甘肃省白银市会宁县第一中学2020届高三上学期12月月考数学(文)试题Word版含解析5058.pdf

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1、会宁一中 2020 届高三级第四次月考 数学（文科）试题 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3考试结束后，只将答题卡上交.一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.下列函数中，既是偶函数又在0,上单调递增的是()A.lnyx B.2yx C.xye D.cosyx【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的定义，可得A，B，D是偶函数，再利用函数单调性的性质，即可得出结论【详解】根据偶函数的定义 f xfx，可得A，B，D是偶函数，

2、B在0,上单调递减，D在0,上有增有减，A在0,上单调递增，故选A【点睛】本题考查函数单调性的性质，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，比较基础 2.已知复数z满足ziiz，则z（）A.1122i B.1122i C.1122i D.1122i【答案】A【解析】设(,)zabi a bR，则由已知有,(1)zizi abibai ，所以1abba ，解得1212ab ，所以11i22z，故1122zi，选 A.3.已知向量(2,3),(,4)abx，若()aab，则x（）A.1 B.12 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】可求出21abx，根据aab即可得出0aab，进行数量积

3、的坐标运算即可求出x【详解】21abx，；aab；2 230aabx；解得12x 故选 B.【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题 4.设a，b是两条直线，是两个平面，则“ab”的一个充分条件是（）A.a，b/，B.a，b，/C.a，b，/D.a，b/，【答案】C【解析】【分析】根据题意，可画出错误选项的反例，结合图象，即可求解，得到答案.【详解】由题意，如图所示，若,/,ab，则直线,a b可能是平行的，所以 A项不正确；若,/ab，则直线,a b可能是平行的，所以 B 项不正确；若,/,ab，则直线,a b可能是平行的，所以 D 项不正确；若,/ab，则

4、直线ab是成立的.故选：C.【点睛】本题主要考查了充分条件的应用，以及线面垂直、平行的性质，面面垂直、平行的性质的应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定和性质定理，以及合理举反例求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.5.已知双曲线离心率2e,与椭圆221248xy有相同的焦点,则该双曲线渐近线方程是()A.13yx B.33yx C.3yx D.2 3yx 【答案】C【解析】【分析】先求出椭圆221248xy的焦点4,0和4,0，所以双曲线方程可设为22221xyab，所以其渐近线方程为byxa，由题意得双曲线的4c，再根据其离心率2e，求出a，根据222cab，得到b，从而

5、得到双曲线的渐近线方程，求出答案.【详解】因为椭圆221248xy，其焦点为4,0和4,0，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以设双曲线的方程为22221xyab，则其渐近线方程为byxa，且双曲线中4c 因为双曲线的离心率2cea，所以2a，又因双曲线中222cab 所以22212bca，即2 3b，所以双曲线的渐近线方程为3yx 故选 C 项.【点睛】本题考查根据双曲线的离心率和焦点求,a b c，双曲线的渐近线，属于简单题.6.已知曲线 cos3f xxxx在点 0,0f处的切线与直线410axy 垂直，则实数a的值为（）A.-4 B.-1 C.1 D.4【答案】C【解析】【分析】先求出

6、f x在点 0,0f处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出a的值.【详解】由题意，cossin3fxxxx，0cos034f ，则曲线 f x在点 0,0f处的切线斜率为 4，由于切线与直线410axy 垂直，则414a，解得1a.故选 C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算能力，属于基础题.7.如图，三棱锥ABCD的所有顶点都在球O的表面上，平面ABD 平面BCD，1BCCDAD，2BD，3AB，则球O的表面积为（）A.3 B.6 C.8 D.12【答案】A【解析】【分析】根据题目所给数据，得出BCCD，ADBD，通过证明线面垂直，可得BCAC，即AB

7、是直角三角形,ABC ABD的斜边，从而得到AB就是三棱锥ABCD外接球的直径，根据AB长度可以求出球的表面积.【详解】由条件知BCCD，ADBD 因为平面ABD 平面BCD，且交线为BD，AD平面BCD，ADBC，ADCDD，BC 平面ACD，BCAC，所以球O的直径为23ABR，所以243SR，故选 A【点睛】本题考查球的表面积，通过发现直角三角形有公共的斜边，从而得到外接球的直径是关键，是中档题.8.在ABC中，,a b c分别是角,A B C的对边,若sin3 cos0bAaB,且2bac，则acb的值为()A.2 B.2 C.22 D.4【答案】A【解析】【分析】由正弦定理，化简求得

8、sin3cos0BB，解得3B，再由余弦定理，求得224bac，即可求解，得到答案【详解】在ABC中，因为sin3 cos0bAaB,且2bac，由正弦定理得sinsin3sincos0BAAB，因为(0,)A，则sin0A，所以sin3cos0BB，即tan3B，解得3B，由余弦定理得222222222cos()3()3bacacBacacacacacb，即224bac，解得2acb，故选 A【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定

9、理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.9.已知函数()sin()(0,0,0)f xAxA的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数()f x的周期为 B.函数()yf x为偶函数 C.函数()f x在,4上单调递增 D.函数()f x的图象关于点3(,0)4对称【答案】C【解析】【分析】观察图象由最值求A，然后由函数所过的点50,3,24，求出,，可求函数的解析式，进而研究函数性质即可得出结论【详解】观察图象可得，函数的最小值2，所以2A，又由图像可知函数过50,3,24，即325224sinsin 结合0,0可得14,153，则 142153fxsinx，显然 A 选项

10、错误；对于 B，1414221531515fxsinxsinx，不是偶函数，B 错；对于 D，当3143722041543103fsinsin，故 D 错误，由此可知选 C.【点睛】点睛：本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出A,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求，是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点 10.已知抛物线y22px(p0)的焦点F恰好是双曲线22221,(0,0)xyabab的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则该双曲线的离心率为()A.2 B.

11、3 C.12 D.13【答案】C【解析】由 题 意 可 设 两 曲 线 的 交 点 为(,)(,2)2ppcc在 双 曲 线22221xyab上，即2222222222244122cccbbaccaacabba 2210112eeee ，选 C.【此处有视频，请去附件查看】11.设E，F分别是正方体1111ABCDABC D的棱DC上两点，且2AB，1EF，给出下列四个命题:三棱锥11DB EF的体积为定值;异面直线11D B与EF所成的角为45;11D B 平面1B EF;直线11D B与平面1D EF所成的角为60.其中正确的命题为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意画出

12、图形，结合图形求出三棱锥11DB EF的体积为定值；根据11/EFDC，转化为11DC与11D B所成的角；利用反正法判11D B与平面1B EF不垂直；平面1D EF即为平面11DC CD,故直线11D B与平面1D EF所成的角是为111C D B【详解】解：如图所示，三棱锥11DB EF的体积为111111222 13323D EFVSBC 为定值，正确；11/EFDC，111B DC是异面直线11D B与EF所成的角为45，正确；若11D B 平面1B EF，则11D BEF，而11/EFDC故1111D BD C,而11D B与11DC所成角为45，错误；平面1D EF即为平面11D

13、C CD,故直线11D B与平面1D EF所成的角是为11145C D B，错误 综上，正确的命题序号是 故选：A【点睛】本题考查了空间中的线线，线面的位置关系和体积应用问题，是基础题 12.若,x a b均为任意实数，且22231ab，则22lnxaxb 的最小值为（）A.3 2 B.18 C.3 21 D.196 2【答案】D【解析】【分析】该题可以看做是圆上的动点到曲线lnyx上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线lnyx上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点

14、，代入求得结果.【详解】由题意可得，其结果应为曲线lnyx上的点与以2,3C 为圆心，以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线lnyx上的点与圆心2,3C 的距离的最小值，在曲线lnyx上取一点,lnM mm，曲线有lnyx在点 M 处的切线的斜率为1km，从而有1CMkk，即ln3 112mmm，整理得2ln230mmm，解得1m，所以点1,0满足条件，其到圆心2,3C 的距离为222 1303 2d ，故其结果为23 21196 2，故选 D.【点睛】本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分

15、共 20 分 13.在数列 na中，11nnaa，nS为 na的前 n 项和 若735S，则3a _ 【答案】4【解析】【分析】根据等差数列的定义可知数列为等差数列，再利用等差数列的前 n 项和公式与通项公式求解即可.【详解】在数列 na中，11nnaa，可知数列 na是公差为 1 的等差数列，故7177 171352Sa ，解得12a ，故312224aad 故填：4【点睛】本题考查了根据定义判断等差数列，考查了等差数列的基本量运算，涉及了等差数列的前 n 项和公式与通项公式.14.若实数 x，y 满足条件32122800 xyxyxy，则34zxy的最大值为_.【答案】18【解析】绘制不等

16、式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点2,3p处取得最大值，最大值为：max343 24 318zxy .故答案 18 15.若圆C：22(1)xyn的圆心为椭圆M：221xmy的一个焦点，且圆C经过M的另一个焦点，则nm_【答案】8【解析】211110(1 1)4,8.2nmnnmm 16.设函数 221log1xxf xx x，2g xf xxa.若()g x存在两个零点，则a的取值范围是_【答案】4,2)【解析】【分析】2g xf xxa,若 g x存在两个零点，即 2f xx a,和 g(x)有两个不同的交点即可，画出图象，使得两个函数图像有 2 个交点，找

17、到两个临界即可.【详解】2g xf xxa,若 g x存在两个零点，即 2f xx a,和 g(x)有两个不同的交点即可，其中一个临界是过点（1，0）代入得到 a=2,且能取到，另一个临界是过点（1，2），代入得到 a=-4.故范围是4,2.故答案为4,2 【点睛】函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以 e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字

18、说明，证明过程或演算步骤.17.已知等差数列 na的前n项和为nS，等比数列 nb的前n项和为nT，且11a，11b，224ab.（1）若337ab，求 nb的通项公式；（2）若313T，求5S.【答案】（1）12nnb；（2）5 或75.【解析】【分析】（1）设等差数列 na公差为d，等比数列 nb公比为0q q，由已知条件求出q，再写出通项公式；（2）由1313T，求出q的值，再求出d的值，求出5S.【详解】设等差数列 na公差为d，等比数列 nb公比为0q q 有14dq，即3dq.（1）21 27dq，结合3dq得2q，12nnb.（2）23113Tqq，解得4q 或 3，当4q 时，

19、7d，此时55 457752S；当3q 时，0d，此时5155Sa.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,nna d n aS一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2pqmnraaaaa（2pqmnr）与前n 项和的关系.18.已知圆 C 经过点2,1A，且与直线1xy相切，圆心 C直线2yx 上.（1）求圆 C 的方程；（2）过原点的直线l截圆 C 所得的弦长为 2，求直线l的方程.【答案】（1）22(1)(2)2

20、xy；（2）0 x 或340 xy.【解析】【分析】（1）先 由 题 意，设,2C aa，半 径 为r（0r），得 到 圆 C 的 方 程 为222()(2)xayar；根据题意，得到222(2)(12)211 1aaraar ，解方程组，即可求出结果；（2）分别讨论直线l的斜率不存在，直线l的斜率存在两种情况，根据弦长公式，以及题中条件，即可求出结果.【详解】（1）因为圆心 C 在直线2yx 上，所以可设,2C aa，半径为r（0r），则圆 C 的方程为222()(2)xayar；又圆 C 经过点2,1A，且与直线1xy相切，所以222(2)(12)211 1aaraar ，解得12ar，所

21、以圆 C 的方程为22(1)(2)2xy；（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：0 x，此时直线l截圆 C 所得的弦长22212r-=，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx，则圆心到直线l的距离为221kdk+=+，又直线l截圆 C 所得的弦长为 2，所以有2222rd-=，即22211kk骣+琪琪=琪琪桫+，解得34k ；此时直线方程为：340 xy；故所求直线方程为：0 x 或340 xy.【点睛】本题主要考查求圆的方程，以及由圆的弦长求直线方程的问题，熟记待定系数法求圆的标准方程，以及几何法表示弦长即可，属于常考题型.19.四棱锥SABCD的底面ABCD为直角梯

22、形，/ABCD，ABBC，222ABBCCD，SAD为正三角形 （1）点M为棱AB上一点，若/BC平面SDM，AMAB，求实数的值；（2）若BCSD，求点B到平面SAD的距离【答案】（1）12；（2）2 33.【解析】【分析】（1）本题首先可以通过/BCSDM平面证出/BCDM，再通过/ABCD得知四边形BCDM为平行四边形，最后通过2ABCD得出结果；（2）本题可以通过等面积法来求出点B到平面SAD的距离，即作SE 直线CD于点E，然后通过B ASDSABDVV来求出结果【详解】(1)因为/BC平面SDM，BC 平面ABCD，平面SDM平面ABCDDM，所以/BCDM，因为/ABCD，所以四

23、边形BCDM为平行四边形，又2ABCD，所以M为AB的中点 因为AMAB，所以12（2）因为BCSDBCCD，所以BC 平面SCD，又因为BC 平面ABCD，所以平面SCD 平面ABCD，平面SCD平面ABCDCD，如图，在平面SCD内过点S作SE 直线CD于点E，则SE 平面ABCD，在Rt SEA和Rt SED中，因为SASD，所以2222AESASESDSEDE，又由题知45EDA，所以AEED，由已知求得2AD，所以1AEEDSE，连接BD，则111 133SABDV ，又求得SAD的面积为32，所以由B ASDSABDVV可知点B到平面SAD的距离为2 33【点睛】本题考查解析几何的

24、相关性质，考查线面平行、线面垂直、面面垂直、三棱锥面积公式等相关知识，考查推理能力与计算能力，考查数形结合思想，考查辅助线的构造，是难题 20.已知椭圆C：22221(0)xyabab的长轴长是短轴长的2倍，且经过点2,1.（1）求C标准方程；（2）C的右顶点为A，过C右焦点的直线l与C交于不同的两点M，N，求AMN面积的最大值.【答案】（1）22142xy；（2）22【解析】【分析】（1）利用已知条件，结合椭圆方程求出,a b，即可得到椭圆方程（2）设出直线方程，联立椭圆与直线方程，利用韦达定理，弦长公式，列出三角形的面积，再利用基本不等式转化求解即可【详解】（1）解：由题意222,211,

25、abab解得2a，2b，所以椭圆的标准方程为22142xy（2）点(2,0)A，右焦点2,0F，由题意知直线l的斜率不为 0，故设l的方程为2xmy，11,M x y，22,N xy，联立方程得221422xyxmy，消去x，整理得22(2)2 220mymy，216(1)0m，1222 22myym，12222y ym，212121222222222 2)224281mmyyyyy ymmm16（2122412myym 121222AMNSyy 2212 222mm2212 2222111mm，当且仅当0m 时等号成立，此时l：2x，所以AMN面积的最大值为22【点睛】本题考查椭圆的性质和方

26、程的求法，考查联立直线方程和椭圆方程消去未知数，运用韦达定理化简整理和运算能力，属于中档题 21.已知函数 ln1f xaxxa（a为实数常数）（1）当0a 时，求函数 f x在1,上的单调区间；（2）当1x 时，2f xax成立，求证：21ae【答案】(1)单调递增区间是1,ae，单调递减区间是,ae(2)证明见解析【解析】【分析】（1）先求出函数 f x的导函数 lnfxaxa，再解不等式 0fx与 0fx，从而求出函数的单调区间；（2）当1x 时，由 2f xax等价于ln10axaxa恒成立，再分别讨论：当0a 时，当1a 时，当01a时，利用导数研究函数的单调性及最值从而得解.【详解

27、】解：（1）因为 ln1f xaxxa，所以 1ln1lnfxaxaxaxax，当0a 时，由 0fx得ln0 xa，解得1axe，由 0fx得ln0 xa，解得axe，所以函数 f x在1,的单调递增区间是1,ae，单调递减区间是,ae （2）当1x 时，由 2f xax得ln10axxaxa 即ln10axaxa恒成立（*），设 ln11g xxaxax，则 11gxa xx，由题可知0a 当0a 时，0gx，所以 g x在1,上单调递增，11g xg，可知01x且01x 时，00g x，使得 000axg x，可知（*）式不成立，则0a 不符合条件；当1a 时，0gx，所以 g x在1,

28、上单调递减，110g xg ，可知（*）式成立，则1a 符合条件，所以21ae成立；当01a时，由 0gx得11xa，由 0gx得1xa，所以 g x在11,a上单调递增，可知 g x在1,a上单调递减，所以 max1ln2g xgaaa，由（*）式得ln20aa，设 ln2h aaa，则 110h aa，所以 h a在0,1上单调递减，而2211220hee，0h a，可知21ae 综上所述，21ae【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间及由不等式恒成立求参数的范围，重点考查了不等式与函数的相互转化，属中档题.请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做则按所做的第一题记分.22

29、.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos1sinxryr（0r，为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的坐标方程为sin13，若直线l与曲线C相切.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在曲线C上取两点M、N于原点O构成MON，且满足6MON，求面积MON的最大值.【答案】（1）4sin3；（2）23.【解析】【分析】（1）求出直线l的直角坐标方程为y3x2，曲线C是圆心为（3，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，求出r2，曲线C的普通方程为（x3）2+（y1）24，由此能求出曲线C的极坐标方程（2）设M（1，），N（2，6），（10，20），由126

30、MONSOM ON sin2sin（23）3，由此能求出MON面积的最大值【详解】（1）由题意可知将直线l的直角坐标方程为32yx，曲线C是圆心为3,1，半径为r的圆，直线l与曲线C相切，可得：3?31222r；可知曲线C的方程为22314xy，曲线C的极坐标方程为22 3 cos2 sin0，即4sin3.（2）由（1）不妨设1,M，2,6N，120,0 21211sin?4sin?sin2sin cos2 3cos26432MONSOM ON sin23cos232sin 233.当12时，23MONS，MON面积的最大值为23.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最

31、大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 23.已知函数 23f xxxm的定义域为R；（1）求实数m的取值范围；（2）设实数t为m的最大值，若实数a，b，c满足2222abct，求222111123abc的最小值【答案】（1）3m；（2）35【解析】试题分析：（1）由题意可知23xxm恒成立，令 23g xxx，分类讨论得到其解析式，通过作图发现其最大值，即可得到实数m的取值范围；（2）由（1）可知2229abc，所以22212315abc，22222222211112311112312315abcabcabc 可求其最小值.试题解析：（1）由题意可知23xxm恒成立，令 23g xxx，去绝对值可得：6,32363,(03)6,0 xxg xxxxxxx，画图可知 g x的最小值为-3，所以实数m的取值范围为3m；（2）由（1）可知2229abc，所以22212315abc，22222222211112311112312315abcabcabc 22222222222221313239312132315155bacacbabacbc，当且仅当2221235abc，即2224,3,2abc等号成立，所以222111123abc的最小值为35