2020届北京市朝阳区高三上学期期末数学试题(解析版)4819.pdf

《2020届北京市朝阳区高三上学期期末数学试题(解析版)4819.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届北京市朝阳区高三上学期期末数学试题(解析版)4819.pdf（22页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第 1 页 共 22 页 2020 届北京市朝阳区高三上学期期末数学试题 一、单选题 1在复平面内，复数(2)ii对应的点的坐标为（）A(1,2)B(2,1)C(1,2)D(2,1)【答案】C【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【详解】解：复数i（2+i）2i1 对应的点的坐标为（1，2），故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2已知23a，0.5log2b，2log 3c，则（）Aabc Bacb Cbca Dcab【答案】D【解析】利用中间量隔开三个值即可.【详解】230,1a，0.5log20b,2 log 31c,cab，故选

2、：D【点睛】本题考查实数大小的比较，考查幂指对函数的性质，属于常考题型.3已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为2，则其渐近线方程为（）A2yx B3yx C22yx D32yx 【答案】B【解析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为ybax，再由双曲线离心率为 2，得到c2a，由定义知b223caa，代入即得此双曲线的渐近线方程【详解】第 2 页 共 22 页 解：双曲线C方程为：2222xyab1（a0，b0）双曲线的渐近线方程为ybax 又双曲线离心率为 2，c2a，可得b223caa 因此，双曲线的渐近线方程为y3x 故选：B【点睛】本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方

3、程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题 4在ABCV中，若3b，6c，4C=，则角B的大小为（）A6 B3 C23 D3或23【答案】D【解析】利用正弦定理即可得到结果.【详解】解：b3，c6，C4，由正弦定理bcsinBsinC，可得364sinBsin，可得：sinB32，cb，可得B3或23，故选：D【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题 5从3名教师和5名学生中，选出4人参加“我和我的祖国”快闪活动要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（）A20 B40 C60 D120【答案】C 第 3 页

4、 共 22 页【解析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组合公式计算即可.【详解】由题意可分成两类：（1）一名教师和三名学生，共133530C C；（2）两名教师和两名学生，共223530C C；故不同的选派方案的种数是303060.故选：C【点睛】本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可 6已知函数()xxf xee，则()f x（）A是奇函数，且在(0,)上单调递增 B是奇函数，且在(0,)上单调递减 C是偶函数，且在(0,)上单调递增 D是偶函数，且在(0,)上单调递减【答案】C【解析】根据函数的奇偶性的定义以及单调性的性质判断即可【详解】

5、函数 xxf xee的定义域为 R，xxxxfxeeeef x，即 fxf x，f x 是偶函数，当x0时，xxf xee,y?xe为增函数，yxe为减函数，f x 在0,上单调递增，故选：C【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题，考查推理能力，是一道中档题 7某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的体积为（）第 4 页 共 22 页 A23 B43 C2 D4【答案】A【解析】根据题意把三棱锥放入棱长为 2 的正方体中，得出三棱锥的形状，结合图形，求出该三棱锥的体积【详解】解：根据题意，把三棱锥放入棱长为 2 的正方体中，是如图所示的三棱锥PABC

6、，三棱锥PABC的体积为：11221 2333ABCS n，故选：A 【点睛】本题考查了利用三视图求空间几何体体积的应用问题，考查空间想象能力，是基础题 8设函数3()3()f xxxa aR，则“2a”是“()f x有且只有一个零点”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】()f x有且只有一个零点的充要条件为2a,或2a，从而作出判断.【详解】第 5 页 共 22 页 f（x）33xxa，f（x）3x233（x+1）（x1），令f（x）0，解得：x1 或x1，令f（x）0，解得：1x1，33f xxxa aR在1，1，上单调递增

7、，在1,1上单调递减，且 12?fa,12?fa ,若 f x有且只有一个零点，则2a,或2a“2a”是“()f x有且只有一个零点”的充分而不必要条件，故选：A【点睛】本题考查充分性与必要性，同时考查三次函数的零点问题，考查函数与方程思想，属于中档题.9已知正方形ABCD的边长为2，以B为圆心的圆与直线AC相切.若点P是圆B上的动点，则DB APuuu v uuu v的最大值是（）A2 2 B4 2 C4 D8【答案】D【解析】建立平面直角坐标系，圆B的方程为：222xy,444DB APsinuuu v uuu v，利用正弦型函数的性质得到最值.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则0,0B

8、，A 0,2，D 2,2，圆B的方程为：222xy,22Pcossin，22DB uuu v，222APcossinuuu v，2 22 24444DB APcossinsin uuu v uuu v 14sin 时，DB APuuu v uuu v的最大值是 8，故选：D 第 6 页 共 22 页 【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了，考查了正弦型函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题 10笛卡尔、牛顿都研究过方程(1)(2)(3)xxxxy，关于这个方程的曲线有下列说法：该曲线关于y轴对称；该曲线关于原点对称；该曲线不经过第三象限；该曲线上有且只有三个点的横、

9、纵坐标都是整数其中正确的是（）A B C D【答案】C【解析】以x代x，以x代x，y代y，判断的正误，利用方程两边的符号判断的正误，利用赋值法判断的正误.【详解】以x代x，得到123xxxxy，方程改变，不关于y轴对称；以x代x，y代y，得到123xxxxy，方程改变，不关于原点对称；当x0,y0时，123 0,?0,xxxxy显然方程不成立，该曲线不经过第三象限；令x1,易得12y，即1,12适合题意，同理可得 1,02,03,0，适合题意，该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的，故选：C【点睛】本题考查曲线与方程，考查曲线的性质，考查逻辑推理能力与转化能力，属于中档题 二、填空

10、题 第 7 页 共 22 页 11412xx的展开式中的常数项为_.【答案】24【解析】先求出二项式412xx展开式通项公式444 21441(2)()2rrrrrrrTCxC xx，再令420r，求出2r=代入运算即可得解.【详解】解：由二项式412xx展开式通项公式为444 21441(2)()2rrrrrrrTCxC xx，令420r，解得2r=，即展开式中的常数项为4 22443242421C，故答案为 24.【点睛】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题.12已知等差数列na的公差为2，若1a，3a，4a成等比数列，则2a _；数列na的前n项和的最小值为_【

11、答案】6 20 【解析】运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到a2，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值【详解】解：等差数列an的公差d为 2，若a1，a3，a4成等比数列，可得a32a1a4，即有（a1+2d）2a1（a1+3d），化为a1d4d2，解得a18，a28+26；数列an的前n项和Snna112n（n1）d 8n+n（n1）n29n 第 8 页 共 22 页（n92）2814，当n4 或 5 时，Sn取得最小值20 故答案为：6，20【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及二次函数

12、的最值的求法，考查运算能力，属于中档题 13若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1)，1(2,)2，(2,1)，(4,2)中的 2 个点，则该抛物线的标准方程可以是_【答案】28xy或2yx【解析】分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可.【详解】设抛物线的标准方程为：2xmy，不难验证12,4,22，适合，故28xy；设抛物线的标准方程为：2nyx，不难验证 1,14,2，适合，故2yx；故答案为：28xy或2yx【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题.14春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动已知某种盆栽植物

13、每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立该学校的某班随机领养了此种盆栽植物 10 株，设X为其中成活的株数，若X的方差2.1DX，(3)(7)P XP X，则p _【答案】0.7【解析】由题意可知：X B 10,p，且1012.137ppP XP X，从而可得p值【详解】由题意可知：X B 10,p 1012.137ppP XP X，即21001002100.5ppp,0.7p 第 9 页 共 22 页 故答案为：0.7【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题 15已知函数()f x的定义域为R，且()2()f xf x，当0,)x时，()sin

14、f xx 若存在0(,xm，使得0()4 3f x，则m的取值范围为_ 【答案】10,)3【解析】由f（x+）2f（x），得f（x）2f（x），分段求解析式，结合图象可得m的取值范围【详解】解：2f xf x，2f xf x，当)0,xp时，sinf xx 当,2x时，2sinf xx 当2,3x 时，4sin2f xx 当3,4x时，8sin3f xx 作出函数的图象：令8sin34 3x，解得：103x，或113，若存在0,xm，使得 04 3f x，则103m，故答案为：10,)3【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合第 10 页 共 22

15、页 的解题思想方法，属中档题 16某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q满足关系式：112(2)Tqldd，其中玻璃的热传导系数314 10焦耳/（厘米度），不流通、干燥空气的热传导系数422.5 10焦耳/（厘米度），T为室内外温度差q值越小，保温效果越好现有 4 种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：型号 每层玻璃厚度d（单位：厘米）玻璃间夹空气层厚度l（单位：厘米）A 型 0.5 3 B 型 0.5 4 C 型 0.6 2 D 型 0.6 3 则保温效果最好的双层玻璃的型号是_型

16、【答案】B【解析】分别计算 4 种型号的双层玻璃窗户的q值，根据q值越小，保温效果越好即可作出判断.【详解】A 型双层玻璃窗户：31424 10320.52492.5 100.5ldd，B 型双层玻璃窗户：31424 10420.52652.5 100.5ldd，C 型双层玻璃窗户：31424 10220.6233.22.5 100.6ldd，D 型双层玻璃窗户：31424 10320.6249.22.5 100.6ldd，第 11 页 共 22 页 根据1122Tqldd，且q值越小，保温效果越好 故答案为：B【点睛】本题以双层玻璃窗户保温效果为背景，考查学生学生分析问题解决问题的能力，考查

17、计算能力.三、解答题 17已知函数2()3sin 22cos()f xxxm mR（1）求()f x的最小正周期；（2）求()f x的单调递增区间；（3）对于任意0,2x都有()0f x 恒成立，求m的取值范围【答案】（1）；（2）,()36kkkZ；（3）(,3).【解析】（1）将函数进行化简，根据三角函数的周期公式即可求函数f（x）的最小正周期T；（2）由三角函数的图象与性质即可求函数f（x）的单调递增区间；（3）原问题等价于 f x的最大值小于零.【详解】（1）因为 23sin22cosf xxxm 3sin2cos21xxm，2sin 216xm.所以 f x的最小正周期22T（2）由

18、（1）知 2sin 216fxxm 又函数sinyx的单调递增区间为2,222kk(kZ)由222262kxk，kZ，得36kxk，kZ 第 12 页 共 22 页 所以 f x的单调递增区间为,36kkkZ.（3）因为02x，所以72666x.所以1sin 2126x.所以2sin 2136mxmm.当262x，即6x时，f x的最大值为3m，又因为 0f x 对于任意0,2x恒成立，所以30m，即3m.所以m的取值范围是,3.【点睛】本题主要考查三角函数函数的周期、单调区间和最值问题，关键在正确化简三角函数解析式为一个角的一个三角函数名称的形式，然后利用三角函数的性质解答，要求熟练掌握三角

19、函数的图象和性质 18某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分 从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照0,20，(20,40，(40,60，(60,80，(80,100分组，绘成频率分布直方图如图：（1）分别求出所抽取的20人中得分落在组0,20和(20,40内

20、的人数；（2）从所抽取的20人中得分落在组0,40的选手中随机选取3名选手，以X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列和数学期望；（3）如果某选手将抽到的 20 张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得第 13 页 共 22 页 到 100 分？请说明理由【答案】（1）抽取的20人中得分落在组0,20的人数有2人，得分落在组(20,40的人数有3人；（2）分布列见解析，1.2；（3）答案不唯一，具体见解析.【解析】（1）根据频率分布直方图即可得到满足题意的人数；（2）X的所有可能取值为0，1，2，求出相应的概率值，即可得到的分布列和数学期望；（3）该选手获得 100 分的

21、概率是2014，结合此数据作出合理的解释.【详解】（1）由题意知，所抽取的20人中得分落在组0,20的人数有0.005020 202（人），得分落在组20,40的人数有0.007520 203（人）所以所抽取的20人中得分落在组0,20的人数有2人，得分落在组20,40的人数有3人 （2）X的所有可能取值为0，1，2 33351010CP XC，1223356110C CP XC，2123353210C CP XC 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 110 610 310 所以X的期望1630121.2101010EX （3）答案不唯一 答案示例 1：可以认为该选手不会得到 100 分理由

22、如下：该选手获得 100 分的概率是2014，概率非常小，故可以认为该选手不会得到 100 分 答案示例 2：不能认为该同学不可能得到 100 分理由如下：第 14 页 共 22 页 该选手获得 100 分的概率是2014，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手不会得到 100 分【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的分布列与期望，概率的理解，考查分析问题解决问题的能力.19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，3ABC，PA 平面ABCD，3PA，2PFFA，E为CD的中点 （1）求证：BDPC；（2）求异面直线AB与DF所成角的余弦值；（3）判

23、断直线EF与平面PBC的位置关系，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）55；（3）相交，理由见解析【解析】（1）根据题意先证明BD 平面PAC，即可得到答案；（2）以O为坐标原点，以OB为x轴，以OC为y轴，以过点O且与AP平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，求出ABuuu v、DFuuu v的坐标，利用公式即可得到结果；（3）求出平面PBC的一个法向量与向量EFuuu v，根据nEF uuu vr与零的关系，作出判断.【详解】（1）连结AC 因为底面ABCD是菱形，所以BDAC.又因为PA 平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PABD.又因为PAACA，所以BD 平面PAC

24、.第 15 页 共 22 页 又因为PC 平面PAC，所以BDPC.（2）设AC，BD交于点O.因为底面ABCD是菱形，所以ACBD，又因为PA 平面ABCD，所以PAAC，PABD.如图，以O为坐标原点，以OB为x轴，以OC为y轴，以过点O且与AP平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则0,1,0A，3,0,0B，0,1,0C，3,0,0D，3 1,022E，0,1,3P，0,1,1F.则3,1,0AB uuu v，3,1,1DF uuu v，设异面直线AB与DF所成角为，则0,2，|5coscos,5AB DFAB DFABDF uuuu v uuuu vuuu v uuu vuu

25、u v uuu v，所以AB与DF所成角的余弦值为55.（3）直线EF与平面PBC相交.证明如下：由（2）可知，33,122EFuuu v，3,1,0BC uuu v，3,1,3BP uuu v，设平面PBC的一个法向量为n,x y zr，第 16 页 共 22 页 则0,0,n BCn BP uuu vuuu v 即 30,330,xyxyz令3x，得n3,3,2r 则33n,13,3,2022EFuuu vr，所以直线EF与平面PBC相交【点睛】本题考查线面的位置关系，考查异面直线所成角的度量，考查推理能力与计算能力，属于中档题.20已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点3(1,)2

26、P，且椭圆C的一个顶点D的坐标为(2,0)过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B（A，B不同于点D），直线DA与直线m：4x 交于点M连接MF，过点F作MF的垂线与直线m交于点N（1）求椭圆C的方程，并求点F的坐标；（2）求证：D，B，N三点共线【答案】（1）22143xy，(1,0)；（2）证明见解析.【解析】（1）根据题意列方程组222,1914aab，即可得到椭圆的方程，进而得到焦点坐标；（2）讨论直线l的斜率，利用DB DNuuu vuuuv，是平行的证明D，B，N三点共线【详解】（1）因为点31,2P在椭圆C上，且椭圆C的一个顶点D的坐标为2,0，所以222,191.

27、4aab解得2,3.ab 所以椭圆C的方程为22143xy 所以椭圆C的右焦点F的坐标为1,0 第 17 页 共 22 页（2）当直线l的斜率不存在时，直线AB的方程为1x 显然，31,2A，31,2B或31,2A，31,2B 当31,2A，31,2B时，直线DA的方程为122yx，点M的坐标为4,3 所以1MFk 直线FN的方程为1yx，点N的坐标为4,3 则33,2DBuuu v，6,3DN uuuv 所以2DNDBuuuvuuu v，所以D，B，N三点共线 同理，当31,2A，31,2B时，D，B，N三点共线 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为1yk x 由221,3412yk xx

28、y得22223484120kxk xk 且222284 344120kkk 设11,A x y，22,B x y，则2122834kxxk，212241234kx xk 直线DA的方程为1122yyxx，点M的坐标为1164,2yx 所以111160224 12MFyxykx 直线NF的方程为11212xyxy，点N的坐标为11324,2xy 则222,DBxyuuu v，11326,2xDNyuuuv 所以122132262xxyy 1212132242xxy yy，第 18 页 共 22 页 2121213224112xxkxxy，2221212131424442kx xkxxky，222

29、22221341281 4244423434kkkkkykk，222222211441224844343234kkkkkkyk，24224242213412 164816321212 1616234kkkkkkkkyk 0 所以DBuuu v与DNuuuv共线，所以D，B，N三点共线 综上所述，D，B，N三点共线【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 21已知函数()(sin)lnf xxax，aR（1）若0a.（）求曲线()yf x在点(,()22f处的切线方程；（）求函数()f x在区间(1,)内的

30、极大值的个数（2）若()f x在,2内单调递减，求实数a的取值范围【答案】（1）（）2ln02xy；（）1；（2）(,1 【解析】（1）（）求出导函数，得到2f与2f，利用点斜式得到直线的方程；（）研究函数在区间1,内单调性，结合极值的定义得到答案；（2）由题可知 sincos lnxafxx xx，其中,2x，分两类情况：1a与1a，第 19 页 共 22 页 结合函数的单调性与极值即可得到实数a的取值范围【详解】（1）（）因为 sin lnf xx x，所以 sincos lnxfxx xx，22f 又因为ln22f，所以曲线 yf x在点,22f处的切线方程为2ln22yx，化简得2ln

31、02xy （）当1,2x时，0fx，f x单调递增，此时 f x无极大值 当,2x时，设 g xfx，则 22cossinsin ln0 xxgxx xxx，所以 fx在,2内单调递减 又因为202f，ln0f，所以在,2内存在唯一的0,2x，使得 00fx 当x变化时，fx，f x的变化如下表 x 0,2x 0 x 0,x fx 0-f x 所以 f x在01,x内单调递增，在0,x内单调递减，此时 f x有唯一极大值 第 20 页 共 22 页 综上所述，f x在1,内的极大值的个数为1 （2）由题可知 sincos lnxafxx xx，其中,2x 当1a时，0fx，故 f x在,2内单

32、调递减；下面设1a 对于,2x，2lnlnln2xe，且cos0 x，所以cos ln2cosx xx 所以当,2x时，sinsin2 cos2cosxaxaxxfxxxx 设 sin2 cosh xxxxa，,2x，则 cos2cos2 sin3cos2 sin0h xxxxxxxx 所以 h x在,2上单调递减 102ha，2ha 当20a时，即2a时，0h，对,2x，0h x，所以 0fx，f x在,2内单调递增，不符合题意 当20a时，即12a 时，02h，0h，所以1,2x，使 10h x，因为 h x在,2内单调递减，所以对1,2xx，0h x，所以 0fx 第 21 页 共 22

33、 页 所以 f x在1,2x内单调递增，不符合题意 所以当1a 时，f x在,2内不单调递减 综上可得1a，故a的取值范围为,1 【点睛】本题考查了导数的几何意义及导数的综合应用，同时考查了数形结合的数学思想与分类讨论的思想，属于中档题 22设m为正整数，各项均为正整数的数列na定义如下：11a，1,2,.nnnnnaaaam a为偶数为奇数 （1）若5m，写出8a，9a，10a；（2）求证：数列na单调递增的充要条件是m为偶数；（3）若m为奇数，是否存在1n 满足1na？请说明理由【答案】（1）86a，93a，108a；（2）证明见解析；（3）存在，理由见解析【解析】（1）5m 时，结合条件

34、，注意求得8a，9a，10a；（2）根据1nnaa与零的关系，判断数列 na单调递增的充要条件；（3）存在1n 满足1na.【详解】（1）86a，93a，108a （2）先证“充分性”当m为偶数时，若na为奇数，则1na为奇数 因为11a 为奇数，所以归纳可得，对*nN，na均为奇数，则1nnaam，所以10nnaam，所以数列 na单调递增 再证“必要性”第 22 页 共 22 页 假设存在*kN使得ka为偶数，则12kkkaaa，与数列 na单调递增矛盾，因此数列 na中的所有项都是奇数 此时1nnaam，即1nnmaa，所以m为偶数 （3）存在1n 满足1na，理由如下：因为11a，m为

35、奇数，所以212amm 且2a为偶数，312mam 假设ka为奇数时，kam；ka为偶数时，2kam 当ka为奇数时，12kkaamm，且1ka为偶数；当ka为偶数时，12kkaam 所以若1ka为奇数，则1kam；若1ka为偶数，则12kam 因此对*nN 都有2nam 所以正整数数列 na中的项的不同取值只有有限个，所以其中必有相等的项 设集合,|,rsAr saa rs，设集合*|,BrNr sAN 因为A，所以B 令1r是B中的最小元素，下面证11r 设11r 且1111()rsaars 当1ram时，1112rraa，1112ssaa，所以1111rsaa；当1ram时，111rraam，111ssaam，所以1111rsaa 所以若11r，则11rB 且111rr，与1r是B中的最小元素矛盾 所以11r，且存在*11sN满足111saa，即存在1n 满足1na 【点睛】本题考查数列的递推关系，考查数列的单调性，考查学生分析问题及解决问题得能力，属于难题