2.3.2平面向量的正交分解及坐标运算-2020-2021学年高一数学课时同步练(人教A版必修4)3610.pdf

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1、第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标运算 班级：_ 姓名：_ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设点(1,2)A、(3,5)B，将向量AB按向量(1,1)a 平移后得到AB 为 A(1,2)B(2,3)C(3,4)D(4,7)【答案】B 【解析】(1,2)A、(3,5)B，(2,3)AB 将向量AB向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位得到A B，知AB与A B 的方向相同，大小也相等，只是位置不同罢了，于是(2,3)A BAB 故选 B 2已知平行四边形 ABCD 的三个顶点A，B，C的坐标分别是(2，1)(1，3)(3，4)，则向量B

2、D的坐标是 A(2,2)B(3,1)C(3,1)D(4,2)【答案】B【解析】平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是(2，1)(1，3)(3，4)，(2BA ，1)(1，3)(1，2)，(3ADBC，4)(1，3)(4，1)(1BDBAAD，2)(4，1)(3，1)故选 B 3已知12(2,1),(1,3),(1,2)eea，若1 122aee，则实数对1(，2)为 A(1,1)B(1,1)C(1,1)D无数对【答案】B【解析】1 12212(2ee，123)，1 122aee，12121223，解得1211 实数对1(，2)(1，1)故选 B 4设若向量(1,2)AB，且A点坐标

3、为(2,3)，则B点坐标为 A(2,6)B(3,5)C(1,1)D(1,1)【答案】B【解析】设点B的坐标为(,)x y，向量(1,2)AB，且A点坐标为(2,3)，(2，3)(x，)(2y，3)(2x，3)y，21x、32y，解得3x、5y，故B点坐标为(3,5)，故选 B 5|(1P ，1)(1m，2)，mR，|(1Q，2)(2n，3)，nR是两个向量集合，则PQ等于 A(1,2)B(13,23)C(2,1)D(23,13)【答案】B【解析】根据所给的两个集合的元素，表示出两个集合的交集，在集合P中，(1,12)mm ，在集合Q中，(12,23)nn 要求两个向量的交集，即找出两个向量集合

4、中的相同元素，元素是向量，要使的向量相等，只有横标和纵标分别相等，1121223.mnmn 二元一次方程组的解只有一组，127.mn 此时(1 12 ，12 12)(13，23)故选 B 6若(2,1)A，(1,3)B，则AB的坐标是 A(1,2)B(1,2)C(3,4)D(3,4)【答案】C【解析】AB的坐标等于B的坐标减去A的坐标，(1AB ，3)(2，1)(3，4)，故选 C 7给出下面几种说法：相等向量的坐标相同；平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；一个坐标对应于唯一的一个向量；平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应 其中正确说法的个数是 A1 B2 C3 D4【答案】

5、C【解析】向量平移坐标不变，故错，均对 故选 C 8平面直角坐标系中，AB的坐标 A与点B的坐标相同 B与点B的坐标不相同 C当A与原点O重合时，与点B的坐标相同 D当B与原点O重合时，与点A的坐标相同【答案】C【解析】平面直角坐标系中，AB的坐标等于点B的坐标减去点A的坐标，故当A与原点O重合时，AB的坐标与点B的坐标相同，故选 C 9设向量(1,1)ax，(3,1)bx，则a与b一定不是 A平行向量 B垂直向量 C相等向量 D相反向量【答案】C【解析】由向量(1,1)ax，(3,1)bx，假设ab，则1311xx，无解，ab 故选 C 10ABC中，D为 AB 的中点，点F在线段 CD（不

6、含端点）上，且满足(,)AFxAByAC x yR，则12xy的最小值为 A32 2 B22 2 C6 D8【答案】D【解析】2AFxAByACxADyAC，因为C，F，D三点共线，所以21xy且0 x，0y，则121244()(2)4428yxyxxyxyxyxyxy，当且仅当4yxxy，即14x，12y 时，上式取等号，故12xy有最小值 8，故选 D 11如图所示，若向量1e、2e是一组单位正交向量，则向量2ab在平面直角坐标系中的坐标为 A(3,4)B(2,4)C(3,4)或(4,3)D(4,2)或(2,4)【答案】A【解析】以向量a、b公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系 1(1,0

7、)e，2(0,1)e 2(2,1)a，得1(1,)2a，(1,3)b，22(1ab，1)(12，3)(3，4)即2ab在平面直角坐标系中的坐标为(3,4)故选 A 12若(2,1)A、(1,3)B，则向量AB的坐标是 A(1,2)B(3,4)C(3,4)D(2,3)【答案】B【解析】(2,1)A、(1,3)B，(1AB ，3)(2，1)(12 ，3 1)(3，4)，故选 B 二填空题 13点(8,10)M按向量a平移后的对应点M的坐标是(7,4)，则a 【答案】(15,14)【解析】点(8,10)M按向量a平移后的对应点M的坐标是(7,4)，a是一个以M为起点，M为终点的向量，(78a ，41

8、0)(15，14)故答案为：(15,14)14已知向量(3,4)AB，A点的坐标是(1,2)，则B点的坐标是 【答案】(2,2)【解析】设B点坐标为(,)x y A点的坐标是(1,2)，(3,4)(1,2)ABxy 即13x ，24y 解得：2x，2y 故B点的坐标(2,2)故答案为：(2,2)15 在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若23aij，则向量用坐标表示a 【答案】(2,3)【解析】在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若23aij，则向量用坐标表示(2,3)a 故答案为：(2,3)16已知3OAij，点B的坐标为(1,3)，OC是AB的相等向

9、量，则点C的坐标为 【答案】(2,4)【解析】(1OCABOBOA，3)(3，1)(2，4)故答案为：(2,4)三解答题 17在直角坐标系xOy中，向量a、b、c的方向和长度如图所示，分别求它们的坐标 【答案】a(2，2)；b 3 3(2，3)2；c3(2，3 3)2【解析】根据题意，直角坐标系xOy中，|2a，|3b，|3c，(|cos45aa，|sin45)(2a，2)；(|cos(30)bb，3 3|sin(30)(2b，3)2；(|cos(3090)cc，3|sin(3090)(2c，3 3)2 18已知表示向量a的有向线段始点A的坐标，求它的终点B的坐标（1）(2,1)a ，(0,0

10、)A；（2）(1,3)a，(1,5)A；（3）(2,5)a ，(3,7)A【答案】（1）(2,1)；（2）(0,8)；（3）(1,2).【解析】设(,)B x y，aAB，（1）(2,1)a ，(0,0)A，(2，1)(x，)y，终点B的坐标为(2,1)，（2）(1,3)a，(1,5)A，(1，3)(1x，5)y，解得0 x，8y，终点B的坐标为(0,8)，（3）(2,5)a ，(3,7)A，(2，5)(3x，7)y，解得1x，2y，终点B的坐标为(1,2).19已知ABC中，(7,8)A，(3,5)B，(4,3)C，M，N是AB，AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求DF【答案】

11、7(,2)4DF 【解析】(7,8)A，(3,5)B，(4,3)C，(4,3)AB ，(3,5)AC M，N是AB，AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，F是AD的中点，11117()(7,8)(,2)22244DFADABAC 20已知点(2,3)A，(5,4)B，(7,10)C，若()APABACR试当为何值时，点P在第三象限内？【答案】1 时，P点在第三象限【解析】设(APx，)(2y，3)(2x，3)y (ABACx，)(2y，3)(2x，3)(35y，17)APABAC(2x，3)(35y，17)235317xy 5547xy P在第三象限内 550470 147 1，即1

12、 时，P点在第三象限 21设已知点(0,0)O，(1,2)A，(4,5)B及OPOAtAB求：t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？【答案】当P在x轴上时，23t ，当P在y轴上，13t ；当P在第二象限时，2133t 【解析】点(0,0)O，(1,2)A，(4,5)B及OPOAtAB(1OP，2)(41t，52)(13,23)tt，当P在x轴上时，它的坐标要满足纵标为 0，230t，23t ，当P在y轴上，它的坐标要满足横标为 0，130t，13t 当P在第二象限时，130t，230t，2133t 22已知O为坐标原点，(0,2)A，(4,6)B，12OMt OAt AB（1）求

13、点M在第二或第三象限的充要条件；（2）求证：当11t 时，不论2t为何实数，A、B、M三点都共线；（3）若21ta，求当OMAB且ABM的面积为 12 时，a的值【答案】（1）20t 且1220tt；（2）证明见解析；（3）2.【解析】（1）121(0OMt OAt ABt，22)(4t，24)(4t，1224)tt 当点M在第二或第三象限时，等价于21240240ttt，故所求的充要条件为20t 且1220tt（2）证明：当11t 时，由（1）知2(4OMt，242)t (4,4)ABOBOA，2(4AMOMOAt，2224)(4,4)ttt AB，不论2t为何实数，A、B、M三点共线（3）当21ta时，2(4OMt，2242)ta 又(4,4)AB，OMAB，22244(42)40tta，2214ta，2(OMa，2)a又|4 2AB，点M到直线:20AB xy的距离222|2|2|1|2aada 12ABMS，211|4 22|1|1222AB da，解得2a ，故所求a的值为2