北京市房山区2020届高三上学期期末考试数学试题Word版含解析5318.pdf

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1、房山区 2019-2020 学年度第一期末期末检测 高三数学 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1.已知集合12Axx，0,1,2,3B，则AB（）A.0,1 B.1,0,1 C.0,1,2 D.1,0,1,2【答案】C【解析】【分析】利用交集定义直接求解【详解】集合12Axx，B0，1，2，3，AB0，1，2 故选：C【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 2.已知复数i2iz，则z的虚部为（）A.13 B.23 C.13 D.23【答案】B【解析】【分析】利用复数的代

2、数形式的运算法则，先求出z，由此利用复数的定义能求出z的虚部【详解】2i ii12332i2i2iiz,故z的虚部为23 故选：B【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的代数形式的合理运用 3.等差数列na中，若1476aaa，nS为na的前n项和，则7S（）A.28 B.21 C.14 D.7【答案】C【解析】【分析】利用等差数列下角标性质求得4a，再利用求和公式求解【详解】等差数列na中，若1476aaa，则4436,2aa则74714Sa 故选：C【点睛】本题考查等数列的前n项公式，考查化简、计算能力，熟练运用等差数列下角标性质是关键，属于基础题 4.从2

3、020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3 门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成等级性考试成绩位次由高到低分为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C等级30%，D等级14%，E等级1%现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A或B等级的学生人数为（）A.55 B.80 C.90 D.110【答案】D【解析】【分析】利用抽样比求解【详解】设该样本中获得A或B等级的学生人数为x，则1540110200100 xx 故选：D【点睛】本题考查分层抽样的定义与应用，考查计算能力

4、，是基础题 5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.23 B.43 C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】将三视图还原，利用三棱锥体积公式求解【详解】三视图还原为如图所示的三棱锥：侧面SBC 底面ABC，且SBC为等腰三角形，ABC为直角三角形，故体积1122 2 1323V 故选：A 【点睛】本题考查三视图及锥体体积，考查空间想象能力，是基础题 6.若点55(cos,sin)66M在角的终边上，则tan2（）A.33 B.33 C.3 D.3【答案】D【解析】【分析】先求出点M的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求出 tan 的值,再利用二倍角公式求解【详解】55(cos,

5、sin)66M即为3 1,22M，则2 333tan,tan231313 故选：D【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，以及二倍角公式，属于容易题 7.已知双曲线C的方程为2214yx，点P，Q分别在双曲线的左支和右支上，则直线PQ的斜率的取值范围是（）A.(2,2)B.1 1(,)2 2 C.(,2)(2,)D.11(,)(,)22 【答案】A【解析】【分析】利用直线PQ的斜率与渐近线比较求解【详解】由题双曲线的渐近线斜率为2，当直线PQ的斜率为(2,2)时，满足题意，当直线PQ的斜率(,2)(2,)为时，交双曲线为同一支，故选：A【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查渐近线斜率，是

6、基础题 8.设a，b均为单位向量，则“a与b夹角为3”是“|3ab”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据向量数量积的应用，利用平方法求出向量夹角，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】由“|ab|3平方得|a|2+|b|2+2ab 3，即 1+1+2ab 3，得 2ab 1，a12b，则 cos1121 12a ba b，则a与b夹角 3，即“a与b夹角为3”是“|ab|3”的充分必要条件，故选：C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义结合向量数量积的应用进行化简

7、是解决本题的关键 9.如图，在正方体1111ABCDABC D中，M为棱AB的中点，动点P在平面11BCC B及其边界上运动，总有1APD M，则动点P的轨迹为（）A.两个点 B.线段 C.圆的一部分 D.抛物线的一部分【答案】B【解析】【分析】先找到一个平面总是保持与1D M垂直，取B1B的中点E，CB的中点F，连接AE，EF，在正方体ABCDA1B1C1D1中，可得AF面DMD1，MD1平面AEF即可得出【详解】如图，先找到一个平面总是保持与1D M垂直，取B1B的中点E，CB的中点F，连接AE，EF，AF,在正方体ABCDA1B1C1D1中，易证DMAF，1DDAF，则有AF面DMD1，

8、同理MD1AE，则MD1平面AEF 又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，根据平面的基本性质得：点P的轨迹为面AEF与面BCC1B1的交线段EF 故选：B 【点睛】本题考查线面垂直的判定与正方体的几何特征、轨迹的求法、平面的基本性质等基础知识，考查空间想象力属于基础题 10.已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名具体积分规则如表 1 所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表 2 表 1 田径综合赛项目及积分规则 项目 积分规则 100米跑 以13秒得60分为标准，每少0.1秒加5分，每多0.1秒扣5分 跳高 以1.2米得60分为标准，每多0.02米加2分，每少0.02

9、米扣2分 掷实心球 以11.5米得60分为标准，每多0.1米加5分，每少0.1米扣5分 表 2 某队模拟成绩明细 姓名 100 米跑（秒）跳高（米）掷实心球（米）甲 13.3 1.24 11.8 乙 12.6 1.3 11.4 丙 12.9 1.26 11.7 丁 13.1 1.22 11.6 根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是：（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B【解析】【分析】由得分规则计算甲乙丙丁四人各项得分进行判断即可【详解】由题，甲各项得分为：100 米跑 60-15=45 分；跳高 60+4=64；掷实心球 60+15=75；则总分为 45+64+75=184 乙各项

10、得分为：100 米跑 60+20=80 分；跳高 60+10=70；掷实心球 60-5=55，则总分为80+70+55=205 丙各项得分为：100 米跑 60+5=65 分；跳高 60+6=66；掷实心球 60+10=70，则总分为65+66+70=201 丁各项得分为：100 米跑 60-5=55 分；跳高 60+2=62；掷实心球 60+5=65，则总分为55+62+65=182,综上，乙得分最多 故选：B【点睛】本题考查数据分析及决策问题，理解题意是关键，是基础题 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。11.已知两点2,0A，0,2B，则以线段AB为直径的圆的方程为_【

11、答案】22112xy【解析】分析】根据中点坐标公式求圆心为（1，1），求两点间距离公式求 AB 的长并得出半径为2，写出圆的标准方程即可【详解】直径的两端点分别为（0，2），（2，0），圆心为（1，1），半径为2，故圆的方程为（x1）2+（y1）2=2 故答案为（x1）2+（y1）2=2【点睛】在确定圆的方程时，选择标准方程还是一般方程需要灵活选择，一般情况下易于确定圆或半径时选择标准方程，给出条件是几个点的坐标时，两种形式都可以此题选择标准形式较简单 12.函数 f(x)(x1)(xa)是偶函数，则 f(2)_【答案】3【解析】由 f(x)f(x)，得 a1，f(2)3.13.已知数列na满

12、足1nnaa，且其前n项和nS满足1nnSS，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式na _【答案】11(1)()2n或1n（答案不唯一）【解析】【分析】判断数列的特征，从数列的性质入手考虑解答【详解】设数列an的前n项和为Sn，且nN*，an+1an，说明数列是递增数列；1nnSS，说明数列项为负数；故数列的通项公式na 11(1)()2n或1n（答案不唯一）故答案为：11(1)()2n或1n（答案不唯一）【点睛】本题考查数列的性质，数列的应用，是基本知识的考查 14.已知()cos(2)(0)2+f xx，若()f x的最小正周期为_，若()()12f xf对任意的实数x都成立，则_.【答

13、案】(1).(2).6【解析】【分析】利用周期公式求解周期，利用函数12x 取最大值得值【详解】由题22T，若()()12f xf对任意的实数x都成立，则函数在12x 取最大值，故222,126kkkZ，又 026 故答案为：，6【点睛】本题考查余弦函数的周期性，考查函数的最值，熟记函数性质是关键，是基础题 15.已知函数2,1,()2,?1.xxxf xax 当1a 时，函数()f x的值域是_；若函数()f x的图象与直线1y 只有一个公共点，则实数a的取值范围是_【答案】(1).(,1 (2).(1,1【解析】【分析】（1）分段求值域，再求并集可得f（x）的值域；（2）转化为f（x）2x

14、a在1x 上与直线1y 只有一个公共点，分离a求值域可得实数a的取值范围【详解】（1）当a1 时，即当x1 时，f（x）21(1,1x ，当x1 时，f（x）2-x1，综上所述当a1 时，函数f（x）的值域是(,1，（2）由 21,1,f xxx无解，故f（x）2xa在1x 上与直线1y 只有一个公共点，则211xax有一个零点，即实数a的取值范围是(1,1 故答案为：(,1；(1,1【点睛】本题考查了分段函数的应用，同时考查了数形结合解决数学问题的能力，属于中档题，16.已知矩形ABCD中2AB，1AD，当每个(1,2,3,4,5,6)ii取遍时，123456|ABBCCDDAACBD的最小

15、值是_，最大值是_【答案】(1).0 (2).2 17【解析】【分析】建立直角坐标系，向量坐标化求模长的最值即可【详 解】建 立 如 图 所 示 坐 标 系：2,0,2,1,0,1BCD,则12345612345613562456|2,00,12,00,12,12,12222,ABBCCDDAACBD 由题意若使模长最大，则13242,2,不妨设为13242,2,则1234565656422,2ABBCCDDAACBD 当56562,0时模长最大为2 17 当1234561,1,1,1,1,1 时模长最小值为 0 故答案为：0；2 17 【点睛】本题考查向量坐标化的应用，建立坐标系是关键，考查

16、推理能力，考查计算与推理能力，是难题 三、解答题共 6 题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。17.如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，3 3AB，3CD，3 3sin14DBC，3C.（1）求sinBDC的值；（2）求BD，AD的值.【答案】（1）4 37；（2）7BD，7AD 【解析】【分析】（1）由同角三角函数基本关系得13cos14DBC，利用两角和的正弦及内角和定理展开求解即可（2）利用正弦定理得7BD，再利用余弦定理求解【详解】（1）3 3sin14DBC，22sincos1,02DBCDBCDBC，13cos14DBC 在BDC中，,3=CDBCCBDC，

17、sinsin()BDCDBCCsincoscossinDBCCDBCC3 3 11334 31421427（2）在BDC中，由正弦定理得sinsinCDBDDBCC，即33 33142BD 解得7BD，2ABDDBC，3 3sin14DBC，cosABD3 314，在ABD中，3 3AB，根据余弦定理，2222cosADABBDAB BDABD223 3(3 3)72 3 3 74914 解得7AD 【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 18.某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养茶业该县农科所为了对

18、比 A，B 两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了 A，B 两种茶叶各20亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：A：41.3，47.3，48.1，49.2，51.2，51.3，52.7，53.3，54.2，55.3，56.4，57.6，58.9，59.3，59.6，59.7，60.6，60.7，61.1，62.2；B：46.3，48.2，48.3，48.9，49.2，50.1，50.2，50.3，50.7，51.5，52.3，52.5，52.6，52.7，53.4，54.9，55.6，56.7，56.9，58.7；（1）从A，B两种茶叶亩产数据中各任取 1 个，求这两个数据都不低于55的概

19、率；（2）从B品种茶叶的亩产数据中任取2个，记这两个数据中不低于55的个数为X，求X的分布列及数学期望；（3）根据以上数据，你认为选择该县应种植茶叶A还是茶叶B？说明理由【答案】（1）11()=100P A；（2）分布列见解析，2()5E X；（3）答案不唯一，见解析【解析】【分析】（1）利用古典概型结合独立事件的概率求解（2）利用超几何分布求解（3）利用平均数和中位数大小比较即可【详解】（1）从 A 种茶叶亩产数据中任取一个，不低于 55 的有 11 个，从 B 种茶叶亩产数据中任取一个，不低于 55 的有 4 个，设“所取两个数据都不低于 55”为事件A，则11411()=2020100P

20、 A（2）X的所有可能取值为0,1,2 2016422060(0)=95C CP XC，1116422032(1)=95C CP XC，021642203(2)=95C CP XC，X的分布列为 X 0 1 2 P 1219 3295 395 期望123232()0121995955E X （3）如果选择A，可以从A的亩产数据的中位数或平均值比B高等方面叙述理由如果选择B，可以从B的亩产数据比A的方差小，比较稳定等方面叙述理由【点睛】本题考查古典概型及独立事件的概率，考查超几何分布，理解平均数中位数及方差的意义是关键，是中档题 19.如图，在四棱锥PABCD中，CD平面PAD，PAD为等边三角

21、形，/ADBC，22ADCDBC，E，F分别为棱PD，PB的中点 （1）求证：AE平面PCD；（2）求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；（3）在棱PC上是否存在点G，使得/DG平面AEF？若存在，求PGPC的值，若不存在，说明理由【答案】（1）见解析；（2）1717；（3）存在，45PGPC【解析】【分析】（1）证明CDAE和PDAE即可证明（2）取AD的中点O，连结,OP OB，得OPAD，以O为原点，以OAOBOP、所在直线分别为xy、z轴如图建系，求得两平面的法向量，利用二面角向量公式求解（3）假设棱PC上存在点G，使得/DG平面AEF，且设,0,1PGPC，求得平面AEF的法

22、向量，利用0DG n得45【详解】（1）因为CD平面PAD，AD平面PAD，AE 平面PAD，所以CDAD，CDAE 又因为PAD为等边三角形，E为PD的中点，所以PDAEPDCDD，所以AE平面PCD（2）取AD的中点O，连结,OP OB，则易知/OBCD，OB AD，OB OP因为PAD为等边三角形，所以OPAD 以O为原点，以OAOBOP、所在直线分别为xy、z轴如图建系，133(1,0,0),(,0,),(0,1,),(0,2,0)222AEFB(0,0 3),(1,2,0),(1,0,0)PCD，33(,0,)22AE ，1(,1,0)2EF 设平面AEF的法向量(,)nx y z，

23、则：00n AEn EF，即33022102xzxy，令2x，得平面AEF的一个法向量(2,1,2 3)n，易知平面PAD的一个法向量为(0,2,0)OB 217cos,172 4 1 12OB nOB nOB n 所以平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值为1717（3）假设棱PC上存在点G，使得/DG平面AEF，且设,0,1PGPC，则PGPC，(1,2,3)PC ，则(,2,33)G，(1,2,33)DG，要使得/DG平面AEF，则222660DG n，得45，所以线段PC上存在点G，使得/DG平面AEF，45PGPC【点睛】本题考查线面垂直的判定，考查向量法求解二面角及线面平行问题

24、，考查计算能力，是中档题 20.已知椭圆E：22221(0)xyabab的右焦点为(2,0)，且经过点(0,2)（1）求椭圆的方程以及离心率；（2）若直线ykxm与椭圆E相切于点P，与直线4x 相交于点Q在x轴是否存在定点M，使MPMQ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）22184xy，22e；（2）存在定点M，M为(2 0)，【解析】【分析】（1）利用2c，2b，2228abc求解方程（2）设直线方程为ykxm，与椭圆联立利用判别式等于 0 得2284mk，并求得切点坐标84(,)kPmm及(4,4)Qkm，假设存在点,0M t，利用0MP MQ化简求值【详解】（1）由

25、已知得，2c，2b，2228abc，椭圆的方程为22184xy，离心率为22cea；（2）在x轴存在定点M，M为(2 0)，使MPMQ，证明：设直线方程为ykxm 代入22184xy得222()8xkxm，化简得222()214280kxkmxm 由222(4)4(21)(28)0kmkm，得22840km，2284mk，设00(,)P xy，则022821kmkxkm，2200884kmkykxmkmmmm，则84(,)kPmm，设1(4,)Qy，则14ykm，则(4,4)Qkm 假设存在点,0M t 001(,)(,)MP MQxt yt y 0012(2)xy y 282(2)0kttm

26、解得2t 所以在x轴存在定点2 0，M使MPMQ【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查切线的应用，利用判别式等于 0 得坐标是解决问题的关键,考查计算能力,是中档题 21.已知函数()(21)ln1f xxxx.（1）求曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程；（2）求证：()1f x .【答案】（1）22yx；（2）见解析【解析】【分析】(1)求导得直线的斜率利用点斜式得方程(2)求导构造新函数证明()1minf x 即可【详解】（1）由()(21)ln1f xxxx，得1()2ln3fxxx，(1)2(1)0ff，则切线方程为22yx.（2）1()2ln3,(0,)fxxxx，令

27、1()2ln3,(0,)h xxxx，222121()0 xh xxxx，故()h x在(0,)上单调递增.又1(1)20,()1 ln4ln024ehh，又()h x在(0,)上连续，01(,1)2x使得0()0h x，即0()0fx，0012ln30 xx.（*）(),()fxf x随x的变化情况如下：x 0(0,)x 0 x 0(,)x()fx 0 ()f x 极小值 min0000()()(21)ln1f xf xxxx.由（*）式得0013ln22xx，代入上式得 min0000001313()()(21)()122222f xf xxxxxx .令131()2,(,1)222t x

28、xxx，221(12)(12)()2022xxt xxx，故()t x在1(,1)2上单调递减.()(1)t xt，又(1)1t，.即0()1f x()1f x.【点睛】本题考查导数的集合意义,考查导数证明不等式,转化为求函数最值是解题的关键,考查推理及变形能力,是中档题 22.设n为给定的不小于5的正整数，考察n个不同的正整数1a，2a，na构成的集合12,nPa aa，若集合P的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等，则称集合P为“差异集合”（1）分别判断集合1,3,8,13,23A，集合1,2,4,8,16B 是否是“差异集合”；（只需写出结论）（2）设集合12,nPa aa是“差

29、异集合”，记12(1,2,)iiibain，求证：数列 ib的前k项和0kD(1,2,)kn；（3）设集合12,nPa aa是“差异集合”，求12111naaa的最大值【答案】（1）集合A不是，集合B是；（2）见解析；（3）最大值为1122n【解析】【分析】（1）利用定义直接判断（2）利用定义得1221kkaaa，则 0111212(2)(2)(2)()(21)0kkkkkDaaaaaa即可证明（3）不妨设123naaaa，变形11231111111(1)()()()242nnaaaa 1212211122311111111()()()222222nnnnnnnnDDDDaaaaaaa0结合1

30、11111122422nn，112111122nnaaa即可证明【详解】（1）集合A不是，因为1 233 8 13 ，即子集1,23与子集3,8,13元素之和相等；集合B是，因为集合B的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等.（2）由集合P是“差异集合”知：123,ka a aa的21k个非空子集元素和为互不相等的21k个正整数，于是1221kkaaa，所以 0111212(2)(2)(2)()(21)0kkkkkDaaaaaa（3）不妨设123naaaa，考虑 11231111111(1)()()()242nnaaaa131211234212242nnnnaaaaaaaa 3211211123242nnnnDDDDDDDaaaa1212211122311111111()()()222222nnnnnnnnDDDDaaaaaaa0 而111111122422nn，所以112111122nnaaa 当11,2,4,2nP时，112111122nnaaa；综上，12111naaa的最大值为1122n.【点睛】本题考查集合新定义问题，考查变形推理能力，准确理解题意进行转化是关键，是难题