2013高考真题理数辽宁卷2268.pdf

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1、梦想不会辜负一个努力的人 all试题-1-2013 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供理科考生使用）注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔吧答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回。第 I 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

2、求的.（1）复数的11Zi的模为（A）12 （B）22 （C）2 （D）2（2）已知集合4|0log1,|2AxxBx xAB，则 A 01，B0 2，C1,2 D12，（3）已知点1,3,4,1,ABAB则与向量同方向的单位向量为（A）3455，-（B）4355，-（C）3 45 5，（D）4 35 5，（4）下面是关于公差0d 的等差数列 na的四个命题：1:npa数列是递增数列；2:npna数列是递增数列；3:napn数列是递增数列；4:3npand数列是递增数列；其中的真命题为 梦想不会辜负一个努力的人 all试题-2-（A）12,pp （B）34,pp （C）23,pp （D）14,

3、pp（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为20,40,40,60,60,80,80,100.若低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是（A）45 （B）50 （C）55 （D）60（6）在ABC，内角,A B C所对的边长分别为,.a b c1sincossincos,2aBCcBAb,abB且则 A6 B3 C23 D56 （7）使得13nxnNnx x的展开式中含有常数项的最小的 为 A4 B5 C6 D7 （8）执行如图所示的程序框图，若输入10,nS则输出的 A511 B1011 C3655 D7255 （9）已知点30,0,0,.,O

4、AbB a aOAB若为直角三角形 则必有 A3ba B31baa C3310babaa D3310babaa（10）已知三棱柱1116.34ABCABCOABAC的 个顶点都在球的球面上若，,ABAC112AAO，则球 的半径为 梦想不会辜负一个努力的人 all试题-3-A3 172 B2 10 C132 D3 10 （11）已知函数 222222,228.f xxaxag xxaxa 设 12max,min,max,Hxf xg xHxf xg xp q表示,p q中的较大值，min,p q表示,p q中的较小值，记 1Hx得最小值为,A 2Hx得最小值为B,则 AB（A）16 （B）16

5、 （C）2216aa （D）2216aa（12）设函数 222,2,0,8xeef xx fxxfxfxf xx满足则时，（A）有极大值，无极小值 （B）有极小值，无极大值 （C）既有极大值又有极小值 （D）既无极大值也无极小值 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 22 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 题-第 24 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .（14）已知等比数列 13nnnaSanaa是递增数列,是的前 项和.若，是方程 梦想不会辜负一个努力的人

6、all试题-4-26540 xxS的两个根，则 .（15）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点为,F C与过原点的直线相交于,A B两点，4,.10,6,cosABF,5AF BFABAFCe连接若则 的离心率=.（16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取 5 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分 12 分）设向量3sin,sin,cos,sinx,0,.2axxbxx（I）若.abx求 的值；（I

7、I）设函数 ,.f xa bf x求的最大值 18（本小题满分 12 分）如图，.ABPAC是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点（I）求证：PACPBC平面平面；（II）2.ABACPACPBA若，1，1，求证：二面角的余弦值 19（本小题满分 12 分）现有 10 道题，其中 6 道甲类题，4 道乙类题，张同学从中任取 3 道题解答.（I）求张同学至少取到 1 道乙类题的概率；梦想不会辜负一个努力的人 all试题-5-（II）已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题，1 道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的

8、个数，求X的分布列和数学期望.20（本小题满分 12 分）如图，抛物线2212002:4,:20.,Cxy Cxpy pM xyC 点在抛物线上，1MC过作0,.12A B MOA BOx 的切线，切点为为原点 时，重合于当时，1-.2MA切线的斜率为（I）P求 的值；（II）2MCABN当在上运动时，求线段中点 的轨迹方程,.A BOO重合于 时 中点为 21（本小题满分 12 分）已知函数 321,12 cos.0,12xxf xx eg xaxxxx 当时，（I）求证：11-;1xf xx （II）若 f xg x恒成立，a求实数 的取值范围.请考生在第 22、23、24 三题中任选一题

9、做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。22（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，.ABOCDOE ADCDD为直径，直线与相切于垂直于于，BC垂直于,.CDCEFFAE BE于，垂直于，连接证明：（I）;FEBCEB （II）2.EFAD BC 23（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 梦想不会辜负一个努力的人 all试题-6-在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C，直线2C的极坐标方程分别为4sin,cos2 24.（I）12CC求与交点的极坐标；（II）112P

10、CQCCPQ设 为的圆心，为与交点连线的中点，已知直线的参数方程为 33,.12xtatRa bbyt 为参数求的值 24（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数,1.f xxaa其中（I）=244;af xx当时，求不等式的解集（II）222|12,xfxaf xxx已知关于 的不等式的解集为.a求 的值 梦想不会辜负一个努力的人 all试题-7-2013 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁试题）数学（供理科考生使用）试题参考答案和评分参考 评分说明：（1）本解答给出了一中或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考察内容比照评分参考制定相应的评分细则

11、.（2）对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影像的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答应的分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不在给分.（3）解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.（4）只给整数分数.一、选择题（1）B (2)D (3)A (4)D (5)B (6)A (7)B (8)A (9)C (10)C (11)B (4)D 二、填空题（13）16-16 （14）63 （15）57 （16）10 三、解答题（17）解：（I）由2222(3sin)(sin)4sinaxxx，梦想不会辜负一个努力的人

12、 all试题-8-222(cos)(sin)1bxx，及2,4sin1abx得 又10,sin22xx从而，所以 6x.（II）2()3sincossinf xa bxxx =3111sin2cos2sin(2)22262xxx.当0.sin 2-1.326xx时，（）取最大值 所以3().2f x 的最大值为 （18）解：（I）由 AB 式圆的直径，得 ACBC、由 PA平面 ABC、BC平面 ABC、得 PABC.又 PAAC=A,PA平面 PAC，AC平面 PAC，所以 BC平面 PAC.因为 BC平面 PBC.所以平面 PBC平面 PAC.（II）（解法一）过 C 作 CM/AP,则

13、CM平面 ABC.如图，以点 C 为坐标原点，分别以直线 CB、CA、CM 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角标系 因为 AB=2、AC=1、所以 A(0、1、0）、B（3 0 0、）、P（0、1、1）故CP=3 0 0=0 11CP、），（、）.设平面 BCP 的法向量为1=)xyz（、.110,0,CB nCB n则 30.0.xyz所以 梦想不会辜负一个努力的人 all试题-9-不妨令 y=1.则 n1=（0、1、-1）.因为(0 0 1=3-1 0APAB、）、（，、）设平面 ABP 的法向量为2=nx（、y、z）.则220,0,AP nAB n,所以0.30.zxy 不妨令 x=

14、1、则2(13 0n 、）.于是 cos=3642 2,所以由题意可知二面角 C-PB-A 的余弦值为64.过 C 作 CMAB 于 M、因为 PA平面 ABC、CM平面 ABC.所以 PACM.故 CM平面 PAB.过 M 作 MNPB 于 N，链接 NC.由三垂线定理得 CNPB.所以CNM 为二面角 C-PB-A 的平面角.在 RtABC 中，由 AB=2、AC=1、得333,=.22BCCMBM、在 RtPAB 中,由 AB=2、PA=1、得 PB=5.因为 RtBNMRtBAP,所以33 52.1105MN，故MN=又在 RtCNM 中，CN=305，故 cosCNM=64.所以二面

15、角 C-PB-A 的余弦值为64.（19）解：梦想不会辜负一个努力的人 all试题-10-（I)设事件 A=“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类题，则有A=”张同学所取的 3 道题都是甲类题“.3103101()6CP AC因为，所以 5()1()6P AP A.(II)X 所有的可能取值为 0、1、2、3.00223214(0)()()555125P XC;1110022232132428(1)()()()()555555125P XCC;22011122321321457(2)()()()()555555125P XCC;220232436(3)()()555125P XC.所以 E

16、（X)=04125+128125+25713632125125.（1）解：（1）因为抛物线214Cxy：上任意一点（x,y)的切线斜率为12xy，且切线 MA 的斜率为-12，所以 A 点坐标为（-1，14）。故切线 MA 的方程为 11(1)24yx.因为点 M0(12,)y在切线 MA 及抛物线2C上，于是 01132 2(22)244y ，20(12)32 222ypp .由得 p=2.X 0 1 2 3 P 14125 28125 57125 36125 梦想不会辜负一个努力的人 all试题-11-（II）设 N（x,y),A22121212(),(),44xxxB xxx、由 N 为

17、线 AB 中点知 12.2xxx 22128xxy.切线 MA、MB 的方程为 2111()24xxyxx 2222()24xxyxx 由得 MA，MB 的交点 M00(,)xy的坐标为 121200,24xxx xxy.原 M（200200,)4,xyCxy 在上，即所以 2212126xxx x.由得 24,0.3xy x 当12xx时，A,B 重合与原点 O,AB 中点 N 为 O，坐标满足243xy.因此 AB 中点 N 的轨迹方程为 243xy.（1）(I)证明：要证 x0,1时，2(1)xx e 1-x,需证明(1)xx e(1)xx e.1()(1)(1),()()xxxxh x

18、x ex eh xx ee记则，当 x（0,1）时 1h(x)0,因此 h(x)在【0,1】上市增函数，故 h(x)h(0)=0.所以 ()1,0,1f xx x 梦想不会辜负一个努力的人 all试题-12-210,11.1xxxeexx要证时，(1+x)，只需证明 记11()1,()1,(0,1)()xxK xexKxexKx则当时，0，因此 K（x）在0,1上试增函数，故 K（x）K(0)=0.所以 1(),0,11f xxx.综上，11(),0,11xf xxx.（II）（解法一）32()()(1)(12 cos)2xxf xg xx eaxxx 3112 cos2xxaxxx 21(1

19、2cos)2xx ax ，21()2cos,()2sin2xG xxG xxx设则.记 H（x）=x-2sin x,则 H1（x）=1-2cos x,当 x(0,1)xH x时，（0，于是 G（x）在0,1上试减函数，从而当 x（0,1）时，1()G x-3 时，()()f xg x在0,1上不恒成立.31()()12 cos12xf xg xaxxxx 32 cos12xxaxxxx 梦想不会辜负一个努力的人 all试题-13-21(2cos)12xxaxx 211()2cos=(),121+xxaxaG xxx记I则 11121()(),0,1()(1)IxG xxIxx当（）时，-3 时

20、，a+30,所以存在0(0,1)x，使得0()I x0，此时0()f x0，于是()G x在0,1上试增函数，因此当 x(0,1)时，G(x)G(0)=0,从而 F(x)在0,1上是增函数，因此 F(x)F(0)=0,所以 当 x0,1时，211cos2xx 同理可证，当210,1cos14xxx 时，所以 x22110,1,1cos124xxx 时.因为当 x0,1时，32()()(1)(12 cos)2xxf xg xx eaxxx 321(1)12(1)24xxaxxx (3)ax.梦想不会辜负一个努力的人 all试题-14-所以当 a-3 时，()()f xg x在0,1上不恒成立.因

21、为 32()()(1)(12 cos)2xxf xg xx eaxxx 321112(1)122xaxxxx 22(3)12xxaxx 32(3)23x xa 所以存在0(0,1)x（例如03132ax取和中的较小值）满足0()f xg0()x，即()()f xg x在0,1上不恒成立.综上，实数 a 的取值范围是（-，3.证明：（I）由直线 CD 与O 相切，得.CEBEAB ,+=2,=.2ABOAEEBEABEBFEFABFEBEBFFEBEAB由为的直径，得从而；又得从而 故FEB=CEB.(II),BCCE EFABFEBCEB BE 由是公共边，,.,Rt BCERt BFEBCB

22、FRt ADERt AFEADAF得所以类似可证得 22,=,.Rt AEBEFABEFAF BFEFAD BC又在中，故所以（I）圆 C1的直角坐标方程为22(2)4,xy 直线 C2的直角坐标方程为 x+y-4=0.解22(2)440 xyxy 110,4,xy得 222.2.xy 梦想不会辜负一个努力的人 all试题-15-所以12CC与交点的极坐标为42（，），(2 2,).4 注：极坐标系下点的表示不唯一.（II）由（I）可得，P 点与 Q 点的直角坐标分别为（0,2），（1,3）.故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0.由参数方程可得 y=122babx.所以1,212,2bab 解得1,2ab,(24)解：（I）当 a=2 时，26,2,()42,24,26,4.xxf xxxxx 当2()44-2x+64,x1;xf xx时，由得解得 2x4()444,()44264,5;f xxxf xxxx当 时，无解；当时由得解得()44f xx所以的解集为15x xx或.(II)记2,0,()(2)2(),()42,0,2,.a xh xfxaf xh xxaaa xa则x 11()2,.22()212,aah xxh xxx由解得又已知的解集为 11,212,2aa所以 于是 a=3