2.3.1平面向量基本定理-2020-2021学年高一数学课时同步练(人教A版必修4)4228.pdf

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1、第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理 班级：_ 姓名：_ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1在正方形 ABCD 中，E为 DC 的中点，若AEABAD，则的值为 A12 B32 C1 D1【答案】B【解析】如图所示：1122AEADDEADDCABAD，所以1,12，所以13122，故选 B 2在三角形 ABC 中，M为 AC 的中点，若(,)ABBMBCR，则下列结论正确的是 A1 B3 C20 D20【答案】C【解析】由题知：1122BMBABC，则2ABBMBC，从而2，1，所以20，故选 C 3如图，在ABC中，D为 BC 中点，E在线段 AD

2、 上，且2AEED，则BE A1233ACAB B1233ACAB C2133ACAB D2133ACAB【答案】B【解析】由D为BC中点，E在线段AD上，且2AEED，可得21()33AEADABAC，11123333BEBAAEABABACACAB 故选 B 4如图，ABC中，E是 AB 的中点，点F满足2BFFC，则EF A1263ABAC B1263ABAC C1163ABAC D1123ABAC【答案】A【解析】121212()232363EFEBBFABBCABACABABAC，故选 A 5在平行四边形 ABCD 中，34AEAC，设ABa，BCb，则向量DE A1344ab B3

3、144ab C2133ab D1233ab【答案】B【解析】33()44AEACABBC，ADBCb，331()444DEAEADabbab，故选 B 6在ABC中，23ANNC，P是 BN 上一点，若14APtABAC，则实数t的值为 A23 B25 C16 D38【答案】D【解析】因为23ANNC，所以25ANAC，则52ACAN，所以115442APtABACtABAN 58tABAN，如图所示：因为B，P，N三点共线，所以518t，即38t，故选 D 7在等腰梯形 ABCD 中，/ABDC，2ABDC，E为 BC 的中点，则 A3142AEABAD B3122AEABAD C1142A

4、EABAD D3144AEABAD【答案】A【解析】如图所示：在三角形ABE中，12AEABBEABBC 1()2ABBAADDC 11()22ABABADAB 3142ABAD，故选 A 8在ABC中，2,BDDC AEED，则BE A1536ACAB B1536ACAB C1136ACAB D1136ACAB【答案】A【解析】在三角形ABC中，由已知可得点E是AD的中点，且点D是靠近C的BC的三等分点，如图所示：所以1111()()2223BEAEABADABACCDABACCBAB 11()23ACABACAB 1536ACAB，故选 A 9在平行四边形 ABCD 中，已知12BMBC，

5、23DNDC，若2ACAMAN，则 A3 B2 C12 D13【答案】A【解析】1122AMABBCABAD，2233ANADDCADAB，()()2223322ACAMANABADADABABAD，又ACABAD，13122，解得1232，3 故选 A 10在ABC中，AD 为 BC 边上的中线，E为 AD 的中点，则BE A3144ABAC B1344ABAC C3144ABAC D3144ABAC【答案】C【解析】如图，在三角形BDE中，BEBDDE，又E为AD的中点，D为BC的中点，所以1122BEBCDA，而BCACAB，1()2DAABAC，所以111()()222BEACABAB

6、AC 1344ACAB，故选 C 11设D为ABC的边 BC 的延长线上一点，3BCCD，则 A1433ADABAC B4133ADABAC C1433ADABAC D4133ADABAC【答案】C【解析】如图示：3BCCD，43BDBC，43ADABBDABBC 4()3ABACAB 44143333ABACABABAC，故选 C 12在平行四边形 ABCD 中，点E，F分别满足12BEBC，13DFDC若BDAEAF，则实数的值为 A15 B15 C75 D75【答案】B【解析】由题意可知12BEBC，13DFDCBDADAB，12AEABAD，13AFADAB，6355ABAEAF，62

7、55ADAFAE，9855BDAFAE，又BDAEAF，则，98,55，15，故选 B 二填空题 13如图，在ABC中，2,CDDA E是BD上一点，且1()7AEABACR，则的值等于 【答案】47【解析】因为E在BD上，所以可设BEBD，则AEABBEABBD 1()()3ABADABABACAB 1(1)3ABAC，又17AEABAC，所以11137，解得47，故答案为：47 14 已知在ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且ADDB，2BEEC，若(,)DExAByAC x yR，则xy的值为 【答案】12【解析】如图，ADDB，2BEEC；12DBAB，22()33BEBCACA

8、B，1212()2363DEDBBEABACABABAC，又DExAByAC，根据平面向量基本定理得，16x ，23y；12xy，故答案为：12 15在ABC中，12BDDC，AEEB，点F为ADC内（包括边界）任意一点，若EFEBED，则2的取值范围为 【答案】8，1【解析】如 图 所示：记2EDEG，从 而2EFEBEDEBEG，于是由“等系数和线”知识可得：当F点位于直线BG上时，21；当F位于点A时，2取得最大值1，此时0,1,0EAEBED ；当F为点C时，2取得最小值8，此时22()23ECEDDCEDBDEDEBEDEBED，2，3；综上可得：2的取值范围为 8，1，故答案为：8

9、，1 16已知ABC中，311,523CDBC ECAC AFAB，若点P为四边形AEDF内一点（不含边界）且13DPDCxDE，则实数x的取值范围为 【答案】1(2，4)3【解析】如图所示 在线段BD上取一点G，使得13DGDC，设3DCa，则DGa，5BCa，BGa；过点G作/GHDE，分别交DF、AE于K、H，连接FH，则点K、H为临界点；/GHDE，所以13HEEC，23AHEC，43HGDE，12AHAFHCFB，所以/FHBC；所以13FHBC，所以FHKHDGKG，所以35KGHK，3182KGHGDE 所以实数x的取值范围是1(2，4)3 故答案为：1(2，4)3 三解答题 1

10、7设1e，2e是不共线的非零向量，且122aee，123bee（1）证明：a，b可以作为一组基底；（2）以a，b为基底，求向量123cee的分解式；（3）若1243eeab，求，的值【答案】（1）,a b可以作为一组基底；（2）2cab；（3）3，1【解析】（1）证明：根据题意，,a b为非零向量；若,a b共线，则bka；12123(2)eek ee；12(1)(32)0k ek e；12,e e不共线；10320kk，该方程组无解；,a b共线不成立，即,a b不共线；,a b可以作为一组基底；（2）设121212(2)(3)()(32)cxaybx eey eexy eyx e；又123

11、cee；由平面向量基本定理得，3321xyyx；解得21xy；2cab；（3）1212121243(2)(3)()(23)eeabeeeeee，且12,e e不共线；由平面向量基本定理得，4233；解得3，1 18已知点G是ABC的重心，点D在边AC上，2ADDC（1）用AB和AC表示AG；（2）用AB和AC表示DG【答案】（1）AB1133ABAC；（2）DG1133ABAC.【解析】根据题意可画图：（1）G为重心，是三角形中线的交点，即重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1，23AGAE 2 11()3 22ABAC 1133ABAC（2）DGDAAG，根据第一问的结论，得：2

12、11333DGACABAC 1133ABAC 19如图，已知在OCB中，A是CB的中点，D是线段OB的靠近点B的三等分点，DC和OA交于点E，设,OAa OBb（1）用a和b表示向量,OC DC（2）若OEOA，求实数的值 【答案】（1）2OCab，523DCab；（2）45.【解析】（1）22()2OCOBBCOBBAOBOAOBOAOB，,OAa OBb已知，2OCab，23DCOCODOCOB，252233DCabbab（2）设(0)DEDC，OEODDEODDC，()ODOCOD(1)ODOC 22,233ODOBb OCab，252()33OEab 又OEOAa，且,a b不共线 所

13、以由平面向量基本定理知：252033且，45.20已知a，b为不共线的平面向量，ABab，28BCab，3()CDab（1）求证：A，B，D三点共线；（2）设E是线段BC中点，用a，b表示AE【答案】（1）证明见解析；（2）25AEab.【解析】（1）证明：ABab，28BCab，3()CDab 5()5BDBCCDabAB，A，B，D三点共线；（2）ABab，28BCab，A，B，C三点不共线；因为E是线段BC中点，AE为三角形ABC的中线；11()(2)2522AEABACABBCab 21已知OAB中，点D在线段OB上，且2ODDB，延长BA到C，使BAAC设,OAa OBb（1）用,a

14、 b表示向量,OC DC；（2）若向量OC与OAkDC共线，求k的值 【答案】（1）2OCab，523DCab；（2）34k.【解析】（1）A为BC的中点，1()2OAOBOC，可得22OCOAOBab，而25233DCOCODOCOBab（2）由（1），得5(21)3OAkDCkakb，OC与OAkDC共线，设()OCOAkDC 即52(21)3abkakb，根据平面向量基本定理，得2(21)513kk 解之得，34k 22在OPQ中，11,23OAOP OBOQ，QA与PB相交于点C，设OPa，OQb （1）用a，b表示OC；（2）过C点作直线l分别与线段OQ，OP交于点M，N，设,OMOQ ONOP，求证：21155 【答案】（1）2155OCab；（2）1.【解析】（1）A，C，Q三点共线，存在实数k，使ACkAQ，1(1)2kOCkOQk OAakb；同理，P，C，B三点共线，得到存在实数t，使1(1)3tOCtOPt OBtab；根据平面向量基本定理知：1213kttk，解得12,55kt；2155OCab；（2）由N，C，M三点共线，(1)(1)OCxOMx ONx bxa；又由（1）知2155OCab 所以152(1)5xx，211155xx