【精品】北京市东城区九年级数学上册期末试卷(及答案)57792.pdf

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1、北京市东城区九年级数学上册期末试卷（含答案）（时间：120 分钟 满分：100 分）一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1如图，O是ABC的外接圆，A=50，则BOC的大小为 A40 B30 C80 D100 2已知ABCA B C，如果它们的相似比为 23，那么它们的面积比是 A3:2 B 2:3 C4:9 D9:4 3已知A为锐角，且 sinA12，那么A等于 A15 B30 C45 D60 4下面是一个反比例函数的图象，它的表达式可能是 A2yx B4yx C3yx D12yx 第 1 题图 yxO第 4 题图 DCBAO第5题图

2、5正方形 ABCD 内接于O，若O的半径是2，则正方形的边长是 A1 B2 C2 D2 2 6如图，线段BD，CE相交于点A，DEBC若BC3，DE1.5，AD2，则AB的长为 A2 B3 C4 D5 7若要得到函数21+2yx的图象，只需将函数2yx的图象 A先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度 B先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度 C先向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度 D先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度 8.如图，一条抛物线与 x 轴相交于 M，N 两点（点 M 在点 N 的左侧），其顶点 P 在线段 AB 上

3、移动，点 A，B 的坐标分别为（-2，-3），（1，-3），点 N 的横坐标的最大值为 4，则点 M 的横坐标的最小值为 A.-1 B.-3 C.-5 D.-7 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9二次函数241yxx2图象的开口方向是_.10RtABC 中，C=90，AC=4，BC=3，则 tanA 的值为.11.如图，为了测量某棵树的高度，小颖用长为 2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时竹竿与这一点距离相距 6m，与树相距 15m，那么这棵树的高度为.DECBA第 6 题图 yxPNMBAO第 8 题图 12.已知一个扇形的半径是 1

4、，圆心角是 120，则这个扇形的弧长是.13.如图所示的网格是正方形网格，则 sinBAC与 sinDAE的大小关系是.14.写出抛物线 y=2(x-1)2图象上一对对称点的坐标，这对对称点的坐标可以是和.15.如图，为测量河内小岛 B 到河边公路l的距离，在l上顺次取 A，C，D 三点，在A 点测得BAD=30，在C 点测得BCD=60，又测得AC=50米，则小岛 B 到公路l的距离为米 16.在平面直角坐标系xOy内有三点：（0，-2），（1，-1），（2.17，0.37）.则过这三个点（填“能”或“不能”）画一个圆，理由是.三、解答题（本题共 68 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明

5、过程 17（5 分）计算：（+）0+2sin60（）2 18（5 分）如图，在ABC 中，AB=AC，BD=CD，CEAB 于 E求证：ABDCBE 11 题图 13 题图 19（5 分）已知二次函数 y=x2+2x3（1）将 y=x2+2x3 用配方法化成 y=a（xh）2+k 的形式；（2）求该二次函数的图象的顶点坐标 20（5 分）先化简，再求值：（m+），其中 m 是方程 x2+x3=0 的根 21（5 分）在平面直角坐标 xOy 中的第一象限内，直线 y1=kx（k0）与双曲 y2=（m0）的一个交点为 A（2，2）（1）求 k、m 的值；（2）过点 P（x，0）且垂直于 x 轴的直

6、线与 y1=kx、y2=的图象分别相交于点 M、N，点 M、N 的距离为 d1，点 M、N 中的某一点与点 P的距离为 d2，如果 d1=d2，在下图中画出示意图并且直接写出点 P 的坐标 22（5 分）如图，小明想知道湖中两个小亭 A、B 之间的距离，他在与小亭 A、B 位于同一水平面且东西走向的湖边小道上某一观测点 M处，测得亭 A 在点 M 的北偏东 60，亭 B 在点 M 的北偏东 30，当小明由点 M 沿小道向东走 60 米时，到达点 N 处，此时测得亭 A 恰好位于点 N 的正北方向，继续向东走 30 米时到达点 Q 处，此时亭 B 恰好位于点 Q 的正北方向根据以上数据，请你帮助

7、小明写出湖中两个小亭 A、B 之间距离的思路 23（5 分）已知二次函数 y=kx2+（k+1）x+1（k0）（1）求证：无论 k 取任何实数时，该函数图象与 x 轴总有交点；（2）如果该函数的图象与 x 轴交点的横坐标均为整数，且 k 为整数，求 k 值 24（5 分）如图，在 RtABC 中，ACB=90，点 D 是 AB 边上一点，以 BD 为直径的O 与边 AC 相切于点 E，连接 DE 并延长 DE 交 BC 的延长线于点 F（1）求证：BD=BF；（2）若 CF=2，tanB=，求O 的半径 25（6 分）如图 1，点 C 是O 中直径 AB 上的一个动点，过点 C 作CDAB 交

8、O 于点 D，点 M 是直径 AB 上一固定点，作射线 DM 交O于点 N已知 AB=6cm，AM=2cm，设线段 AC 的长度为 xcm，线段 MN 的长度为 ycm 小东根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量的变化而变化的规律进行了探索 下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了与 y 的几组值，如下表：x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y/cm 4 3.3 2.8 2.5 2.1 2（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）在图 2 中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当

9、AC=MN 时，x 的取值约为 cm 26（7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示（1）求二次函数的表达式；（2）函数图象上有两点 P（x1，y），Q（x2，y），且满足 x1x2，结合函数图象回答问题；当 y=3 时，直接写出 x2x1的值；当 2x2x13，求 y 的取值范围 27（7 分）如图 1 有两条长度相等的相交线段 AB、CD，它们相交的锐角中有一个角为 60，为了探究 AD、CB 与 CD（或 AB）之间的关系，小亮进行了如下尝试：（1）在其他条件不变的情况下使得 ADBC，如图 2，将线段 AB 沿AD 方向平移 AD 的长度，得

10、到线段 DE，然后联结 BE，进而利用所学知识得到 AD、CB 与 CD（或 AB）之间的关系：；（直接写出结果）（2）根据小亮的经验，请对图 1 的情况（AD 与 CB 不平行）进行尝试，写出 AD、CB 与 CD（或 AB）之间的关系，并进行证明；（3）综合（1）、（2）的证明结果，请写出完整的结论：28（8 分）以点 P 为端点竖直向下的一条射线 PN，以它为对称轴向左右对称摆动形成了射线 PN1，PN2，我们规定：N1PN2为点 P 的“摇摆角”，射线 PN 摇摆扫过的区域叫作点 P 的“摇摆区域”（含 PN1，PN2）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（2，3）（1）当点 P 的摇

11、摆角为 60时，请判断 O（0，0）、A（1，2）、B（2，1）、C（2+，0）属于点 P 的摇摆区域内的点是 （填写字母即可）；（2）如果过点 D（1，0），点 E（5，0）的线段完全在点 P 的摇摆区域内，那么点 P 的摇摆角至少为 ；（3）W 的圆心坐标为（a，0），半径为 1，如果W 上的所有点都在点 P 的摇摆角为 60时的摇摆区域内，求 a 的取值范围 答 案 一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B B B C A C 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9.下 1

12、0.34 11.m712.3213.sinBACsinDAE 14.(2，2)，(0，2)(答案不唯一)15.25 316.能，因为这三点不在一条直线上.三、解答题（本题共 68 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17（5 分）计算：（+）0+2sin60（）2【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值【解答】解：原式=1+224=3【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 18（5 分）如图，在ABC 中，AB=AC，BD=CD，CEAB 于 E求证：ABDCBE 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得 ADBC，然后求出

13、ADB=CEB=90，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明 【解答】证明：在ABC 中，AB=AC，BD=CD，ADBC，CEAB，ADB=CEB=90，又B=B，ABDCBE【点评】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，比较简单，确定出两组对应相等的角是解题的关键 19（5 分）已知二次函数 y=x2+2x3（1）将 y=x2+2x3 用配方法化成 y=a（xh）2+k 的形式；（2）求该二次函数的图象的顶点坐标【分析】（1）利用配方法先加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，再把一般式转化为顶点式即可；（2）根据顶点坐标的求法，得出顶点坐标即可；【解答】解：（1）y=

14、x2+2x3=x2+2x+14 =（x+1）24 （2）y=（x+1）24，该二次函数图象的顶点坐标是（1，4）【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的三种形式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a0，a、b、c 为常数）；（2）顶点式：y=a（xh）2+k；（3）交点式（与 x 轴）：y=a（xx1）（xx2）20（5 分）先化简，再求值：（m+），其中 m 是方程 x2+x3=0 的根【分析】根据分式的混合运算法则，化简后利用整体的思想代入计算即可【解答】解：原式=m（m+1）=m2+m，m 是方程 x2+x3=0 的根，m2+m3=0，即 m2+m=3，

15、则原式=3【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的法则，需要注意最后结果化成最简分式或整式 21（5 分）在平面直角坐标 xOy 中的第一象限内，直线 y1=kx（k0）与双曲 y2=（m0）的一个交点为 A（2，2）（1）求 k、m 的值；（2）过点 P（x，0）且垂直于 x 轴的直线与 y1=kx、y2=的图象分别相交于点 M、N，点 M、N 的距离为 d1，点 M、N 中的某一点与点 P的距离为 d2，如果 d1=d2，在下图中画出示意图并且直接写出点 P 的坐标 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）直线 y1

16、=kx（k0）与双曲 y2=（m0）的一个交点为 A（2，2），k=1，m=4，（2）直线 y1=x，y2=，由题意：x=x 或 x=，解得 x=或，x0，x=或 2，P（，0）或（2，0）【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会利用构建方程的思想思考问题，属于中考常考题型 22（5 分）如图，小明想知道湖中两个小亭 A、B 之间的距离，他在与小亭 A、B 位于同一水平面且东西走向的湖边小道上某一观测点 M处，测得亭 A 在点 M 的北偏东 60，亭 B 在点 M 的北偏东 30，当小明由点 M 沿小道向东走 60 米时，到达点 N 处，此时测得亭 A 恰好位于点 N

17、的正北方向，继续向东走 30 米时到达点 Q 处，此时亭 B 恰好位于点 Q 的正北方向 根据以上数据，请你帮助小明写出湖中两个小亭 A、B 之间距离的思路 【分析】如图，由题意AMN，BMQ 都是直角三角形，作 AHBQ 于H，只要求出 AH、BH 即可利用勾股定理求出 AB 的长【解答】解：如图，由题意AMN，BMQ 都是直角三角形，作 AHBQ 于 H，只要求出 AH、BH 即可利用勾股定理求出 AB 的长 易知四边形 ANQH 是矩形，可得 AH=NQ=30 米，在 RtAMN 中，根据 AN=QH=MNtan30=20米，在 RtMBQ 中，BQ=MQtan60=90，可得 BH=B

18、QQH=70米，由此即可解决问题 【点评】本题考查勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题 23（5 分）已知二次函数 y=kx2+（k+1）x+1（k0）（1）求证：无论 k 取任何实数时，该函数图象与 x 轴总有交点；（2）如果该函数的图象与 x 轴交点的横坐标均为整数，且 k 为整数，求 k 值【分析】（1）根据根的判别式可得结论；（2）利用求根公式表示两个根，因为该函数的图象与 x 轴交点的横坐标均为整数，且 k 为整数，可得 k=1【解答】（1）证明：=（k+1）24k1=（k1）20 无论 k 取任何实数时，该函数图象与 x 轴总有交点；

19、（2）解：当 y=0 时，kx2+（k+1）x+1=0，x=，x=，x1=，x2=1，该函数的图象与 x 轴交点的横坐标均为整数，且 k 为整数，k=1【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）的交点与一元二次方程 ax2+bx+c=0 根之间的关系：=b24ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数=b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；=b24ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；=b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点也考查了二次函数与一元二次方程的关系 24（5 分）如图，在 RtABC 中，ACB=90，点

20、D 是 AB 边上一点，以 BD 为直径的O 与边 AC 相切于点 E，连接 DE 并延长 DE 交 BC 的延长线于点 F（1）求证：BD=BF；（2）若 CF=2，tanB=，求O 的半径 【分析】（1）连接 OE，由 AC 为圆 O 的切线，利用切线的性质得到 OE垂直于 AC，再由 BC 垂直于 AC，得到 OE 与 BC 平行，根据 O 为 DB 的中点，得到 E 为 DF 的中点，即 OE 为三角形 DBF 的中位线，利用中位线定理得到 OE 为 BF 的一半，再由 OE 为 DB 的一半，等量代换即可得证；（2）设 BC=3x，根据题意得：AC=4x，AB=5x，根据 cosAO

21、E=cosB，可得=，即=，解方程即可；【解答】（1）证明：连接 OE，AC 与圆 O 相切，OEAC，BCAC，OEBC，又O 为 DB 的中点，E 为 DF 的中点，即 OE 为DBF 的中位线，OE=BF，又OE=BD，则 BF=BD；（2）解：设 BC=3x，根据题意得：AC=4x，AB=5x 又CF=2，BF=3x+2，由（1）得：BD=BF，BD=3x+1，OE=OB=，AO=ABOB=5x=，OEBF，AOE=B，cosAOE=cosB，即=，即=，解得：x=，则圆 O 的半径为=5 【点评】此题考查了切线的性质，锐角三角函数定义，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键

22、 25（6 分）如图 1，点 C 是O 中直径 AB 上的一个动点，过点 C 作CDAB 交O 于点 D，点 M 是直径 AB 上一固定点，作射线 DM 交O于点 N已知 AB=6cm，AM=2cm，设线段 AC 的长度为 xcm，线段 MN 的长度为 ycm 小东根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量的变化而变化的规律进行了探索 下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了与 y 的几组值，如下表：x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y/cm 4 3.3 2.8 2.5 3 2.1 2（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）在图 2 中建立平面直角坐标系，描

23、出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 AC=MN 时，x 的取值约为 2.7 cm【分析】（1）如图 11 中，连接 OD，BD、AN 利用勾股定理求出 DM，致力于相似三角形的性质求出 MN 即可；（2）利用描点法画出函数图象即可；（3）利用图象寻找图象与直线 y=x 的交点的坐标即可解决问题；【解答】解：（1）如图 11 中，连接 OD，BD、AN AC=4，OA=3，OC=1，在 RtOCD 中，CD=，在 RtCDM 中，DM=，由AMNDMB，可得 DMMN=AMBM，MN=3，故答案为 3（2）函数图象如图所示，（3）观察图

24、象可知，当 AC=MN 上，x 的取值约为 2.7 故答案为 2.7【点评】本题考查圆综合题、勾股定理、相似三角形的判定和性质、描点法画函数图象等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题 26（7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示（1）求二次函数的表达式；（2）函数图象上有两点 P（x1，y），Q（x2，y），且满足 x1x2，结合函数图象回答问题；当 y=3 时，直接写出 x2x1的值；当 2x2x13，求 y 的取值范围 【分析】（1）利用图中信息，根据待定系数法即可解决问题；（2）求出 y=3

25、 时的自变量 x 的值即可解决问题；（3）当 x2x1=3 时，易知 x1=，此时 y=2+3=，可得点 P 坐标，由此即可解决问题；【解答】解：（1）由图象知抛物线与 x 轴交于点（1，0）、（3，0），与 y 轴的交点为（0，3），设抛物线解析式为 y=a（x1）（x3），将（0，3）代入，得：3a=3，解得：a=1，抛物线解析式为 y=（x1）（x3）=x24x+3；（2）当 y=3 时，x24x+3=3，解得：x1=0，x2=4，x2x1=4；当 x2x1=3 时，易知 x1=，此时 y=2+3=观察图象可知当 2x2x13，求 y 的取值范围 0y【点评】本题考查二次函数的性质、待定

26、系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 27（7 分）如图 1 有两条长度相等的相交线段 AB、CD，它们相交的锐角中有一个角为 60，为了探究 AD、CB 与 CD（或 AB）之间的关系，小亮进行了如下尝试：（1）在其他条件不变的情况下使得 ADBC，如图 2，将线段 AB 沿AD 方向平移 AD 的长度，得到线段 DE，然后联结 BE，进而利用所学知识得到 AD、CB 与 CD（或 AB）之间的关系：AD+BC=AB；（直接写出结果）（2）根据小亮的经验，请对图 1 的情况（AD 与 CB 不平行）进行尝试，写出 AD、CB 与 CD（或 AB）之间的关系，并

27、进行证明；（3）综合（1）、（2）的证明结果，请写出完整的结论：AD+BCAB 【分析】（1）先判断出 BE=AD，DE=AB，利用过直线外一点作已知直线的平行线只有一条判断出点 C，B，E 在同一条直线上，再判断出CE=AB，即可得出结论；（2）先判断出 BE=AD，DE=AB，进而判断出点 C，B，E 在同一条直线上，再判断出 CE=AB，即可得出结论；（3）结合（1）（2）得出的结论即可【解答】解：（1）如图 2，平移 AB 到 DE 的位置，连接 BE，四边形 ABED 是平行四边形，AD=BE，ADBD，ADBC，点 C，B，E 在同一条直线上，CE=BC+BE，DEAB，CDE=1

28、=60，AB=DE，AB=CD，CD=DE，CDE 是等边三角形，CE=AB，BC+AD=AB；故答案为：AD+BC=AB；（2）如图 1，平移 AB 到 DE 的位置，连接 BE，四边形 ABED 是平行四边形，AD=BE，ADBD，AD 不平行 BC，点 E 不在直线 BC 上，连接 CE，BC+BECE，DEAB，CDE=2=60，AB=DE，AB=CD，CD=DE，CDE 是等边三角形，CE=AB，BC+ADAB；（3）由（1）（2）直接得出，BC+ADAB 故答案为：BC+ADAB 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的三边关系

29、，解本题的关键是判定点 C，B，E 是共线 28（8 分）以点 P 为端点竖直向下的一条射线 PN，以它为对称轴向左右对称摆动形成了射线 PN1，PN2，我们规定：N1PN2为点 P 的“摇摆角”，射线 PN 摇摆扫过的区域叫作点 P 的“摇摆区域”（含 PN1，PN2）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（2，3）（1）当点 P 的摇摆角为 60时，请判断 O（0，0）、A（1，2）、B（2，1）、C（2+，0）属于点 P 的摇摆区域内的点是 B、C（填写字母即可）；（2）如果过点 D（1，0），点 E（5，0）的线段完全在点 P 的摇摆区域内，那么点 P 的摇摆角至少为 90；（3）W 的

30、圆心坐标为（a，0），半径为 1，如果W 上的所有点都在点 P 的摇摆角为 60时的摇摆区域内，求 a 的取值范围 【分析】（1）根据点 P 的摇摆区域的定义出图图形后即可作出判断；（2）根据题意分情况讨论，然后根据对称性即可求出此时点 P 的摇摆角；（3）如果W上的所有点都在点P的摇摆角为60时的摇摆区域内，此时W 与射线 PN1相切，设直线 PN1与 x 轴交于点 M，W 与射线 PN1相切于点 N，P 为端点竖直向下的一条射线 PN 与 x 轴交于点 Q，根据特殊角锐角三角函数即可求出 OM，OW 的长度，从而可求出 a 的范围【解答】解：（1）根据“摇摆角”作出图形，如图所示，将 O、

31、A、B、C 四点在平面直角坐标系中描出，后，可以发现，B、C 在点 P 的摇摆区域内，故属于点 P 的摇摆区域内的点是 B、C（2）如图所示，当射线 PN1过点 D 时，由对称性可知，此时点 E 不在点 P 的摇摆区域内，当射线 PN2过点 E 时，由对称性可知，此时点 D 在点 P 的摇摆区域内，易知：此时 PQ=QE，EPQ=45，如果过点 D（1，0），点 E（5，0）的线段完全在点 P 的摇摆区域内，那么点 P 的摇摆角至少为 90（3）如果W上的所有点都在点P的摇摆角为60时的摇摆区域内，此时W 与射线 PN1相切，设直线 PN1与 x 轴交于点 M，W 与射线 PN1相切于点 N，P 为端点竖直向下的一条射线 PN 与 x 轴交于点 Q，由定义可知：PMW=60，NW=1，PQ=3，sinPMW=，tanPMW=MW=，MQ=，OM=2，OW=OM+MW=2+=2 此时 W 的坐标为：（2，0）由对称性可知：当W 与射线 PN2相切时，此时 W 的坐标为：（2+，0）a 的范围为：2a2+【点评】本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理，锐角三角函数，圆的切线判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用知识