2020届安徽省皖江联盟高三上学期12月联考试题(文)数学试题(解析版)5629.pdf

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1、第 1 页 共 20 页 2020 届安徽省皖江联盟高三上学期 12 月联考试题（文）数学试题 一、单选题 1复数z满足1 243i zi（i为虚数单位），则复数z的模等于（）A55 B5 C2 5 D4 5【答案】B【解析】根据复数模的性质和求解直接解得结果即可.【详解】43551 25izi 故选：B【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数模的性质的应用，属于基础题.2已知全集为R，集合2,1,0,1,2A，102xBxx，则UAC B的元素个数为（）A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】解分式不等式求得集合B，根据交集和补集的定义求得集合UAC B，进而得到元素个数.【详解】1021

2、2xBxxxx 2UC Bx x 或1x 2,1,2UAC B，有3个元素 故选：C【点睛】本题考查集合元素个数的求解，涉及到分式不等式的求解、交集和补集的混合运算，属于基础题.3已知函数 f x在区间,a b上可导，则“函数 f x在区间,a b上有最小值”是第 2 页 共 20 页“存在0,xa b，满足 00fx”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为0，充分性成立；利用 3f xx可验证出必要性不成立，由此得到结论.【详解】,a b为开区间 最小值点一定是极小值点 极小值点处的导数值

3、为0 充分性成立 当 3f xx，00 x 时，00fx，结合幂函数图象知 f x无最小值，必要性不成立“函数 f x在区间,a b上有最小值”是“存在0,xa b，满足 00fx”的充分不必要条件 故选：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到导数极值与最值的相关知识；关键是能够明确极值点处的导数值为0，但导数值为0的点未必是极值点.42011 年国际数学协会正式宣布，将每年的 3 月 14 日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。公元 263 年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，计算到圆内接 3072 边形的面积，得到的圆周率是39271250.公元 480

4、年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后 7 位的结果，给出不足近似值 3.1415926和过剩近似值 3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355113和约率227。大约在公元530 年，印度数学大师阿耶波多算出圆周率约为9.8684（3.14140096）.在这 4个圆周率的近似值中，最接近真实值的是（）A39271250 B355113 C227 D9.8684【答案】B【解析】依次计算出每个近似值，与圆周率作对比找到最接近真实值的项.第 3 页 共 20 页【详解】39273.14161250，3553.141592113，223.1428577，9.86843

5、.14140096 由圆周率的值可知，最接近真实值的为355113 故选：B【点睛】本题考查圆周率的相关知识，关键是能够准确计算出各个近似值，属于基础题.5已知函数 2yf xx是奇函数，且 11f，则 1f（）A3 B1 C0 D2【答案】A【解析】由奇函数定义可得 22fxxf xx，代入1x 可求得结果.【详解】2yf xx为奇函数 22fxxf xx 11112ff 13f 故选：A【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解函数值的问题，关键是能够准确得到函数所满足的关系式，属于基础题.6如图,各棱长均为a的正三棱柱111ABCABC，M、N分别为线段1AB、1BC上的动点,且MN/平面11A

6、CC A,则这样的MN有 ()A1 条 B2 条 C3 条 D无数条【答案】D【解析】由题意得112ABCBa在11,BA CB上分别取,M N，使1BMB N，第 4 页 共 20 页 过,M N作11,MMAB NNBC，垂足分别为11,MN，则1111,MMAA NNBB，故11111,BMB NBNBMBABABCBC 由于111B NBMBABC，故11BMBNBABC，从而11M NAC，可得11M N平面11ACC A又1MM平面11ACC A，可得平面11MM N N平面11ACC A由于MN 平面11MM N N，所以/MN平面11ACC A，从而满足条件的MN有无数条选 D

7、 7已知数列 na的通项为1nnank，对任意*nN，都有5naa，则正数k的取值范围是（）A5k B5k C45k D56k【答案】D【解析】将na整理为11knk，结合反比例函数单调性和恒成立的5naa可得到不等式组，解不等式组求得结果.【详解】1111nnnkkkanknknk k为正数且5naa恒成立 5060kk，解得：56k 故选：D【点睛】本题考查利用数列中的最小项求解参数范围问题，关键是能够将问题转化为结合反比例函数单调性来求解的问题，进而得到关于所求参数的不等式.8如图所示的程序输出的结果为 95040，则判断框中应填（）第 5 页 共 20 页 A8?i B8?i C7?i

8、 D7?i 【答案】B【解析】运行程序，根据输出结果可判断出输出时7i，由此可确定判断框条件.【详解】按照程序框图运行程序，输入12i，195040sum 则1 121295040sum ，12 1 11i ，循环 12 1113295040sum，11 1 10i ，循环 132 10132095040sum，10 19i ，循环 132091188095040sum，9 18i ，循环 11880895040sum ，8 17i ，输出sum 8i 满足判断条件，7i 不满足判断条件 判断框中应填8?i 故选：B【点睛】本题考查根据程序框图循环结构的输出结果补全框图的问题，关键是能够准确确

9、定输出结果是，变量具体的取值，由此确定需补充的条件.9函数 cos22sinxxf x 在,上的图象是（）A B C D【答案】A 第 6 页 共 20 页【解析】利用02f和02f可排除错误选项得到结果.【详解】cos2sin121022f ，可排除,B C；cos2sin123022f ，可排除D.故选：A【点睛】本题考查函数图象的识别，此类问题通常采用排除法，排除依据通常为：奇偶性、特殊位置的符号、单调性.10已知点O是ABC的外心，2AB，3AC，则AO BC（）A52 B32 C52 D32【答案】C【解析】先推导出外心的向量性质212AO ABAB，212AO ACAC，然后由AO

10、 BCAOACAB即可计算出答案.【详解】如下图所示：取弦AC的中点D，则ODAC，AO ACADDOACAD ACDO AC2211022ACAC，同理可得212AO ABAB，AO BCAO ACAO AB2222111153222222ACAB.故选：C【点睛】第 7 页 共 20 页 本题考查平面向量数量积的计算，涉及三角形外心的向量性质的应用，考查计算能力，属于中等题.11 点,P x y是曲线C：10yxx上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点，PAPB；OAB的面积为定值；曲线C上存在两点M，N使得OMN是等边三角形；曲线C上存在两点M，

11、N使得OMN是等腰直角三角形，其中真命题的个数是（）A1 B2 C3 D4【答案】D【解析】设点1,0P aaa，得到切线方程后求得,A B坐标，进而知P为AB中点，求得2AOBS，从而可知正确；过原点作倾斜角等于15和75的2条射线与曲线交于,M N，由对称性可知正确；过原点作2条夹角等于45的射线与曲线交于,M N，由OMON的值的变化过程，可知存在比值等于2和22的时刻，从而知正确.【详解】设点1,0P aaa，由21yx 得切线方程：211yxaaa，即212yxaa 2,0Aa，20,Ba 1,P aa为AB中点 PAPB，正确；1122222AOBSOA OBaa，正确；过原点作倾

12、斜角等于15和75的2条射线与曲线的交点为,M N 由对称性可知OMN中，OMON，又60MON OMN为等边三角形，正确；过原点作2条夹角等于45的射线与曲线交于点,M N 第 8 页 共 20 页 当直线OM的倾斜角从90减少到45的过程中，OMON的值从变化到0 在此变化过程中必然存在OMON的值为2和22的时刻，此时OMN为等腰直角三角形，正确.真命题的个数为4个 故选：D【点睛】本题考查直线与曲线相切、相交相关命题的判断，涉及到定值、等量关系、存在性问题的判断；判断本题中的存在性问题的关键是在确定射线倾斜角的夹角的前提下，寻找符合题意的点的位置.12若函数 3213f xxx在区间,

13、5a a内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A3,2 B3,2 C1,2 D1,2【答案】C【解析】利用导数求出函数 yf x的极小值 423f，并计算出 413f ，结合图象得出关于实数a的不等式组，解出即可.【详解】令 220fxxx，得10 x，22x，令 220fxxx，解得02x；令 220fxxx，解得0 x 或2x.所以，函数 yf x的增区间为,0和2,，减区间为0,2.函数 yf x在开区间,5a a内的最小值一定是 423f，可求得 4123ff，如下图所示：第 9 页 共 20 页 所以1252aa，解得12a，因此，实数a的取值范围是1,2.故选：C.【点睛】本题考查

14、利用函数在区间上的最值求参数，解题时要熟悉最值与极值的关系，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二、填空题 13若锐角,满足43cos,cos,sin55则_.【答案】725【解析】因43cos,cos55，故34sin,sin()55，1697sinsin()sin()coscos()sin252525，应填答案725。14已知三棱锥的4个面都是边长为5、6、7的三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_.【答案】55【解析】根据题意可得出该三棱锥的对棱相等，并设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，计算出长方体的体对角线长，即可得出三棱锥外接球的直径，由此可得出该三棱锥外接球的表面积.【详解】由已

15、知三棱锥对棱相等，可以补形为长方体，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，如下图所示：第 10 页 共 20 页 则222222254936acabbc，三个等式相加得2222253649110abc，22255abc，设该三棱锥的外接球半径为R，则22222549362552Rabc，因此，该三棱锥外接球的表面积为2455SR.故答案为：55.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析三棱锥的结构特征，并选择合适的方法计算外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.15黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在 0,1上，其定

16、义为：1,0,0,10,1qqxp qpppR xx当都是正整数，是不可以再约分的真分数当或者上的无理数，若函数 f x是定义在R上的奇函数，且 20f xfx，当 0,1x时，f xR x，则103310ff_.【答案】730【解析】由已知得到 f x关于1,0对称，结合奇函数性质可确定 f x为周期是4的周期函数，进而将所求式子化简为23310ff；由黎曼函数的解析式可确定23f和310f的值，代入求得结果.【详解】第 11 页 共 20 页 由 20f xfx知：f x关于1,0对称 又 f x为奇函数，图象关于原点对称 f x为周期函数，周期4T 1032121117310310310

17、31030ffff 故答案为：730【点睛】本题考查函数奇偶性、对称性和周期性的综合应用问题，涉及到新定义运算的求解；关键是能够通过熟练掌握周期性与对称性的关系，即两个相邻的对称轴（对称中心）之间距离为半个周期.16若ABC的面积1S，且2ABAC，则边BC的最小值等于_.【答案】3【解析】利用三角形的面积公式得出21sinACA，利用余弦定理得出254cossinABCA，变形得出25sin4cosBCAA，结合辅助角公式可得出BC的最小值.【详解】21sinsin12SAB ACAACA，所以21sinACA，根据余弦定理222254cos2cos54cossinABCABACAB ACA

18、A ACA，所以24sin4cos16sin5BCAABCA，可得4165BC，解得3BC，因此，BC的最小值为3.故答案为：3【点睛】本题考查利用三角形的面积公式、余弦定理求三角形边长的最值，涉及了辅助角公式的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题 17已知等比数列 na的前n项和为nS，37S，663S.（1）求 na的通项公式；第 12 页 共 20 页（2）若数列nnab是首项为1，公差为2的等差数列，求数列 nb的通项公式和前n项和nT.【答案】（1）12nna；（2）221nnTn.【解析】（1）设等比数列 na的公比为q，根据题意求出1a和q的值，利用等比数列的通项公式可求出

19、数列 na的通项公式；（2）利用等差数列的定义可得出数列nnab的通项，进而求出数列 nb的通项公式，然后利用分组求和法结合等差数列与等比数列的求和公式可求出数列 nb的前n项和nT.【详解】（1）设等比数列 na的公比为q，因为3456123aaaqaaa3363331SSq SqS，所以3631927qq，所以311112471Saaaa，所以12nna；（2）因为1 2121nnabnn，所以121221nnnbann，1211 21211221 321211 22nnnnnnTnn .【点睛】本题考查等比数列通项公式与等差数列通项公式的计算，同时也考查了分组求和法，考查计算能力，属于中

20、等题.18如图，在四棱锥PABCD中，侧棱PA 底面ABCD，/AD BC，ABAD，3PAABBC，2AD，点M在棱PB上，且2BM.（1）证明：/AM平面PCD；（2）求点D到平面PMC的距离.第 13 页 共 20 页【答案】（1）见解析；（2）322.【解析】（1）作/MN BC交PC于N，连接DN，利用相似三角形证明出MNAD，可证明出四边形AMND是平行四边形，可得出/AM DN，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出/AM平面PCD；（2）证明出/AD平面PBC，可得出点D到平面PMC的距离等于点A到平面PBC的距离，然后作ANPB于N，证明出AN 平面PBC，计算出AN，即可得

21、出点D到平面PBC的距离.【详解】（1）由题意，侧面PAB是等腰直角三角形，3 2PB，2 2PM，作/MN BC交PC于N，连接DN.因为2 233 2PMMNMNPBBC，所以2MN，又/MN BC，/AD BC，2AD，所以/MN AD且MNAD，四边形AMND是平行四边形，/AM DN，又DN 平面PCD，AM 平面PCD，所以/AM平面PCD；（2）由题设/AD BC，BC 平面PBC，所以/AD平面PBC，因此点D到平面PMC的距离等于点A到平面PBC的距离，PA 平面ABCD，AD平面ABCD，ADPA.ADAB，PAABA，AD平面PAB./BC AD，BC平面PAB，BC 平

22、面PBC，平面PBC 平面PAB.作ANPB于N，平面PBC 平面PAB，平面PBC平面PABPB，AN 平面PAB，AN平面PBC，AN的长度就是点A到平面PBC的距离.PA 平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB，又3PAAB，223 2PBPAAB，则PAB是等腰直角三角形，所以13222ANPB，第 14 页 共 20 页 即点D到平面PMC的距离等于322.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了点到平面距离的计算，一般利用等体积法来进行计算，也可以借助面面垂直的性质定理作出线面垂直，从而得出垂线段来进行计算，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.19ABC内角A，B，

23、C的对边为a，b，c，设2AB，CD平分ACB交AB于点D.(1)证明：22abbc；(2)若6a，4b，求CD的长.【答案】（1）证明见解析,(2)3 2【解析】（1）利用正弦定理sinsinaAbB可代入已知条件和余弦定理化简得到2222a cb acb，整理可得到2acbb cbcb；当bc时，利用角的大小关系可知为等腰直角三角形，利用勾股定理可整理出结果；当bc时，可直接整理等式得到结果；（2）根据（1）可得c，利用角平分线定理可求得,AD BD；由coscos0ADCBDC，结合余弦定理可构造关于CD的方程，解方程求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：222sinsin22cossi

24、nsinaABacbBbBBac 2222a cb acb，即：2222a ca bb cb 2acbb cbcb 当bc时，BC 4BC，2A 222bca，即222abcbc 当bc时，22ab cbbcb，即22abbc 第 15 页 共 20 页（2）由（1）得：22644c，即5c 根据角平分线定理CACBADBD可得：2AD，3BD 设CDx，由ADCBDC得：22416936coscos046xxADCBDCxx，解得：3 2x 角平分线CD的长等于3 2【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正余弦定理、角平分线定理的应用；关键是能够利用互补角余弦互为相反数的特点，结合余弦定

25、理构造关于所求长度的方程，进而解方程求得结果.20 如图，在多面体1111ABCDABC D中，侧棱1AA、1BB、1CC、1DD都和平面ABCD垂直，/AD BC，112ABBCCDBBDD，14AAAD，11CC.（1）证明：平面111BC D 平面11ABB A；（2）求多面体1111ABCDABC D的体积.【答案】（1）见解析；（2）7 3.【解析】（1）连接BD，证明出四边形11BB D D是平行四边形，可得出11/BDB D，证明出BD 平面11ABB A，可得出11B D 平面11ABB A，再利用平面与平面垂直的判定定理可得出平面111BC D 平面11ABB A；（2）平面

26、11BDD B把多面体分成两部分，多面体111ABDAB D可分为一个三棱锥和一个三棱柱，多面体111BCDBC D可看成三棱柱121BCDBC D截去三棱锥2111CBC D，计算出两个多面体的体积，相加即可.【详解】第 16 页 共 20 页（1）连接BD，由题设11/BBDD，11BBDD，所以四边形11BB D D是平行四边形，所以11/BDB D.由题设，四边形ABCD是等腰梯形，取AD中点E，连接BE、CE，因为2BCDE，/BC DE，所以四边形BCDE是平行四边形，2BECD，所以AEDEBE，得到2ABD，因此ABBD.又由题设，1BB 平面ABC，且BD 平面ABC，1BB

27、BD，又1ABBBB，所以BD 平面11ABB A，又11/BDB D（已证），所以11B D 平面11ABB A，而11B D 平面111BC D，因此平面111BC D 平面11ABB A；（2）如图，平面11BDD B把多面体分成两部分，分别计算.易求2 3ABDS，3BCDS，多面体111ABDAB D可分为一个三棱锥和一个三棱柱，多面体111BCDBC D可看成三棱柱121BCDBC D截去三棱锥2111CBC D.12112 322 32323 133VVV7 3.【点睛】本题考查平面与平面垂直的证明，同时也考查了多面体体积的计算，一般利用割补法进行计算，考查推理能力与计算能力，属

28、于中等题.21已知函数 212ln02fxaxxx a.（1）当1a 时，求 f x的单调区间；第 17 页 共 20 页（2）若函数 f x在定义域内是单调函数，求实数a的取值范围.【答案】（1）递减区间是0,1，单调递增区间是1,；（2）1,8.【解析】（1）将1a 代入函数 yf x的解析式，求出函数 yf x的导数，分别解不等式 0fx和 0fx，可得出函数 yf x的减区间和增区间；（2）由函数 yf x在定义域上为单调函数，可得知导函数 yfx在定义域上没有变号的零点，并设 21g xaxx，然后对a分0a 和0a 两种情况讨论，结合判断函数 21g xaxx 在区间0,是否有变号

29、的零点，从而可得出实数a的取值范围.【详解】（1）当1a 时，212ln02fxxxx a，函数 yf x的定义域为0,.求导得 212221xxxxfxxxxx，令 0fx得0,1x，令 0fx得1,x，所以，函数 yf x的单调递减区间是0,1，单调递增区间是1,；（2）2221axxfxaxxx，记 22g xaxx，若函数 yf x在定义域内是单调函数，则导函数 yfx在定义域内没有变号零点，即函数 yg x在0,没有变号的零点.根据二次函数的性质，0a 时，1 80a ，1220 x xa，一定有正根1x，在区间10,x上 0g x，0fx，函数 yf x单调递减，在区间1,x 上

30、0g x，0fx，函数 yf x单调递增，不合题意；当0a 时，若11 808aa ，此时，函数 yf x在定义域内是单调减函数，符合题意；若11 808aa ，此时有3410 xxa，3420 x xa，第 18 页 共 20 页 则函数 yg x有两个不相等的正根，函数 yf x有2个极值点，不是单调函数.综上所述，若函数 yf x在定义域内是单调函数，求实数a的取值范围是1,8.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，解题时要熟悉函数的单调性与导数之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.22已知函数 sin1xf xex，fx是 f x的导

31、函数。（1）证明：fx在,04内存在唯一的极小值点；（2）证明：当,x 时，f x有且只有两个零点.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）令 cosxg xfxex，可知函数 ygx在,04单调递增，利用零点存在定理并结合函数 ygx在,04上的单调性可证明出函数 yfx在,04内存在唯一的极小值点；（2）利用导数证明出函数 yf x在区间,2上为增函数，结合零点存在定理可证明出函数 yf x在区间,2只有一个零点，利用（1）中的结论可证明出函数 yf x在区间,02上没有零点，再由 00f以及函数 yf x在0,上单调递增，可证明出函数 yf x有且只有两个零点.【详解】（1）令

32、 cosxg xfxex，则 sinxgxex，显然函数 ygx在,04单调递增.因为 01g，42042ge，第 19 页 共 20 页（因为1134424244222eeee）故存在唯一的0,04x 使得 00gx.所以当0,2xx 时，0gx，当0,0 xx时，0gx，所以函数 yg x在区间0,2x上单调递减，在区间0,0 x上单调递增，所以函数 yg x，即 yfx在区间,02存在唯一的极小值点0 x，且0,04x；（2）当,2x 时，cos0 xfxex，函数 yf x单调递增，10fe，202fe，2102effe，所以，函数 yf x在区间,2上存在唯一的零点.当,02x 时，

33、由（1）当0,2xx 时，0gx，函数 yg x单调递减，202ge，004g xg，所以存在10,2xx，使得 10g x，当1,2xx，0g xfx，当1,0 xx，0g xfx，所以 yf x在,02先递增后递减，202fe，00f，函数 yf x在,02没有零点；因为 00f，所以0 x 是函数 yf x的第二个零点；0,x时，cos0 xfxex，函数 yf x单调递增，00f xf，没有零点.综上所述，当,x 时，函数 yf x有且只有两个零点.第 20 页 共 20 页【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点与零点问题，在利用导数研究函数的单调性时，还应注意结合零点存在定理来分析，考查推理能力，属于中等题.