苏科版八年级数学上册：3.勾股定理专题训练47319.pdf

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1、苏科版八年级数学上册第三章能力提升专题训练 3.勾股定理 一、单选题（共 10 题；共 30 分）1.如图，点 A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为 2，一蚂蚁从点 A 沿其表面爬到点 B 的最短路程是（）A.3 B.2+2 C.10 D.4 2.如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2 ，则 S1+S2的值为（）A.16 B.17 C.18 D.19 3.如图，在长、宽都为 3cm，高为 8cm 的长方体纸盒的 A 处有一粒米粒，一只蚂蚁在 B 处去觅食，那么它所行的最短路线的长是（）A.（32+8）cm B.10cm

2、C.82cm D.无法确定 4.要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物 3m，顶端离地面 4m，则梯子的长度为（）A.2m B.3m C.4m D.5m 5.若直角三角形的两边长分别为 a，b，且满足 a2-6a+9+|b4|=0，则该直角三角形的第三边长为（）A.5 B.7 C.4 D.5 或 7 6.如图，一架 2.5 米长的梯子 AB，斜靠在一竖直的墙 AC 上，这时梯足 B 到墙底端 C 的距离为 0.7 米，如果梯子的顶端下滑 0.4 米，则梯足将向外移（）A.0.6 米 B.0.7 米 C.0.8 米 D.0.9 米 7.一直角三角形两边分别为 3 和 5，则第三边为（）A、

3、4 B、C、4 或 D、2 8.两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖 8cm，另一只朝东面挖，每分钟挖 6cm，10 分钟之后两只小鼹鼠相距（）A.100cm B.50cm C.140cm D.80cm 9.如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（）A、3cm2 B、4cm2 C、5cm2 D、6cm2 10.如图，已知在 RtABC 中，ACB=90，AB=4，分别以 AC、BC 为直径作半圆，面积分别记为 S1、S2 ，则 S1+S2等于_ 二、填空题（共 8 题；共 24 分）11.若一直角三角形的两边长为 4、5，则第三边的长为_ 12.一根旗杆在离底部 4.5 米

4、的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部 6 米处，则旗杆折断前高为_ 13.如图中阴影部分是一个正方形，如果正方形的面积为 64 厘米2 ，则 x 的长为_厘米 14.一个直角三角形，两直角边长分别为 3 和 2，则三角形的周长为_ 15.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD、正方形 EFGH、正方形 MNKT 的面积分别为 S1、S2、S3 若正方形 EFGH 的边长为 2，则 S1+S2+S3=_ 16.已知在三角形 ABC 中，C=90，AC=15，BC=2

5、0，则 AB 的长等于_ 17.如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 8，正方形 A 的面积是 10，B 的面积是 11，C 的面积是 13，则 D 的面积之为_ 18.如图，RtABC 中，分别以它的三边为边长向外作三个正方形S1 ，S2 ，S3分别为三个正方形的面积，若 S1=36，S2=64，则 S3=_ 三、解答题（共 5 题；共 35 分）19.如图，圆柱形容器高 12cm，底面周长 24cm，在杯口点 B 处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的 A 处，（1）求蚂蚁从 A 到 B 处吃到蜂蜜最短距离；（2）若蚂蚁刚出发时发现 B

6、处的蜂蜜正以每秒钟 1cm 沿杯内壁下滑，4 秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？20.如图，圆柱形容器高 12cm，底面周长 24cm，在杯口点 B 处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的 A 处，（1）求蚂蚁从 A 到 B 处吃到蜂蜜最短距离；（2）若蚂蚁刚出发时发现 B 处的蜂蜜正以每秒钟 1cm 沿杯内壁下滑，4 秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？21.如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工为了使山的另一侧的开挖点 C 在 AB 的延长线上，设想过 C 点作直线 AB 的垂线L，过点 B 作一直线（在山的

7、旁边经过），与 L 相交于 D 点，经测量ABD=135，BD=800米，求直线 L 上距离 D 点多远的 C 处开挖？（结果保留根号）22.如图，在四边形 ABCD 中，B=D=90，A=60，BC=2，CD=1，求 AD 的长 23.如图，ABC 中，CDAB 于 D，若 AD=2BD，AC=6，BC=4，求 BD 的长 四、综合题（共 1 题；共 10 分）24.一架梯子 AB 长 25 米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端 B 离墙 7米 (1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子底部在水平方向滑动了 4 米吗？为什么？答案解析 一、单选题 1、【答案】

8、C 【考点】平面展开-最短路径问题 【解析】【解答】解：如图，AB=故选 C 【分析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可 2、【答案】B 【考点】勾股定理 【解析】【解答】解：如图，设正方形 S1的边长为 x，ABC 和CDE 都为等腰直角三角形，AB=BC，DE=DC，ABC=D=90，sinCAB=sin45=BCAC=22 ，即 AC=2BC，同理可得：BC=CE=2CD，AC=2BC=2CD，又AD=AC+CD=6，CD=63=2，EC2=22+22 ，即 EC=22；S1的面积为 EC2=2222=8；MAO=MOA=45，AM=MO，MO=MN，AM

9、=MN，M 为 AN 的中点，S2的边长为 3，S2的面积为 33=9，S1+S2=8+9=17 故选 B 【分析】由图可得，S2的边长为 3，由 AC=2BC，BC=CE=2CD，可得 AC=2CD，CD=2，EC=22；然后，分别算出 S1、S2的面积，即可解答 3、【答案】B 【考点】平面展开-最短路径问题 【解析】【解答】解：将点 A 和点 B 所在的两个面展开，矩形的长和宽分别为 6cm 和 8cm，故矩形对角线长 AB=62+82=10cm；矩形的长和宽分别为 3cm 和 11，故矩形对角线长 AB=32+112=130cm 即蚂蚁所行的最短路线长是 10cm 故选 B 【分析】根

10、据”两点之间线段最短”，将点 A 和点 B 所在的两个面进行展开，展开为矩形，则AB 为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为 AB 4、【答案】D 【考点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：根据题意，画出图形，AB=4m，BC=3m，AC 为梯子的长度，可知BAC 为 Rt，有 AC=AB2+BC2=42+32=5（m）故选：D【分析】如下图所示，AB=4m，BC 为梯子底端到建筑物的距离，有 BC=3m，AC 为梯子的长度，可知ABC 为 Rt，利用勾股定理即可得出 AC 的长度 5、【答案】D 【考点】勾股定理 【解析】【解答】解：a2-6a+9+|b4|=0，a26a+9=0，b4=0

11、，a=3，b=4，直角三角形的第三边长=42+32=5，或直角三角形的第三边长=42-32=7 ，直角三角形的第三边长为 5 或 7 ，故选 D【分析】根据非负数的性质列出方程求出 a、b 的值，根据勾股定理即可得到结论 6、【答案】C 【考点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：在直角三角形 ABC 中，首先根据勾股定理求得 AC=2.4，则 AC=2.40.4=2，在直角三角形 ABC 中，根据勾股定理求得 BC=1.5，所以 BB=1.50.7=0.8，故选 C【分析】在本题中，运用两次勾股定理，即分别求出 AC 和 BC，求二者之差即可解答 7、【答案】C 【考点】勾股定理 【解析】【

12、解答】解：当 5 是斜边时，根据勾股定理，得：第三边是 4；当 5 是直角边时，根据勾股定理，得：第三边是 =故选 C【分析】因为在本题中，不知道谁是斜边，谁是直角边，所以此题要分情况讨论 8、【答案】A 【考点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：两只鼹鼠 10 分钟所走的路程分别为 80cm，60cm，正北方向和正东方向构成直角，由勾股定理得 602+802 =100，其距离为 100cm 故选 A【分析】由已知两只鼹鼠打洞的方向的夹角为直角，其 10 分钟内走路程分别等于两直角边的长，利用勾股定理可求斜边即其距离 9、【答案】C 【考点】勾股定理 【解析】【解答】解：由勾股定理得：=5（

13、cm），阴影部分的面积=51=5（cm2）；故选：C【分析】由勾股定理求出直角三角形的斜边长，再由长方形的面积公式即可得出结果 10、【答案】2 【考点】勾股定理 【解析】【解答】解：S1=（）2=AC2 ，S2=BC2 ，所以 S1+S2=（AC2+BC2）=AB2=2 故答案为：2【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理，知 S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积 二、填空题 11、【答案】和 3【考点】勾股定理 【解析】【解答】解：当 4 和 5 都是直角边时，则第三边是=；当 5 是斜边时，则第三边是 3 故答案为：和 3【分析】考虑两种情况：4 和 5 都是直角边或 5 是斜边根据勾股定理

14、进行求解 12、【答案】12 米 【考点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：如图所示，AC=6 米，BC=4.5 米，由勾股定理得，AB=4.52+62=7.5（米）故旗杆折断前高为：4.5+7.5=12（米）故答案是：12 米 【分析】旗杆折断后刚好构成一直角三角形，其直角边分别是4.5 米和 6 米利用勾股定理解题即可 13、【答案】17 【考点】勾股定理 【解析】【解答】解：正方形的面积为 64 厘米2 ，正方形的边长为 8 厘米，x=152+82=17（厘米），故答案为：17【分析】首先计算出正方形的边长，再利用勾股定理计算出 x 即可 14、【答案】5+【考点】勾股定理 【解析】【

15、解答】解：根据勾股定理可知：斜边=，三角形周长=3+2+=5+故答案是：5+【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，继而即可求出三角形的周长 15、【答案】12 【考点】勾股定理的证明 【解析】【解答】解：八个直角三角形全等，四边形 ABCD，EFGH，MNKT 是正方形，CG=KG，CF=DG=KF，S1=（CG+DG）2=CG2+DG2+2CGDG=GF2+2CGDG，S2=GF2 ，S3=（KFNF）2=KF2+NF22KFNF，S1+S2+S3=GF2+2CGDG+GF2+KF2+NF22KFNF=3GF2=12，故答案是：12【分析】根据八个直角三角形全等，四边形 ABCD，EF

16、GH，MNKT 是正方形，得出CG=KG，CF=DG=KF，再根据 S1=（CG+DG）2 ，S2=GF2 ，S3=（KFNF）2 ，S1+S2+S3=12 得出 3GF2=12 16、【答案】25 【考点】勾股定理 【解析】【解答】解：如图，ABC 中，C=90，AC=15，BC=20，AB=25 故答案为：25 【分析】根据题意画出图形，再由勾股定理求解即可 17、【答案】30 【考点】勾股定理 【解析】【解答】解：如图记图中三个正方形分别为 P、Q、M 根据勾股定理得到：C 与D 的面积的和是 P 的面积；A 与 B 的面积的和是 Q 的面积；而 P，Q 的面积的和是 M 的面积 即 A

17、、B、C、D 的面积之和为 M 的面积 M 的面积是 82=64，A、B、C、D 的面积之和为 64，是正方形 D 的面积为 x，10+11+13+x=64，x=30 故答案为：30 【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积 64，由此即可解决问题 18、【答案】100 【考点】勾股定理 【解析】【解答】解：在 RtABC 中，AC2+BC2=AB2 ，又由正方形面积公式得S1=AC2 ，S2=BC2 ，S3=AB2 ，S3=S1+S2=100 故答案为：100【分析】由正方形的面积公式可知 S1=AC2 ，S2=BC2 ，S3=AB2 ，在

18、 RtABC 中，由勾股定理得 AC2+BC2=AB2 ，即 S1+S2=S3 ，由此可求 S3 三、解答题 19、【答案】解：（1）如图所示，圆柱形玻璃容器，高 12cm，底面周长为 24cm，AD=12cm，AB=AD2+BD2=122+122=122（cm）答：蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是 122cm；（2）AD=12cm，蚂蚁所走的路程=122+12+42=20，蚂蚁的平均速度=204=5（米/秒）【考点】平面展开-最短路径问题 【解析】【分析】（1）先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理求解即可；（2）根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论 20、【答案】解：（1）如图所示，

19、圆柱形玻璃容器，高 12cm，底面周长为 24cm，AD=12cm，AB=AD2+BD2=122+122=122（cm）答：蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是 122cm；（2）AD=12cm，蚂蚁所走的路程=122+12+42=20，蚂蚁的平均速度=204=5（米/秒）【考点】平面展开-最短路径问题 【解析】【分析】（1）先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理求解即可；（2）根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论 21、【答案】解：CDAC，ACD=90，ABD=135，DBC=45，D=45，CB=CD，在 RtDCB 中：CD2+BC2=BD2 ，2CD2=8002 ，CD=400（米

20、），答：直线 L 上距离 D 点 400 米的 C 处开挖 【考点】勾股定理的应用 【解析】【分析】首先证明BCD 是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得CD2+BC2=BD2 ，然后再代入 BD=800 米进行计算即可 22、【答案】解：分别延长 AD、DC 交于点 E，在 RtABE 中，A=60，E=30，在 RtCBE 中，E=30，BC=2，EC=4，DE=4+1=5，在 RtABE 中，E=30，AE=2AD，AE2=AD2+DE2 ，4AD2=AD2+52 ，解得：AD=【考点】勾股定理 【解析】【分析】延长 AD，DC 交于点 E，可得直角三角形 ABE，易得 CE 长，在 Rt

21、CBE中，利用 30的三角函数可得 EC，DE 的长，进而利用勾股定理可得 AD 长 23、【答案】解：设 BD=x，则 AD=2x，在 RtACD 中，由勾股定理得，AC2AD2=CD2 ，在 RtBCD 中，BC2BD2=CD2 ，AC2AD2=BC2BD2 ，即 62（2x）2=42x2 ，解得，x=，则 BD=【考点】勾股定理 【解析】【分析】设 BD=x，根据勾股定理列出方程，解方程即可 四、综合题 24、【答案】（1）解：由题意，得 AB2=AC2+BC2 ，得 AC=24（米）（2）解：由 AB2=AC2+CB2 ，得 BC=15（米）BB=BCBC=157=8（米）答：梯子底部在水平方向不是滑动了 4 米，而是 8 米 【考点】勾股定理的应用 【解析】【分析】应用勾股定理求出 AC 的高度，以及 BC 的距离即可解答