高中平面向量知识点总结10804.pdf

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1、平面向量 1、向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量 2、向量的表示方法 （1）几何表示：以 A 为起点，以 B 为终点的有向线段记作ABuuu r，如果有向线段ABuuu r表示一个向量，通常我们就说向量ABuuu r.（2）字母表示：印刷时 粗黑体字母 a，b，c向量 手写时 带箭头的小写字母 a，br 3、向量点的长度（模）向量的大小叫做向量的长或模，记作|ABuuu r|、a 4、零向量：长度为 0 的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行 a0a0 单位向量：模为 1 个单位长度的向量 向量0a为单位向量0a1 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量称为平行向量，也叫

2、共线向量 记作ab 5、相等向量：长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合，记为ba 即大小相等，方向相同),(),(2211yxyx2121yyxx 6、对于任意非零向量的单位向量是aa.7、向量的加法（1）三角形法则 设,ABa BCbuuu ruuu rrr，则a+br=ABBCuuu ruuu r=ACuuu r 对于零向量与任意向量a的和有aaa00 （2）平行四边形法则 已知两个不共线的向量a，br，做,ABa BCbuuu ruuu rrr，则 A、B、D 三点不共线，以AB、AD 为邻边作平行四边形 ABCD，则对角线上的向量ACuuu r=a+br.当两个向量的

3、起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：ABBCCDPQQRARuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu rL，但这时必须“首尾相连”8、向量加法的运算律（1）交换律 a+br=br+a（2）结合律 (a+b)+c=a+(b+c)9、向量的减法 )(baba 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 图：10、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量.记作a （1）)(a=a，即a与a互为相反向量；（2）若a、b是互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0；（3）a+(a)=(a)+a=0；（4

4、）零向量的相反向量仍是零向量（5）对于用起点和终点表示的向量，则有ABuuu r=BA,即ABuuu r和-BA互为相反向量 11、已知向量，b，则|-|b|b|12、向量数乘运算 实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下：（1）aa；（2）当0时，a与a同向 当0时，a与a异向 当0或a=0时，0a，方向是任意的 13、向量数乘的运算律（1）(a)=()a（2）(+)a=a+a（3）（a+br）=a+br（4）（a）=（a）=（a）（abr）=a-br 14、向量共线判定定理 当向量a0，对于向量br，如果有一个实数，使b=a，那么a br共线.向量b与向量a（a0）共线有

5、且只有一个实数，使得b=a.15、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、br以及任意实数、1、2 恒有（1a2br）=1a+2br 16、平面向量的基本定理 如果21,ee是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,使：2211eea，其中不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 17、a br 两向量夹角范围0180 =0 a br同向 图 =180 a br同向 =90 a br垂直，记为abr 18、平面向量的正交分解 把一个向量分解成两个互相垂直的向量 19、平面向量的坐标表示 （1）直角坐标 在平面直角坐标

6、系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 x，y 使a=x i+y j，则把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标。（2）坐标表示 在向量a的直角坐标中，x 叫做a在 x 轴上的坐标，y 叫做a在 y 轴上的坐标，a=（x，y）叫做向量的坐标表示。（3）在向量的直角坐标中，i=（1,0）j=（0,1）0=（0,0）20、若1122,ax ybxyrr和实数 （1）1212,abxxyyrr（2）ar=(x1,y1)（3）若 2211,yxByxA，则ABuuu r=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)

7、=(x2-x1,y2-y1)21、向量平行条件（1）若1122,ax ybxyrr，1221/0abx yx yrr（2）若1122,ax ybxyrr，如果br不平行于坐标轴，即 x20 y20，则 abrx1x2=y1y2 0arbrarbrarbrarbrararbr00arrarbrararbrarbrarbrabrrabrarbrabrarbrarbrabrarbr22|a aaar rrraraaa2abrarbrabrarbra bb arrrr aba babRrrrrrrabca cb c rrrrr rrcabrrr ab ca bcrrrrrraaa ba crrr rb

8、crra brrar0rbr0r1122(,),(,)ax ybx yrrarbr1212x xy y1122(,),(,)ax ybx yrrabrr02121yyxxabab02121yyxxaarx2+2ABuuu r（x2 x1）2+（y2 y1）2arbrOAuuu rarOBuuu rbr001800arbrcos,a ba babrrrrrr222221212121yxyxyyxx1212x xy y 0021212x xy y=0，2arbrarbraa aar1x2+2=x2+2 x2+2aa 12+1212+1212+2212bsinCa2aabr（abr）2|abr|2|a|2 2abr|br|21212伦公式:解释:假设有一个三角形，边长分别为，三角形的面积 S 可由以上公式求得，而公式里的 p 为半周长。2.，R 为外接圆半径