，答案为：3 132；60或 300

5、.【例 2】（2019南阳毕业测试）如图，在RtABC中，ACB90，BCmACn，CDAB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FDED，交直线BC于点F（1）探究发现：如图 1，若mn，点E在线段AC上，则DEDF ；（2）数学思考：如图 2，若点E在线段AC上，则DEDF （用含m，n的代数式表示）；当点E在直线AC上运动时，中的结论是否仍然成立？请仅就图 3 的情形给出证明；图 1 图 2 图 3 备用图【答案】（1）1；（2）mn；见解析【解析】解：（1）当mn时，即：BCAC，ACB90，A+ABC90，CDAB，DCB+ABC90，ADCB，FDEADC90，FDEC

6、DEADCCDE，即ADECDF，ADECDF，DEDF=ADCD，ADCB，ADCBDC90，ADCCDB，ADCD=ACBC=1，即DEDF=1，（2）由（1）中方法可证得：ADECDF，ADCCDB，DEDF=ADCD=ACBC=nm，即DEDF=nm，成立 ACB90，A+ABC90，又CDAB，DCB+ABC90，ADCB，FDEADC90，FDE+CDEADC+CDE，即ADECDF，ADECDF，DEDF=ADCD，ADCB，ADCBDC90，ADCCDB，ADCD=ACBC=nm，DEDF=nm【变式 2-1】（2019开封二模）如图 1，在矩形ABCD中，AB6，BC8，点E

7、是边CD上的点，且CE4，过点E作CD的垂线，并在垂线上截取EF3，连接CF将CEF绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a（1）问题发现 当a0时，AF ，BE ，AEBE ；（2）拓展探究 试判断：当 0a360时，AEBE的大小有无变化？请仅就图 2 的情况给出证明（3）问题解决 当CEF旋转至A，E，F三点共线时，直接写出线段BE的长 图 1 图 2 备用图【答案】（1）5 5，4 5，54；（2）（3）见解析；【解析】解：（1）当a0时，过点F作FGAD于G，四边形ABCD是矩形，ADCBCE90，ADBC8，ABCD6，由GEDGDEF90，知四边形DEFG是矩形，DGEF3，AG11

8、，CE4，CD6，FGDE2，RtAGF中，由勾股定理得：AF5 5，同理，BE4 5，AEBE=54.（2）AEBE的大小无变化，理由如下：连接AC，AB6，BC8，EF3，CE4，12EFAB，12CEBC，EFAB=CEBC，CEFABC90，CEFCBA，CFCEACBC，ECFACB，54CFACCEBC，ACFBCE，ACFBCE，54AECFBECE，即AEBE的大小无变化；（3）当CEF旋转至A，E，F三点共线时，存在两种情况：E在A、F之间，如图，连接AC，RtABC中，由勾股定理得：AC10，同理得：CF5，由（2）知：54AECFBECE，RtAEC中，由勾股定理得：AE

9、221，AFAE+EF221+3，BE45AF45（221+3）8 21125；点F在A、E之间时，如图所示，连接AC，同理得：AFAEEF2213，BE45AF45（221-3）8 21125；综上所述，BE的值为8 21125或8 21125 1.（2018河师大附中模拟）如图，在RtABC中，BAC=90，=1ABAC.点P是边BC上一个动点（不与B重合），PAD=90，APD=B，连接CD.填空：PBCD=;ACD的度数为 .（2）拓展探究 如图，在RtABC中，BAC=90，=ABkAC.点P是边BC上一个动点（不与B重合），PAD=90，APD=B，连接CD.请判断ACD与B的数量

10、关系以及PB与CD之间的数量关系，并说明理由.（3）解决问题 如图，在ABC中，B=45，AB=42，BC=12，P是边BC上一动点（不与B重合），PAD=BAC，APD=B，连接CD.请直接写出所有CD的长.【答案】见解析.【解析】解：（1）AB=AC，BAC=90，PAD=90，BAP=CAD，B=45，APD=B，APD=ADP=45，AP=AD，ABPACD，BP=CD，ACD=B=45，即PBCD=1，ACD=45，故答案为：1，45.（2）ACD=B，PBCD=k，理由如下：BAC=90，PAD=90，APD=B，ABCAPD，=ABAPACAD=k，由BAP+PAC=PAC+CA

11、D=90，得：BAP=CAD，ABPCAD，ACD=B，=PBABCDAC=k.（3）过A作AHBC于H，如图所示，B=45，BAH是等腰直角三角形，AB=42，AH=BH=4，BC=12，CH=8，在RtACH中，由勾股定理得：AC=45，在RtAPH中，由勾股定理得：PH=3，BP=1，PAD=BAC，APD=B，ABCAPD，=ABAPACAD，由BAP+PAC=PAC+CAD，得：BAP=CAD，ABPCAD，=PBABCDAC，即14 2=4 5CD 解得：CD=102，如图所示，过A作AHBC于H，同理可得：ABPCAD，=PBABCDAC，即74 2=4 5CD 解得：CD=7

12、102，综上所述，CD的值为：102，7 102.2.（2018河南第一次大联考）如图 1，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，NC与AB的位置关系为_；（2）深入探究：如图 2，在等腰三角形ABC中，BA=BC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN，使ABC=AMN，AM=MN，连接CN，试探究ABC与ACN的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图 3，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN，若BC=10，CN=2，试

13、求EF的长 【答案】见解析.【解析】解：（1）NCAB；（2）ABC=ACN，理由如下：AB=BC，AM=MN，即AB:BC=AM:MN=1，又ABC=ACN，ABCAMN，ABACAMAN,BAC=12（180ABC），AM=MN，MAN=12（180AMN），由ABC=AMN，得BAC=MAN，BAM=CAN，又ABACAMAN,ABMACN，ABC=ACN，(3)连接AB，AN，四边形ADBC，AMEF为正方形，ABC=BAC=45，MAN=45，BAM=CAN，由ABAMBCAN=2,ABBCACAMANAN,ABMACN，BMABCNAC,222BM，BM=2，CM=BCBM=102

14、=8，在RtAMC中，由勾股定理得：AM=222 41ACMC,EF=AM=2 41.3.（2017新野一模）如图，在ABC中，ACB=90，BC=2，A=30，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连接EF（1）说明线段BE与AF的位置关系和数量关系；（2）如图，当CEF绕点C顺时针旋转（090）时，连接AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图，当CEF绕点C顺时针旋转（0180）时，延长FC交AB于点D，如果AD=623，求旋转角的度数 【答案】见解析【解析】（1）解：BEAF，AF=3BE；理由如下：在ABC中，ABC=90，BC=2，A

15、=30，AC=3BC=23，点E，F分别是线段BC，AC的中点，BEAF，BE=CE，AF=CF，AEACBEBC=3，AF=3BE；（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：点E，F分别是线段BC，AC的中点，EC=12BC，FC=12AC，CECFBCAC=12，BCE=ACF，BECAFC，AEACBEBC=3，CBE=CAF，延长BE交AC于点O，交AF于点M，如图所示：BOC=AOM，CBE=CAF，BCO=AMO=90，即BEAF；（3）解：ACB=90，BC=2，A=30，AB=2BC=4，B=60，DB=ABAD=4（623）=232，过点D作DHBC于点H，如图所示：BH=

16、12DB=31，DH=32DB=33，又CH=BCBH=2（31）=33，CH=DH，HCD=45，DCA=45，=135 4.（2019安阳一模）（1）问题发现：如图 1，在等边ABC中，点D为BC边上一动点，DEAB交AC于点E，将AD绕点D顺时针旋转 60得到DF，连接CF则AE与FC的数量关系是_，ACF的度数为_（2）拓展探究：如图 2，在RtABC中，ABC=90，ACB=60，点D为BC边上一动点，DEAB交AC于点E，当ADF=ACF=90时，求AEFC的值（3）解决问题：如图 3，在ABC中，BC:AB=m，点D为BC的延长线上一点，过点D作DEAB交AC的延长线于点E，直接

17、写出当ADF=ACF=ABC时AEFC的值 图 1 图 2 图 3【答案】（1）AE=FC，60；（2）（3）见解析；【解析】解：（1）ABC是等边三角形，DEAB，DCE是等边三角形，CD=DE，CDE=60，由旋转性质知，AD=DF，ADF=60，ADE=CDF，ADEFDC，AE=FC，DCF=DEA=120，ACF=60；（2）DEAB，图1ABCDEF图2ABCDEF图3ABCDEFEDC=ABC=90，ADF=90，ADC=CDF，ACF=90，即AED=EDC+ACB，FCD=ACF+ACB，AED=FCD，DAEDFC，AEDECFCD,DEAB，EDCABC，DEABCDBC

18、,AEABCFBC=3.(3)与（2）证明可得：AEABCFBC=1m.5.（2019南阳模拟）（1）【问题发现】如图 1，ABC和CEF都是等腰直角三角形，BACEFC90，点E与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为 ；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将CEF绕点C旋转，连接BE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？仅就图 2 的情形给出证明；（3）【问题发现】当ABAC2，CEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长 图 1 图 2 备用图【答案】（1）BE2AF；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）BE2AF AFC是等腰直角三角形，AC2AF ABAC BEAB

19、2AF；（2）BE2AF，理由如下：在RtABC中，ABAC，ABCACB45，在RtEFC中，FECFCE45，EFC90，ABCFEC=45，sinABCsinFEC=22，即:ACCFBCCE FECACB45，FECACEACBACE 即：FCAECB ACFBCE，ACBEBCAF=22，BE2AF；（3）当E在B、F之间时，如图 2，由（1）知，CFEF2，在RtBCF中，CF2，BC22，根据勾股定理得，BF6，BEBFEF62，BE2AF，AF31；当F在B、E之间时，由（1）可证，ACFBCE，2BCBEACAF，BE2AF；由知：CF2，BC22，BF6，BEBF+EF6+

20、2，BE2AF，AF3+1 当B，E，F三点共线时，线段AF的长为31 或3+1 6.（2019商丘二模）如图，在ABC和ADE中，BACDAE90，点P为射线BD，CE的交点（1）问题提出：如图 1，若ADAE，ABAC ABD与ACE的数量关系为 ；BPC的度数为 （2）猜想论证：如图 2，若ADEABC30，则（1）中的结论是否成立？请说明理由（3）拓展延伸：在（1）的条件中，若AB2，AD1，若把ADE绕点A旋转，当EAC90时，直接写出PB的长 图 1 图 2 备用图【答案】（1）ABD=ACE，90；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）ABC和ADE是等腰直角三角形，BACDAE

21、90，ABAC，ADAE，DABCAEABCACB45 ADBAEC ABDACE，BPC180ABDABCBCP 18045（BCP+ACE）=1804545=90；（2）（1）中结论成立，理由：在RtABC中，ABC30，AB3AC，同理，AD3AE，ADAEABCE，BACDAE90，BADCAE，ADBAEC ABDACE；BPC180ABDABCBCP 1803060=90，（3）解：当点E在线段AB上时，BEABAE1 在RtAEC中，由勾股定理得：CE5，易证：ADBAEC DBAECA PEBAEC，PEBAEC PBBEACCE，125PB PB2 55；当点E在BA延长线上

22、时，BEAB+AE3 同理得：PBBEACCE，32PBCE PB6 55，综上所述，PB的长为2 55或6 55.7.（2019名校模考）问题发现：（1）如图 1，在RtABC中，A90，ABkAC（k1），D是AB上一点，DEBC，则BD，EC的数量关系为 类比探究：（2）如图 2，将AED绕着点A顺时针旋转，旋转角为a（0a90），连接CE，BD，请问（1）中BD，EC的数量关系还成立吗？说明理由.拓展延伸：（3）如图 3，在（2）的条件下，将AED绕点A继续旋转，旋转角为a（a90）直线BD，CE交于F点，若AC1，AB3，则当ACE15时，BFCF的值为 图 1 图 2 图 3【答案

23、】（1）BDkEC；（2）（3）见解析【解析】解：（1）DEBC，BDCEABAC，ADAEABAC,即BDADABCEAEAC,ABkAC，BDkEC；（2）成立，理由如下：连接BD 由旋转的性质可知，BADCAE ADABAEAC=tanADE，ABDACE，BDABCEACk，即：BDkEC；（3）BFCF的值为 2 或 1；由（2）知ABDACE ACEABD15 ABC+ACB90 FBC+FCB90 BFC90 由BAC90，AC1，AB3，得：ABC30，ACB60，BC2AC2，分两种情况讨论：如图，此时，CBF30+1545，BC2 BFCF BFCF2；如图 在BF上取点G

24、，使BCG15，则BCF75，CBFABCABD15，CFB90，GCF60 CGBG2CF，GF3CF，BF=(2+3)CF 由勾股定理知：CF2+BF2BC2 CF2+（2+3）CF 222，CF223，BFCF（2+3）CF21，即：BFCF2 或 1 8.（2019枫杨外国语三模）已知，在ABC 中，ACB=90，B=30，点 D 是直线 AB 上的动点，连接 CD，以 CD为边，在 CD 的左侧作等边CDE，连接 EB（1）问题发现：如图(1)，当CDAB 时，ED 和 EB 的数量关系是 .（2）规律论证：如图(2)当点D在线段 AB 上运动时，(1)中 ED，EB 的数量关系是否

25、仍然成立？若成立，请仅就图(2)加以证明；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由.（3）拓展应用：如图(3)当点 D 在直线 AB上运动时，若 AC=22，且BCE 恰好为等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的 AD 的长.图 1 图 2 图 3【答案】（1）ED=EB；（2）（3）见解析【解析】解：（1）CDE是等边三角形，CDE=60，CDAB，CDB=90，BDE=30，B=30，BDE=B，ED=EB；（2）成立；过点C作CFAB于F，过E作EHBC于H，则CFB=EHC=90，CBA=30，BCF=60，CED是等边三角形，DCE=60，CE=CD，ECH=DCF，CDFCEH，C

26、H=CF，在RtCBF中，由CBF=30，得：BC=2CF，BH=CH=CF，即H为BC中点，EH=EH，BHE=CHE=90，BEHCEH，BE=CE，CE=DE，BE=DE；（3）过点C作CHAB于H，如下图所示，由题意知：AC=22，AH=2，CH=6，BC=2CH=26，BE=CE=CD=22BC=23，在RtCDH中，由勾股定理得：DH=6，AD=DHAH=62；如图所示，ABCDEH 同理可得：DH=6，AH=2，AD=DH+AH=6+2；综上所述，符合条件的 AD 的长为62或6+2.9.（2017郑州一模）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长

27、交AB于点M，MNCM交射线AD于点N（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；（2）若2ABEFBCBF，求ANDN的值.【答案】见解析【解析】解：（1）当F为BE中点时，即BF=EF，四边形ABCD是矩形，AB=DC，ABDC，MBF=CEF，BMF=ECF，BMFECF，BM=EC E为CD的中点，EC=12DC=12AB，AM=BM=EC；（2）设MB=x，四边形ABCD是矩形，ABCHEDAD=BC，AB=DC，A=ABC=BCD=90，ABDC，2CEEFBMBF，EC=2x，AB=CD=2CE=4x，AM=ABMB=3x，由2ABBC，得BC=AD=2x，MNMC，CMN=90，

28、A=90，BMC=ANM，AMNBCM，ANAMBMCB,32ANxxx，AN=32x，ND=ADAN=12x，ANDN=3.10.(2019郑州名校二模)如图 1，在 RtABC中，A90，ABAC，点D，E分别在边AB，AC上，ADAE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点（1）观察猜想：图 1 中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把ADE绕点A逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接MN，BD，CE，判断PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD4，AB10，请直接写出PMN面积的最大值 图 1 图 2【答案】见

29、解析.【解析】解：（1）点P，N是BC，CD的中点，PNBD，PN12BD，同理：PMCE，PM12CE，ABAC，ADAE，BDCE，PMPN，PNBD，DPNADC，PMCE，DPMDCA，BAC90，ADC+ACD90，MPNDPM+DPNDCA+ADC90，PMPN，故答案为：PMPN，PMPN；（2）PMN是等腰直角三角形 由旋转性质知，BADCAE，ABAC，ADAE，ABDACE，ABDACE，BDCE，由（1）中知：PN12BD，PM12CE，PMCE，PNBD，PMPN，DPMDCE，PNCDBC，PMN是等腰三角形，DPNDCB+PNCDCB+DBC，MPNDPM+DPN DCE+DCB+DBC BCE+DBC ACB+ACE+DBC ACB+ABD+DBC ACB+ABC 90，PMN是等腰直角三角形；（3）由（2）知，PMN是等腰直角三角形，PMPN12BD，当PM最大时，即 BD 最大时，PMN面积最大，点D在BA的延长线上，BD 最大，最大值为：BDAB+AD14，即PM7，SPMN最大12PM2492