2020届辽宁省实验中学东戴河分校高三12月月考数学(文)试题5482.pdf

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1、-1-2020 届辽宁省实验中学东戴河分校高三 12 月月考 数学试卷(文科)说明：1、本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷第（1）页至第（3）页，第卷第（4）页至第（6）页。2、本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。第卷（选择题，共 60 分）注意事项：1、答第卷前，考生务必将自己的姓名、班级填涂在答题卡上，贴好条形码。答题卡不要折叠 2、每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。答在试卷上无效。3、考试结束后，监考人员将试卷答题卡收回。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合2

2、|0|2Mx xxNx x，则 ()AMN BMNM CMNM DMNR 2“”是“方程表示双曲线”的 ()A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 3正项等差数列 na中的11a，4027a是函数 3214433f xxxx的极值点，则20192log a=()A2 B3 C4 D5 4已知3log 2a，143b，2ln3c，则a，b，c的大小关系为 （）Aabc Bbac Ccba Dcab 5函数ln()xf xxx的大致图象为 （）-2-A B C D 6近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相

3、应的垃圾箱为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000t生活垃圾经分拣以后数据统计如下表（单位：t）：根据样本估计本市生活垃圾投放情况，下列说法错误的是 （）厨余垃圾”箱 可回收物”箱 其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 A厨余垃圾投放正确的概率为23 B居民生活垃圾投放错误的概率为310 C该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱 D厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为 20000 7直线(1)(2)0()xyR恒过定点A，若点A在直线20mxn

4、y上，其中0m，0n，则21mn的最小值为 （）A2 2 B4 C52 D92 -3-8 九章算术是我国古代的数学巨著，其中方田章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12（弦矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是 ()A2+4 3 B13+2 C2+8 3 D4+8 3 9执行如图所示的程序框图，则输出n的值是 （）A3 B5 C7 D9 10已知函数()sin(0)f xx，点A，B分别为()f x图像在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，

5、O为坐标原点，若OAB为锐角三角形，则的取值范围为 （）A30,2 B3,22 C0,2 D,2 11已知直线l与抛物线24xy交于A、B两点，若四边形OAMB为矩形，记直线OM的斜率为k，则k的最小值为 （）A4 B2 2 C2 D2 多选题 12已知函数22,0()(2),0 xx xf xf xx，以下结论正确的是（）-4-A(3)(2019)3ff B f x 在区间4,5上是增函数 C若方程()1f xk x恰有 3 个实根，则11,24k D若函数()yf xb在(,4)上有 6 个零点(1,2,3,4,5,6)ix i，则 61iiix fx的取值范围是0,6 第卷（非选择题，共

6、 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13已知34abRaibii，（，）其中i为虚数单位，则abi_.14某学校积极开展“服务社会，提升自我”的志愿者服务活动，九年级的五名同学(三男两女)成立了“交通秩序维护”小分队若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是_ _ 15在四面体PABC中，3PABC，2PBAC，3PCAB，则该四面体外接球的体积为_ 16已知抛物线Ey22px(p0)的焦点为F，过F且斜率为 1 的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MNy轴于点N.若四边形CMNF的面积等于 7，则E的方程为 .

7、三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（本小题满分 12 分）已知函数2()cos 2cos2()3f xxx xR(1)求函数()f x的单调递增区间；(2)ABC内角,A B C的对边分别为,a b c，若3()22Bf，1b，3c，且ab，试求角B和角C.18（本小题满分 12 分）如图所示，在等腰梯形ABCD中，/ADBC，2ADCDAB，60ABC，将三角-5-形ABD沿BD折起，使点A在平面BCD上的投影G落在BD上 （1）求证：平面ACD 平面ABD；（2）若点E为AC的中点，求三棱锥GADE的体积 19（本小题满分 12 分）某校从高一年级学生中随机抽取 40

8、 名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数）分成六段：，后得到如图的频率分布直方图 （1）求图中实数a的值；（2）若该校高一年级共有学生 640 人，试估计该校高一年级 期中考试数学成绩不低于 60 分的人数；（3）若从数学成绩在40,50与90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率 20（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为 F1（1，0），离心率22e （1）求椭圆 G 的标准方程；（2）已知直线11lykxm：与椭圆G 交于 A B，两点

9、，直线2212lykxm mm：（）与椭-6-圆G 交于CD，两点，且ABCD，如图所示 证明：120mm；求四边形ABCD 的面积S 的最大值 21（本小题满分 12 分）已知函数()(1)lnf xxx,3()lneg xxx.（）求函数()f x的单调区间；（）令()()()(0)h xmf xg xm两个零点1212,()x xxx，证明：121exex.必修四（二选一）22（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos3sinxy（为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为2sin42（1）求曲线C的普通方程和直线l的直

10、角坐标方程；（2）设点1,0P ，直线l和曲线C交于,A B两点，求|PAPB的值 23（本小题满分 10 分）已知函数 210f xxaxa.（1）当1a 时，求不等式 4f x 的解集；（2）若不等式 42f xx对任意的3,1x 恒成立，求a的取值范围.-7-8-（数学文）1-5 BDCBA 6-10 DDADB 11.B 12 BCD 13.5 14.35 15.8 23 16.y24x 17（12 分）已知函数2()cos 2cos2()3f xxx xR(1)求函数()f x的单调递增区间；(2)ABC内角,A B C的对边分别为,a b c，若3()22Bf，1b，3c，且ab，

11、试求角B和角C.【答案】（1）5,()1212kkkZ（2）,63BC【解析】【分析】（1）将()f x解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的递增区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到()f x的递增区间；（2）由（1）确定的()f x解析式，及322Bf 求出sin3B的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，再由b与c的值，利用正弦定理求出sinC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，由a大于b得到A大于B，检验后即可得到满足题意的B和C的度

12、数.【详解】（1）233()cos 2cos2sin2cos23sin 23223f xxxxxx，令222,232kxkkZ剟，解得5,1212kx kkZ剟 故函数()f x的递增区间为5,()1212kkkZ.（2）313sin,sin23232BfBB ，-9-20,333366BBBB 即，由正弦定理得：13sinsinsin6aAC，3sin2C，0C，3C或23.当3c时，2A：当23C时，6A（不合题意，舍）所以,63BC.【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦定理，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.18如图所示，在等腰

13、梯形ABCD中，/ADBC，2ADCDAB，60ABC，将三角形ABD沿BD折起，使点A在平面BCD上的投影G落在BD上 （1）求证：平面ACD 平面ABD；（2）若点E为AC的中点，求三棱锥GADE的体积【答案】（1）见解析；（2）36.【解析】试题分析：（1）要证平面ACD 平面ABD，只需证CD 平面ABD，分析条件易得AGCD和BDDC；（2）由G ADEG ACDA CDG11VVV22，只需求A CDGV即可.试题解析：（1）证明：在等腰梯形ABCD中，可设2ADCDAB，可求出2 3BD，4BC，在BCD中，222BCBDDC，BDDC，点A在平面BCD上的投影G落在BD上，AG

14、 平面BCD，平面ABD 平面BCD，AGCD，-10-又BDDC，AGBDG，CD 平面ABD，而CD 平面ACD，平面ACD 平面ABD.（2）解：因为2ADAB，所以ABDADB，又ADBC，所以ADBCBD，因为60ABC，所以30ABD，解得1AG，因为E为AC中点，三棱锥GADE的体积与三棱锥GCDE的体积相等，所以1122G ADEG ACDA CDGVVV,因为113123323A CDGV ，所以1326GADEA CDGVV.19某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数）分成六段：，后得到如图的频

15、率分布直方图 （1）求图中实数a的值；（2）若该校高一年级共有学生 640 人，试估计该校高一年级 期中考试数学成绩不低于 60 分的人数；（3）若从数学成绩在40,50与90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率 试题分析：（1）由于图中所有小矩形的面积之和等于 1，所以10(0.0050.010.020.0250.01)1a 2 分 -11-解得0.03a 3 分（2）根据频率分布直方图，成绩不低于 60 分的频率 为1 10(0.0050.01)0.85 5 分 由于该校高一年级共有学生 640 人，利用样本估计总体的思想，可

16、估计该校高一年级数学成绩不低于 60 分的人数约为640 0.85544人 6 分（3）成绩在40,50分数段内的人数为40 0.052人，分别记为A，B 7 分 成绩在90,100分数段内的人数为40 0.14人，分别记为C，D，E，F 8 分 若从数学成绩在40,50与90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：,A B，,A C，,A D，,A E，,A F，,B C，,B D，,B E，,B F，,C D，,C E，,C F，,D E，,D F，,E F共 15 种 10 分 如果两名学生的数学成绩都在40,50分数段内或都在90,100分数段内，那么这两名学

17、生的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在40,50分数段内，另一个成绩在90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：,A B，,C D，,C E，,C F，,D E，,D F，,E F共 7 种 11 分 所以所求概率为715P M 12 分 20（12 分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为 F1（1，0），离心率22e （1）求椭圆 G 的标准方程；（2）已知直线11lykxm：与椭圆G 交于 A B，两点，直线2212lykxm

18、mm：（）与椭圆G 交于CD，两点，且ABCD，如图所示 -12-证明：120mm；求四边形ABCD 的面积S 的最大值【答案】（1）2212xy（2）见解析2 2 【解析】试题分析：(1)由题意结合椭圆的性质可求得1,2ca，则21b，椭圆方程为2212xy;(2)设出点的坐标：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），联立直线方程与椭圆的方程，结合弦长公式求得弦长，结合|AB|=|CD|得到关于实数m的等式，整理所得的等式可得m1+m2=0；由题意求得面积函数221212222212 21112mkmSkkk，结合均值不等式的结论可知当 2k2+1=2m12时

19、，四边形ABCD 的面积S 的最大值为2 2.试题解析：（1）设椭圆G的方程为（ab0）左焦点为F1（1，0），离心率e=c=1，a=，b2=a2c2=1 椭圆G 的标准方程为：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）证明：由消去y得（1+2k2）x2+4km1x+2m122=0，x1+x2=，x1x2=；-13-|AB|=2；同理|CD|=2，由|AB|=|CD|得 2=2，m1m2，m1+m2=0 四边形ABCD 是平行四边形，设AB，CD间的距离d=m1+m2=0，s=|AB|d=2=.所以当 2k2+1=2m12时，四边形ABCD 的面积S 的最大

20、值为 2 点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0 或不存在等特殊情形 21已知函数()(1)lnf xxx,3()lneg xxx.（）求函数()f x的单调区间；（）令()()()(0)h xmf xg xm两个零点1212,()x xxx，证明：121exex.【答案】（）()f x在(0,1)上单调递减，在1,)上单调递增.（）见证明【解析】【分析】（）求得函数的导数1()ln1fxxx，且()01f，进而

21、利用导数的符号，即可求得函数单调区间；（）由3()(1)lnlnh xm xxxxe有两个零点，利用导数求得函数 h x的单调性与最值，结合图象，即可得出证明 -14-【详解】（）由题意，函数()(1)lnf xxx，则1()ln1fxxx，且()01f，当01x时，()0fx，函数()f x单调递减；当1x 时，()0fx，函数()f x单调递增；所以函数()f x在(0,1)上单调递减，在1,)上单调递增.（）由3()(1)lnlnh xm xxxxe有两个零点可知 由11()(1ln)1h xmxxx 且0m 可知，当01x时，()0h x，函数 h x单调递减；当1x 时，()0h x

22、，函数 h x单调增；即()h x的最小值为3(1)10he，因此当1xe时，1113(1)2()(1)(1)(1)0m eehmeeeee ，可知()h x在1(,1)e上存在一个零点；当xe时，3()(1)10h em eee ，可知()h x在(1,)e上也存在一个零点，因此211xxee，即121xexe.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化

23、为函数的最值问题 22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos3sinxy（为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为2sin42（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点1,0P ，直线l和曲线C交于,A B两点，求|PAPB的值 -15-【答案】（1）22193xy，10 xy；（2）662.【解析】【分析】(1)利用三角恒等式消参得到曲线C的普通方程，利用极坐标公式得到直线l的直角坐标方程；（2）先证明点 P 在直线 l 上，再利用直线参数方程t 的几何意义解答.【详解】（1）因为曲线C的参数方程为3cos3sinxy（为参数

24、），所以曲线 C 的普通方程为22193xy.因为2sin42，所以sincos1,10 xy .所以直线l的直角坐标方程为10 xy.（2）由题得点1,0P 在直线 l 上，直线 l 的参数方程为21222xtyt ，代入椭圆的方程得22280tt，所以121 22+,402ttt t ，所以212121 266|PA|+|PB|=|()42ttttt t.【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程 t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23已知函数 210f xxaxa.（1）当1a 时，求不等式 4f x 的解集；（2）若

25、不等式 42f xx对任意的3,1x 恒成立，求a的取值范围.-16-【答案】（1）5|13xx x 或；（2）5,【解析】【分析】（1）利用零点分段法去绝对值，将不等式 4f x 转化为不等式组来求解得不等式 4f x 的解集.（2）化简不等式 42f xx为2xa，由此得到2ax或2ax ，结合恒成立知识的运用，求得a的取值范围.【详解】（1）当1a 时，121f xxx，故 4f x 等价于1314xx 或1134xx 或1314xx，解得1x 或53x.故不等式 4f x 的解集为5|13xx x 或.（2）当3,1x 时，由 42f xx得22240 xaxx，即2xa，即2ax或2ax 对任意的3,1x 恒成立.又max25x，min21x ，故a的取值范围为,15,.又0a，所以5a，综上，a的取值范围为5,.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.