课标版数学中考第二轮专题复习-猜想型试题8388.pdf

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1、-1-猜想型试题 例 1（2005 年常州）如图，已知ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且DEF也是等边三角形（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程 分析：本题要求学生在掌握全等三角形的概念和性质的基础上，灵活运用三角形全等的判定及性质进行结论猜想。求解这类问题，不能随意乱猜，要结合题目给出的条件，根据图形直观的找出结论后再进行合理的推理论证。解：（1）图中还有相等的线段是：AE=BF=CD，AF=BD=CE，事实上，ABC 与DEF 都是等边三角形，A=B=C=60

2、，EDF=DEF=EFD=60,DE=EF=FD，又CED+AEF=120，CDE+CED=120 AEF=CDE，同理，得CDE=BFD，AEFBFDCDE（AAS），所以AE=BF=CD，AF=BD=CE。（2）线段AE、BF、CD 它们绕ABC 的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转120，可互相得到，线段AF、BD、CE 它们绕ABC 的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转120,可互相得到。说明：1.本题考查的是在三角形全等的判定及应用及旋转变换，它立意考查学生的观察、分析问题的能力.2.因为几何直观是一种思维形式，它是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态它不仅拓展了学

3、生的思维空间，考查了学生的能力，更因为几何直观具有 发现的功能这种思维既有形象思维的特点，又有抽象思维的特点，所以成为近几年中考试题的考点及热点问题。练习一 1.（2005 年北京丰台）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，E 是 BD 延长线上一点，F 是 DB 延长线上一点，且DE=BF。请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）。（1）连结_；（2）猜想：_=_；（3）证明：FEDCBA A F B D E C-2-2（2005 年河北）如图10 1 2（1），10 1 2（2），四边形ABCD 是正方

4、形，M 是 AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E 在 AB 边上滑动（点E 不与点 A，B 重合），另一条直角边与CBM 的平分线BF 相交于点F。如图10 1 2（1），当点E 在 AB 边的中点位置时：通过测量DE，EF 的长度，猜想DE 与 EF 满足的数量关系是 ；连接点E 与 AD 边的中点N，猜想NE 与 BF 满足的数量关系是 ；请证明你的上述两猜想。如图10 1 2（2），当点E 在 AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE 与 EF 有怎样的数量关系。3（2005 年河南）空投物资用的某种降落伞的轴截面如

5、图所示，ABG是等边三角形，C、D是以AB为直径的半圆O的两个三等分点，CG、DG分别交AB于点E、F，试判断点E、F分别位于所在线段的什么位置？并证明你的结论（证明一种情况即可）-3-4（2005 年潍坊）如图，已知平行四边形ABCD及四边形外一直线l，四个顶点A、BC、D到直线l的距离分别为abcd、（1）观察图形，猜想得abcd、满足怎样的关系式？证明你的结论(2)现将l向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论 5.（2005 年锦州）如图a，ABC和CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF 和 BE.(1)线段AF 和 BE 有怎样的大小关系?请证

6、明你的结论；(2)将图a 中的CEF绕点C 旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；(3)若将图a 中的ABC绕点C 旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由；(4)根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现.-4-例 题2（2005 年 福 建 三 明 市）已 知 二 次 函 数qpxxy2(qp,为 常 数，=042 qp)的图象与x轴相交于A0,1x，B0,2x两点，且A，B 两点间的距离为d，例如，通过研究其中一个函数652xxy及图象(如图)，可得出表中第2 行的相交数据。在表内的空格中填上正确的数

7、；根据上述表内d与的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想；对于函数：qpxxy2(qp,为常数，=042 qp)证明你的猜想。分析：用求根公式进行“两根差“的运算，也可以得到相应猜想的证明；无论是先用的证明，还是先用的证明，只要两种证明都正确。解：第一行 0,01xq；21d 第三行 1p，=9，12x；猜想：2d 例如：22xxy中；9,2,1qp；由022 xx得 9,3,1,2221ddxx，2d 证明。令0y，得02qpxx，0 设02qpxx的两根为1x，2x 则1x+2xp，qxx21 qpxxy2 p q 1x 2x d 652xxy 5 6 1

8、2 3 1 xxy212 21 41 21 22xxy 2 2 3-5-2122122122124xxxxxxxxd qpqp4422 说明：这是一道设计新颖的猜想题目，它不仅考查学生的分析，观察能力，而且还考查了一元二次方程与函数的关系。通过猜想，归纳结论，从而体现从特殊到一般的认识规律反映出从一般又回到特殊的思想的方法。练习二 1、（河南课改）已知：在Rt ABC 中，C 900，A、B、C 的对边分别为a、b、c，设ABC 的面积为S，周长为l。填表：三边a、b、c a b c Sl 3、4、5 2 5、12、13 4 8、15、17 6 如果a b c m，观察上表猜想：Sl _(用含

9、有m 的代数式表示)。证明中的结论。-6-图 1EGFBxOyCAD2、如图1，平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O 为坐标原点，A 点坐标为(10，0)，C 点坐标为(0，6)。D 是 BC 边上的动点(与点B、C 不重合)，现将 COD 沿 OD 翻折，得到 FOD；再在AB 边上选取适当的点E，将 BDE 沿 DE 翻折，得到 GDE，并使直线DG、DF重合。(1)如图2，若翻折后点F 落在OA 边上，求直线DE 的函数关系式；(2)设 D(0，6)，E(10，b)，求b 关于a 的函数关系式，并求b 的最小值；(3)一般地，请你猜想直线DE 与抛物线y=124x2+6 的公共点的

10、个数，在图二的情形中通过计算验证你的猜想；如果直线DE 与抛物线y=124x2+6 始终有公共点，请在图一中作出这样的公共点。图 2EGFBxOyCAD-7-3、（2003 年大连）已知A1、A2、A3是抛物线212yx上的三点，A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x 轴，垂足为B1、B2、B3，直线A2B2交线段A1A3于点C。（1）如 图，若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA2的长。（2）如图，若将抛物线212yx改为抛物线2112yxx，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA2的长。（3）若将抛物线212yx改为抛物线2yaxbxc，A1

11、、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA2的长（用a、b、c 表示，并直接写出答案）。4、（2005 年临沂）ABC 中，BCa，ACb，ABc，若C=90，如图1，根据勾股定理，则222cba，若ABC 不是直角三角形，如图2 和图3，请你类比勾股定理，试猜想22ba 与2c的关系，并证明你的结论。A1 A2 A3 B3 B2 B1 O C x y -8-能力训练 1（2005 年青岛）在中，将一块等腰直角三角板的直角顶点放ABCACBCC290 在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB 于 D、E 两点。图，是旋转三角板得

12、到的图形中的3 种情况。研究：（1）三角板绕点P 旋转，观察线段PD 和PE 之间有什么数量关系？并结合图加以证明。（）三角板绕点旋转，是否能成为等腰三角形？若能，指出所有2PPBE 情况（即写出为等腰三角形时的长）；若不能，请说明理由。PBECE （3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB 上的M 处，且AM：MB 1：3，和前面一样操作，试问线段MD 和 ME 之间有什么数量关系？并结合图加以证明。-9-2（2005 年苏州）(1)如图一，等边 ABC 中，D 是 AB 边上的动点，以CD 为一边，向上作等边 EDC，连结AE。求证：AE BC；(2)如图二，将(1)中等边 ABC 的形状改成

13、以BC 为底边的等腰三角形，所作 EDC 改成相似于 ABC。请问：是否仍有AE BC？证明你的结论。3.（2005 年宜昌课改）如图，AB 是O 的直径,BD 是O 的弦，延长BD 到点C,使 DC=BD,连接AC 交O 与点F.（1）AB 与 AC 的大小有什么关系?为什么?（2）按角的大小分类,请你判断ABC 属于哪一类三角形，并说明理由.图 1EABCD图 2ECABD OFDCBA-10-4（2005 年玉林）如图(1)，AB 是O 的直径，射线AT AB，点P 是射线A T 上的一个动点(P 与 A 不重合)，PC 与O 相切于C，过C 作 CE AB 于 E，连结BC 并延长BC

14、 交 AT 于点 D，连结PB 交 CE 于 F (1)请你写出PA、PD 之间的关系式，并说明理由；(2)请你找出图中有哪些三角形的面积被PB 分成两等分，并加以证明；(3)设过A、C、D 三点的圆的半径是R，当CF=41R 时，求APC 的度数，并在图(2)中作出点P(要求尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)5（2005 年绍兴）E、F 为ABCD 的对角线DB 上三等分点，连AE 并延长交DC 于 P，连PF并延长交AB 于 Q，如图（1）在 备用图中，画出满足上述条件的图形，记为图，试用刻度尺在图、中量得 AQ、BQ 的长度，估计AQ、BQ 间的关系，并填入下表长度单位：cm AQ

15、长度 BQ 长度 AQ、BQ 间的关系 图中 图中 由上表可猜测AQ、BQ 间的关系是_（2）上 述（1）中的猜测AQ、BQ 间的关系成立吗？为什么？（3）若 将ABCD 改为梯形（AB CD）其他条件不变，此时（1）中猜测AQ、BQ 间的关系是否成立？（不必说明理由）-11-6、（2005 年黑龙江）已知矩形ABCD 和点P，当点P 在图1 中的位置时，则有结论：SPBC=SPAC+SPCD理由：过点P 作 EF 垂直BC，分别交AD、BC 于 E、F 两点 图 l S PBC+S PAD=12BC PF+12AD PE=12BC（PF+PE）=12BC EF=12S矩形ABCD 又 SPA

16、C+SPCD+S PAD=12S矩形ABCD S PBC+S PAD=SPAC+SPCD+S PAD SPB C=SPA C+SP CD 请你参考上述信息，当点P 分别在图2、图3 中的位置时，SPB C、S PAC、SPCD又有怎样的.数量关系?请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明 -12-答案：练习一 1、（1）略（2）。猜想AF=AE （3）证法一：连结AF，连结AC，交BD 于 O 四边形ABCD 是菱形，AC BD于 O，DO=BO DEBFOFO，AC垂直平分EF AFAE 证法二：四边形ABCD 是菱形，ABAD，ABDADB，ABFADE 在ABFDE

17、和中 ABADABFADEBFDE ABFADE AFAE 2解：DE=EF；NE=BF。证明：四边形ABCD 是正方形，N，E 分别为AD，AB 的中点，DN=EB BF 平分CBM，AN=AE，DNE=EBF=90+45=135 NDE+DEA=90，BEF+DEA=90，NDE=BEF DNEEBF DE=EF，NE=BF 在DA 边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N 就使得NE=BF 成立（图略）此时，DE=EF 3、-13-4、（1）dbca 证明：连结ACBD、，且ACBD、相交于点O，1OO为点O到l的距离，OO1为直角梯形11BB D D的中位线，1112OO

18、DDBBbd；同理：1112OOAACCac dbca （2）不一定成立 分别有以下情况：直线l过A点时，dbc；直线l过A点与B点之间时，dbac；直线l过B点时，dac；直线l过B点与D点之间时，dbca；直线l过D点时，bca；直线l过C点与D点之间时，dbca；直线l过C点时，dba；直线l过C点上方时，dbca 5、(1)AF=BE.证明：在AFC和BEC中，ABC和CEF是等边三角形，AC=BC，CF=CE，ACF=BCE=60.AFCBEC.AF=BE.(2)成立.理由：在AFC和BEC中，ABC和CEF是等边三角形，AC=BC，CF=CE，ACB=FCE=60.-14-ACB-

19、FCB=FCE-FCB.即ACF=BCE.AFCBEC.AF=BE.(3)评价要求：此处图形不惟一，仅举几例，只要正确，即可得分.如图，(1)中的结论仍成立.(4)根据以上证明、说明、画图，归纳如下：练习二 1、填表：三边a、b、c a b c Sl 3、4、5 2 12 5、12、13 4 1 8、15、17 6 32 Slm4 证明：a b c m，a b m c，a2 2ab b2 m2 c2 2mc。a2 b2 c2，2ab m2 2mc ab214m(m 2c)Sl12aba b c14m(m 2c)m c cm4 2、（1）y=-x+12。（2）当a=5 时，b最小值=116 （3

20、）猜想：直线DE 与抛物线21624yx 只有一个公共点。证明：由（1）可知，DE 所在直线为y=-x+12。-15-代入抛物线，得21612.24xx 化简得x2-24x+144=0，所以=0。所以直线DE 与抛物线21624yx 只有一个公共点。作法一：延长OF 交 DE 于点H。作法二：在DB 上取点M，使DM=CD，过M 作 MH BC，交DE 于点H。3、解：（1）方法一：A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，A1B1=211122，A2B221222，A3B3219322 1 分 设直线A1A3的解析式为y kx b。12932kbkb 解得232kb 直线A1A2的解析式

21、为322yx。CB2 2 23252 CA2=CB2 A2B2=52 212。方法二：A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，A1B1=211122，A2B221222，A3B3219322 由已知可得A1B1 A3B3，CB212（A1B1 A3B3）12（1292）52。CA2=CB2 A2B2=52 212（1）方法一：设A1、A2、A3三点的横坐标依次n 1、n、n 1。则 A1B1=21(1)(1)12nn，A2B2=12n2 n 1，A3B3=12(n 1)2（n 1）1。设直线A1A3的解析式为y kx b-16-221(1)(1)(1)121(1)(1)(1)12nkbn

22、nnkbnn 解得211322knbn 直线A1A3的解析式为213(1)22ynxn，CB2 n（n 1）12n23212n2 n32 CA2=CB2 A2B2=12n2 n3212n2 n 112。方法二：设A1、A2、A3三点的横坐标依次n 1、n、n 1。则 A1B1=21(1)(1)12nn，A2B2=12n2 n 1，A3B3=12(n 1)2（n 1）1。由已知可得A1B1 A3B3，CB212（A1B1 A3B3）=221 111111112 22nnnn=21322nn CA2=CB2 A2B2=12n2 n3212n2 n 112。（2）当 a 0 时，CA2 a；当a 0

23、 时，CA2a。4、解：若ABC 是锐角三角形，则有a2+b2c2 若ABC 是钝角三角形，C 为钝角，则有a2+b20，x0 2ax0 a2+b2c2 当ABC 是钝角三角形时，证明：过点B 作 BDAC，交AC 的延长线于点D。设 CD 为 x，则有DB2=a2 x2 根据勾股定理得 (b x)2 a2x 2 c2 即 b2 2bx x2 a2x 2 c2-17-a2 b2 2bx c2 b0，x0 2bx0 a2+b2c2 能力训练 1（1）连结PC ABCPAB是等腰直角三角形，是的中点 CPPBCP ABACPACB，1245 ACPB45 又 DPCCPEBPECPE90 DPCB

24、PE P C DP B E PDPE （2）共有四种情况，当点C 与点E 重合，即CE 0 时，PE PB ，此时CEPBBE22 当CE 1 时，此时PE BE 当在的延长线上，且时，此时ECBCEPBEB22 （3）MD：ME 1：3 过点作，垂足分别是、MMF ACMH BCFH MHACMFBCCFMH/，四边形是平行四边形 CCFMH90是矩形FMHMFCH90，CHHBAMMBHBMHMFMH1313 DMFDMHDMHEMH90 D M FEMH MFDMHE90 M D FM H E MDMEMFMH13 A P D C E B-18-2 006060/ECDACBECDACD

25、ACBACDACEBCDACBCECDCACEBCDEACBEACACBAEBCACECDACBECECDACDACBACDACEBCDACEBCD （1）ABC和EDC都是等边三角形。即。又，。，（2）EDC相似ABCBC，。DC。即。相似/EACBABCABACBACBEACACBAEBC 。在中，。3.（1）（方法1）连接DO.OD 是ABC的中位线，DOCA ODBC，ODBO OBDODB，OBDACB，ABAC（方法2）连接AD，AB 是O的直径，AOBC，BDCD，ABAC EPFCBAnmoN M-19-（方法3）连接DO.OD 是ABC的中位线，OD=21AC，OB=OD=2

26、1AB AB=AC 4解：(1)连结AC 因为AT AB，AB 是O 的直径，所以A T 是O 的切线 又 PC 是O 的切线，所以PA=PC所以PAC=PCA 因为AB 是O 的直径，所以ACB=90.所以PAC+ADC=90，PCA+PCD=90.所以ADC=PCD 所以PD=PC=PA (2)由(1)知，PD=PA，且同高，可见ABD 被 PB 分成面积相等的两个三角形 因为AT AB，CE AB，所以AT CE 所以CF/PD=BF/BP，EF/PA=BF/BPF 所以CF/PD=EF/PA 所以CF=EF 可见CEB 也被PB 分成面积相等的两个三角形(3)由(1)知，PA=PCPD

27、，所以PA 是ACD 的外接圆的半径，即PA=R 由(2)知，CF=EF，而 CF=1/4 R，所以EF=1/4 PA 所以EF/PA=1/4 因为EF AT，所以BE/AB=EF/PA=1/4 所以CE=3 BE 在 Rt ACE 中，因为tan CAE=3/3 所以CAE=30.所以PAC=90-CAE=60.而 PA=PC，所以PAC 是等边三角形所以APC=60 -20-P 点的作图方法见图 5、6、猜想结果：图2 结论SPBC=SPAC+SPCD；图 3 结论SPBC=SPAC-SPCD 证明：如图2，过点P 作 EF 垂直AD，分别交AD、BC 于 E、F 两点 SPBC=12BCPF=12BCPE+12BCEF=12ADPE+12BCEF=SPAD+12S矩形ABCD SPAC+SPCD=SPAD+SADC=SPAD+12S矩形ABCD SPBC=SPAC+SPCD