2010年全国硕士研究生入学统一考试2847.pdf

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1、 梦想不会辜负每一个努力的人 1 2010 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题(18 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.)(1)若011lim1xxa exx,则a等于()(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.(2)设12,y y是一阶非齐次微分方程 yp x yq x的两个特解,若常数，使12yy是该方程的解,12yy是该方程对应的齐次方程的解,则()(A)11,22.(B)11,22 .(C)21,33.(D)22,33.【答案解析】见真题理论验证强化指导部分数二试题一(2)

2、.(3)设函数 ,f xg x具有二阶导数,且 0gx,若 0g xa是 g x的极值,则 f g x在0 x取极大值的一个充分条件是()(A)0fa.(B)0fa.(C)0fa.(D)0fa.(4)设 1010ln,xf xx g xx h xe,则当x充分大时有()(A)g xh xf x.(B)h xg xf x.(C)f xg xh x.(D)g xf xh x.(5)设向量组12:,rI 可由向量组12:,sII 线性表示,下列命题正确的是()(A)若向量组I线性无关,则rs.(B)若向量组I线性相关,则rs.(C)若向量组II线性无关,则rs.(D)若向量组II线性相关,则rs.(

3、6)设A为 4 阶实对称矩阵,且2OAA,若A的秩为 3,则A相似于()梦想不会辜负每一个努力的人 2(A)1110.(B)1110.(C)1110.(D)1110.(7)设 随 机 变 量X的 分 布 函 数0,01(),0121,1xxF xxex,则1P X=()(A)0.(B)12.(C)112e.(D)11 e.(8)设1()f x为标准正态分布的概率密度,2()fx为1,3上均匀分布的概率密度,若 12()0()(0,0)()0af xxf xabbfxx 为概率密度,则,a b应满足()(A)234ab.(B)324ab.(C)1ab.(D)2ab.二、填空题(914 小题,每小

4、题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)设可导函数()yy x由方程2200sinx yxtedtxt dt确定,则0 xdydx.(10)设位于曲线21()(1 ln)yexxx 下方,x轴上方的无界区域为G,则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积是.(11)设某商品的收益函数为()R p,收益弹性为31 p,其中p为价格,且(1)1R,则()R p=.(12)若曲线321yxaxbx有拐点(1,0),则b .(13)设A,B为 3 阶矩阵,且3A,2B,12AB,则1AB.梦想不会辜负每一个努力的人 3(14)设12,nX XX是来自总体2(,)N(0)的简单随机样本

5、,统计量211niiTXn,则 E T.三、解答题(1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分 10 分)求极限11lnlim(1)xxxx.(16)(本题满分 10 分)计算二重积分3()Dxy dxdy,其中D由曲线21xy与直线20 xy及20 xy围成.(17)(本题满分 10 分)求函数2uxyyz在约束条件22210 xyz下的最大值和最小值.(18)(本题满分 10 分)(I)比较10lnln 1nttdt与10lnntt dt1,2,n 的大小,说明理由(II)记10lnln 1nnuttdt1,2,

6、n,求极限limnnu(19)(本题满分 10 分)设 函 数()f x在0,3上 连 续,在0,3内 存 在 二 阶 导 数,且202(0)()(2)(3)ff x dxff,(I)证明存在(0,2),使()(0);ff ;(II)证明存在(0,3),使()0f(20)(本题满分 11 分)设110111aAb ，已知线性方程组Axb存在 2 个不同的解(I)求,a;(II)求方程组Axb的通解.(21)(本题满分 11 分)梦想不会辜负每一个努力的人 4 设0141340Aaa,正交矩阵Q使得TQ AQ为对角矩阵,若Q的第 1 列为1(1,2,1)6T,求,a Q(22)(本题满分 11

7、分)设二维随机变量(,)X Y的概率密度为 2222(,)xxy yf x yAe,x ,y ,求常数A及条件概率密度|(|)Y Xfy x(23)(本题满分 11 分)箱中装有 6 个球,其中红、白、黑球的个数分别为1,2,3个,现从箱中随机取出 2 个球,记X为取出的红球个数,Y为取出的白球个数.(I)求随机变量(,)X Y的概率分布；(II)求(,)Cov X Y.梦想不会辜负每一个努力的人 5 2010 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题参考答案 一、选择题(1)【答案】(C).【解析】000011111limlim11lim1limxxxxxxxxxxeaxea eeaxeax

8、exxxxxx 001limlim11xxxxeaxeaxx 所以2a.(2)【答案】(A)【解析】因12yy是 0yP x y的解,故 12120yyP xyy,所以 1122()0yP x yyp x y,而由已知 1122,yP x yq xyP x yq x,所以 0q x,又由于一阶次微分方程 yp x yq x是非齐的,由此可知 0q x,所以0 由于12yy是非齐次微分方程 yP x yq x的解,所以 1212yyP xyyq x,整理得 1122yP x yyP x yq x,即 q xq x,由 0q x 可知1,由求解得12,故应选(A)(3)【答案】(B).【解析】()

9、()()f g xfg xg x,2()()()()()()()f g xfg xg xfg xg xfg xgx 由于0()g xa是()g x的极值,所以0()0g x.所以 梦想不会辜负每一个努力的人 6 0000()()()()f g xfg xgxfagx 由于0()0gx,要使()0f g x,必须有()0fa,故答案为 B.(4)【答案】(C).【解析】因为1010()1limlimlim()10 xxxxxh xeeg xx,所以,当x充分大时,()()h xg x.又因为91091ln()lnlnlimlimlim 1010 lim()1xxxxxf xxxxg xxx 81

10、lnln110 9 lim10 92 lim10!lim01xxxxxxxx.所以当x充分大时,()()f xg x,故当x充分大,()()()f xg xh x.(5)【答案】(A)【解析】由于向量组I能由向量组II线性表示,所以(I)(II)rr,即 11(,)(,)rsrrs 若向量组I线性无关,则1(,)rrr,所以11(,)(,)rsrrrs,即rs,选(A).(6)【答案】(D).【解析】设为A的特征值,由于2AAO,所以20,即(1)0,这样A的特 征 值 只 能 为-1或0.由 于A为 实 对 称 矩 阵,故A可 相 似 对 角 化,即A,()()3r Ar,因此,1110,即

11、1110A.(7)【答案】(C).【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中()F x的形式,得到随机变量X既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即 111111111 0122P XP XP XFFee,故本题选(C).(8)【答案】(A).梦想不会辜负每一个努力的人 7【解析】根据题意知,22112xfxe(x ),21,1340,xfx其它 利用概率密度的性质:1fx dx,故 0312100131242

12、4aaf x dxafx dxbfx dxfx dxbdxb 所以整理得到234ab,故本题应选(A).二、填空题(9)【答案】1.【解析】2200sinx yxtedtxt dt,令0 x,得0y,等式两端对x求导：2()220(1)sinsinxx ydyet dtxxdx 将0 x,0y 代入上式,得010 xdydx.所以01xdydx.(10)【答案】24.【解析】根据绕x轴旋转公式,有 221 lneedxVy dxxx 22lnarctan ln1ln244eedxxx.(11)【答案】3113Pp e.【解析】由弹性的定义,得31dRppdp R,所以21dRpdpRp,即21

13、lnln3RppC,又 11R,所以13C .故11lnln33Rpp,因此3113pRp e.(12)【答案】3b.【解析】函数为321yxaxbx,它的一阶导数为232;yxaxb 二阶导数为62yxa,又因为1,0是拐点,所以10 xy,得13a,所以3a,又因为曲线过点1,0,所以将1,0 xy 代入曲线方程,得3b.梦想不会辜负每一个努力的人 8(13)【答案】3.【解析】由于1111()()A AB BEAB BBA,所以 11111()ABA AB BA AB B 因为2B,所以1112BB,因此 11113 232ABA AB B .(14)【答案】22.【解析】2222221

14、1111nniiiiE TEXEXnE XE Xnnn.三、解答题(15)【解析】11lnln1ln11ln11lnlimlimlnlnlnlim1limxxxxxxxxexxxxxxxxeee 其中 lnlnln12ln(1)(1)1 lnlimlim1lnxxxxxxxxeeexxxxlnln1 ln1limlim(1)1lnlnxxxxxxexexxxx.故原式1e.(16)【解析】积分区域12DDD,其中21,01,21Dx yyyxy 22,10,21Dx yyyxy 3322333DDxydxdyxx yxyydxdy 因 为 区 域D关 于x轴 对 称,被 积 函 数233x y

15、y是y的 奇 函 数,所 以2330Dx yydxdy 211133232320232323yyDDDxydxdyxxydxdyxxydxdydyxxydx 2114222013242yyxx ydy14209114224415yydy.(17)【解析】令222,210F x y zxyyzxyz,用拉格朗日乘数法得 梦想不会辜负每一个努力的人 9 22220,220,220,100,xyzFyxFxzyFyzFxyz 求解得六个点：1,5,2,1,5,2,AB 1,5,2,1,5,2,CD 2 2,0,2,2 2,0,2.EF 由于在点A与B点处,5 5u；在点C与D处,5 5u ；在点E与

16、F处,0u 又因为该问题必存在最值,并且不可能在其它点处,所以max5 5u,min5 5u (18)【解析】(I)当01x时0ln(1)xx,故ln(1)nntt,所以 lnln(1)lnnnttt t,则 1100lnln(1)lnnnttdtt t dt1,2,n.(II)11110001lnlnln1nnnt t dtt t dttd tn 211n,故由 12010ln1nnut t dtn,根据夹逼定理得210limlim01nnnun,所以lim0nnu.(19)【解析】(I)因为202(0)()ff x dx,又因为 f x在0,2上连续,所以由积分中值定理得,至少有一点0,2

17、,使得 2020f x dxf 即 202ff,所以存在0,2,使得 0ff.()因为 2320fff,即 2302fff,又因为 f x在2,3上连续,由介值定理知,至少存在一点12,3使得 10ff.梦想不会辜负每一个努力的人 10 因为 f x在0,2上连续,在0,2上可导,且 02ff,所以由罗尔中值定理知,存在10,2,有 10f.又因为 f x在12,上连续,在12,上可导,且 120fff,所以由罗尔中值定理知,存在212,有 20f.又因为 f x在12,上二阶可导,且 120ff,所以由罗尔中值定理,至少有一点0,3Axb,使得 0f.(20)【解析】因为方程组有两个不同的解

18、,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于 3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法 1：(I)已知Axb有 2 个不同的解,故()()3r Ar A,对增广矩阵进行初等行变换,得 111110101010111111aAa 22111111010101010110011aa 当1时,1 1 1 11 1 1 10 0 0 10 0 0 10 0 00 0 0 0Aa,此时,()()r Ar A,故Axb无解(舍去)当1 时,111102010002Aa,由于()()3r Ar A,所以2a ,故1,2a.方法 2：已知Axb有 2 个不同的解,故()()3r Ar A,因

19、此0A,即 211010(1)(1)011A,知1或-1.当1时,()1()2r Ar A,此时,Axb无解,因此1.由()()r Ar A,得2a .(II)对增广矩阵做初等行变换 梦想不会辜负每一个努力的人 11 31012111211121020102010102111100000000A 可知原方程组等价为1323212xxx,写成向量的形式,即123332110210 xxxx .因此Axb的通解为32110210 xk ,其中k为任意常数.(21)【解析】由于0141340Aaa,存在正交矩阵Q,使得TQ AQ为对角阵,且Q的第一列为1(1,2,1)6T,故A对应于1的特征向量为1

20、1(1,2,1)6T.根据特征值和特征向量的定义,有1116622661166A,即 10141113224011aa ,由此可得11,2a.故014131410A.由14131(4)(2)(5)041EA,可得A的特征值为1232,4,5.梦想不会辜负每一个努力的人 12 由2()0EA x,即1234141710414xxx,可解得对应于24 的线性无关的特征向量为2(1,0,1)T.由3()0EA x,即1235141210415xxx,可解得对应于35的特征向量为3(1,1,1)T.由于A为实对称矩阵,123,为对应于不同特征值的特征向量,所以123,相互正交,只需单位化：312123

21、123111(1,2,1),(1,0,1),(1,1,1)623TTT,取12311162321,063111623Q ,则245TQ AQ .(22)【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度,f x y后,要求条件概率密度|(|)Y Xfy x,可以根据条件概率公式|(,)(|)()Y XXf x yfy xfx来进行计算.本题中还有待定参数,A要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.22222222()(),xxy yy xxxy xXfxf x y dyAedyAedyAeedy 2,xAex .根据概率密度性质有 21xXfx dxAedxA,即1A,故 21xXfxe,x .当x

22、时,有条件概率密度 222222222(),11,xxy yxxy yx yY XxXf x yAefy xeexyfxAe .梦想不会辜负每一个努力的人 13 (23)【解析】(I)X的所有可能取值为0,1,Y的所有可能取值为0,1,2 2326310,0155CP XYC,其中0,0XY表示取到的两个球都是黑球；112326620,1155C CP XYC,其中0,1XY表示取到的一个是白球,一个是黑球；222610,215CP XYC,其中0,2XY表示取到的两个球都是白球；111326311,0155C CP XYC,其中1,0XY表示取到的一个是红球,一个是黑球；11122621,115C CP XYC,其中1,1XY表示取到的一个是红球,一个是白球；2601,20P XYC,因此二维离散型随机变量,X Y的概率分布为 (II),Cov X YE XYE X E Y,221 11515E XY ,21101333E X ,2812012515153E Y 2124,153345Cov X YE XYE X E Y.XY 0 1 0 1 2 15 25 115 15 215 0 23 13 25 115815 梦想不会辜负每一个努力的人 14