湖南省长沙市明德中学2022-2023学年高二上学期入学考试数学试题及答案3244.pdf

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1、明德中学 2022 年下学期高二入学考试 数 学 时量：120 分钟 满分：150 分 一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合lg 1Ax yx，220Bx xx，则AB()A.0,B.,1 C.0,2 D.,2 2.复数7i34i的值为()A.1i B.1i C.1i D.1 i 3.从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是()A.“至少有1个红球”与“都是黑球”B.“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”C.“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”D.“都是红球”与

2、“都是黑球”4.函数2lnyxx的图象大致为()A.B.C.D.5.已知m，n为两条不同直线，为两个不同平面，给出下列命题：/mnmn；/mmnn；/mm；/mnmn；其中正确命题的序号是()A.B.C.D.6.一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为12，且是相互独立的，则灯亮的概率是()A.164 B.5564 C.18 D.116 7.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4 3bc，sin2sincos0ABC，则ABC的面积的最大值为()A.1 B.3 C.2 D.2 3 8.已知函数 2log41xf xkx，24log203xg xaaa，若

3、 f x是偶函数且满足函数 yfxg x有一个零点，则a的取值范围是()A.01a B.01a C.1a D.1a 二、多选题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.全对得 5 分，部分选对得 2 分，多选、错选不得分)9.下列命题中正确的是()A.若2abb，则ab B.已知0a，0b，若4ab，则4ab C.已知0a，0b，若4ab，则111ab D.命题“ab，都有11ab成立”的否定是“ab，使11ab成立”10.已知向量2,1a，3,1b ，则()A.aba B.与向量a共线的单位向量是2 55,55 C.25ab D.向量a在向量b上的投影向量是102b 11.对于AB

4、C，有如下命题，其中正确的有()A.若sin 2sin 2AB，则ABC是等腰三角形 B.若ABC是锐角三角形，则不等式sincosAB恒成立 C.若222sinsincos1ABC，则ABC为钝角三角形 D.若3AB，1AC，30B，则ABC的面积为34或32 12.如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为2，E，F，G分别为BC，1CC，1BB的中点，则()A.直线1DD与直线AF垂直 B.直线1AG与平面AEF平行 C.平面AEF截正方体所得的截面面积为92 D.点1A和点D到平面AEF的距离相等 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13.不等式339xx

5、的解集是_.14.如 图，在ABC中，12ANNC，P是 线 段BN上 的 一 点，若15APmABAC，则实数m_.15.从1，2，3，4，5中任取两个不同的数，其中一个作为对数的底数a，另一个作为对数的真数b，则log0,1ab的概率为_.16.如图，四棱台1111ABCDABC D上下底面都为正方形且侧棱长都相等，且1112ABAB.设E、F、G分别是棱AB、BC、11C D的中点，过E、F、G的平面与1AA交于点H，则1AHAA值为_；若四棱台1111ABCDABC D的高为2，体积为14，则该四棱台外接球的表面积为_.四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字

6、说明、证明过程或演算步骤.)17.(10 分)已知向量23,sinax，sincos,1bxx，函数 12f xa b.(1)求 f x的单调增区间；(2)设0,6，若425f，求 f的值.18.(12 分)如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为1，E为11B D的中点，ACBDO.(1)求证：AC 平面11B BDD；(2)求证：/DE平面1ACB；(3)求三棱锥1EACB的体积.19.(12 分)为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q pq，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两

7、人同时答对的概率为12，恰有一人答对的概率为512.(1)求p和q的值；(2)求甲、乙两人共答对3道题的概率.20.(12 分)如图，为了检测某工业园区的空气质量，在点A处设立一个空气监测中心(大小忽略不计)，在点B处安装一套监测设备.为了使监测数据更加准确，在点C和点D处，再分别安装一套监测设备，且满足2kmAB，4kmBC 且ACD为正三角形.(1)若3BAC，求ABD的面积；(2)设ABCa.试用a表示ABD的面积，并求其最大值.21.(12 分)如图，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的对角线交于点F，G为SB的中点，2ABCBAD，112SAABBCAD.(1)求钝二

8、面角CSDE的余弦值；(2)在线段EG上是否存在一点H，使得BH与平面SCD所成角的大小为6若存在，求出GH的长；若不存在，说明理由.22.(12 分)定义在1,1上的函数 f x满足对任意的,1,1x y，都有 1xyf xfyfxy，且当0,1x时，0fx.(1)求证：函数 f x是奇函数；(2)求证：f x在1,1上是减函数；(3)若112f，221f xtat对任意1 1,2 2x，1,1a 恒成立，求实数t的取值范围.明德中学 2022 年下学期高二入学考试 数学参考答案 一、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 D B D A B B B C 二、多项选择题 9 10 11

9、12 BC AC BCD BCD 三、填空题 13.,1 14.25 15.38 16.23 38516 三、解答题 17.【解析】(1)因为23,sinax，sincos,1bxx，所以 2113sincossin22f xa bxxx，31sin2cos2sin 2226xxx，令222262kxkkZ，解得36kxkkZ，即 f x的单调增区间为,36kk，kZ；(2)由(1)可知，sin 26f xx，则4sin265f，因为0,6，所以,66 3，所以cos06，所以23cos1 sin665，所以24sin 22sincos36625，27cos 22cos13625 所以 sin

10、 2sin 2sin 2coscos 2sin6363636f，即 2437124 3725225250f.18.【解析】(1)证明：在正方体中，1BB 平面ABCD，AC 平面ABCD，1BBAC，ACBD，1BDBBB，AC 平面11B BDD.(2)证明：连接1OB，在正方体中，11/BBDD且11BBDD，四边形11BB D D是平行四边形，11/BDB D且11BDB D，O，E分别为BD，11B D中点，1DOEB，四边形1DEB O是平行四边形，1/DEOB，DE 平面1ACB，1OB 平面1ACB，/DE平面1ACB.(3)由(2)得/DE平面1ACB，E点到平面1ACB的距离

11、即为D点到平面1ACB的距离，11EACBD ACBVV1BACDV11136ACDSBB.19.【解析】(1)设A“甲同学答对第一题”，B“乙同学答对第一题”，则 P Ap，P Bq，设C“甲、乙二人均答对第一题”，D“甲、乙二人恰有一人答对第一题”，则CAB，DABAB，甲、乙两人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，A与B相互独立，AB与AB互斥，P CP ABP A P Bpq，()()11P DP ABP ABP AP BP AP B.由题意得：1251112pqpqqp，解得3423pq或2334pq.pq，34p，23q.(2)设iA“甲同学答对了i道题”，iB“乙同学答对了

12、i道题”，0,1,2i，由题意得 11331344448P A，23394416P A，12112433339P B，2224339P B.设E“甲、乙两人共答对3道题”，则 1221EABAB，1221349458916912P EP ABP AB.甲、乙两人共答对3道题的概率为512.20.【解析】(1)由余弦定理得222cos2ABACBCBACAB AC，2141624ACAC，即22120ACAC，解得113AC 或113AC (舍去)，因为正ACD为正三角形，所以113AD ，1sin1202ACDSAB AD 2133392113km222.(2)设正ACD的边长为x，BAC，在

13、ABC中，42sinsinsinx 4sin2sinsinsinx，2sinsin，2sincos2cossinsin，2sincossin12cos，1sin 602ABDSAB AD sin 60 x 4sinsin 60sin 4sin31cossinsin22 2 3sincos2sinsin 3 1 2cos2sin 34sin3，0,，故当56时，面积最大，此时，ABD的最大面积243 kmS.21.【解析】(1)因为SA 平面ABCD，AB，AD 平面ABCD，所以SAAB，SAAD，又2BAD，所以ABAD，以,AB AD AS为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则

14、0,0,0A，1,0,0B，1,1,0C，0,2,0D，0,0,1S，0,2,1E，11,0,22G，1,1,0CD ，1,1,1SC，设平面SCD的法向量为,mx y z，则00m CDm SCD，即00 xyxyz，令1x，得1y，2z，所 以 平 面S C D的 一 个 法 向 量 为1,1,2m，又平面ESD的一个法向量为1,0,0AB，所以2221 1 1 02 06cos,61121m ABm ABmAB ，由图形可知，二面角CSDE的余弦值为66.(2)存在，理由如下：假设存在点H，设11,2,22GHGE，则1111,2,2222BHBGGE，由(2)知，平面SCD的一个法向量

15、为1,1,2m，则221121122sincos,6216412m BHm BHmBH，即210，所以1，则11,2,22GHGE，故存在满足题意的点H，此时3 22GHGE.22.【解析】(1)令0 x，0y，得 000fff，所以 00f.令yx，得 00f xfxf，即 fxfx，所以函数 f x是奇函数.(2)设1211xx，则11,1x，所以 212121121xxf xf xf xfxfx x.因为210 xx，11x，21x，所以121x x，即1211x x，所以211201xxx x.又12211212111011xxxxx xx x，所以2112011xxx x，所以211201xxfx x，所以 210fxfx，即 12fxfx，所以 f x在1,1上是减函数.(3)由(2)知函数 f x在1,1上是减函数，所以当1 1,2 2x 时，函数()f x的最大值为11122ff，所以 221f xtat对任意1 1,2 2x，1,1a 恒成立等价于2121tat对任意1,1a 恒成立，即2220tat对任意1,1a 恒成立.设 222222g atattat，是关于a的一次函数，1,1a，要使 2220g atat 对任意1,1a 恒成立，所以 1010gg，即22220220tttt，解得13t 或31t，所以实数t的取值范围是,1313,.