2020届福建连城县第一中学高三4月模拟考试数学(文)试题及答案4423.pdf

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1、 高三模拟考数学(文科)考生注意：1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 AxZ|1x5，Bx|0 x2，则 AB（）A.x|1x2 B.x|0 x5 C.0，1，2 D.1，2 2.已知 a，bR，3(21)aibai，则（）A.b3a B.b6a C.b9a D.b12a 3.已知向量()0,2=ra，2 3,bxr，且ar与br的夹角

2、为3，则 x=（）A.-2 B.2 C.1 D.-1 4.若 x，y 满足约束条件-0210 x yxyx，则 z=23yx的最大值为（）A.12 B.34 C.52 D.3 5.如图所示的程序框图，当其运行结果为 31 时，则图中判断框处应填入的是（）A.3?i B.4?i C.5?i D.6?i 6.已知 f x是定义在R上的奇函数，当0 x 时，32f xx，则不等式 0f x 的解集为()A.3 3,2 2 B.33,22 C.33,0,22 D.33,0,22 7.某班 45名同学都参加了立定跳远和 100 米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和 100 米跑合格的人数分别为 30和

3、35，两项都不合格的人数为 5.现从这 45名同学中按测试是否合格分层（分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅 100 米跑合格、两项都不合格四种）抽出 9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有（）A.1 人 B.2 人 C.5 人 D.6 人 8.在正方体1111ABCDABC D中，E，F分别为1CC，1DD的中点，则异面直线AF，DE所成角的余弦值为（）A.14 B.154 C.2 65 D.15 9.已知椭圆22ya+22xb=1(ab0)与直线1yaxb交于 A，B两点，焦点 F(0，-c)，其中 c 为半焦距，若ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（）A.5-12 B.3-

4、12 C.314 D.514 10.将函数 f(x)=sin 3x-3cos 3x+1 的图象向左平移6个单位长度，得到函数 g(x)的图象，给出下列关于 g(x)的结论：它的图象关于直线 x=59对称；它的最小正周期为23；它的图象关于点(1118，1)对称；它在51939，上单调递增.其中所有正确结论的编号是（）A.B.C.D.11.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作孙子算经卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将 1到 2020这 2020 个自然数中被 5

5、除余 3 且被 7 除余 2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（）A.56383 B.57171 C.59189 D.61242 12.已知函数()exf xa（0a）与2()2g xxm（0m）的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m变化时，实数a的取值范围为（）A.24,e B.28,e C.240,e D.280,e 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知数列 na为等比数列，12232,6aaaa，则5a _.14.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.直角三角形最短的

6、边称为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数.现从15这5个数中随机选取3个不同的数，这三个数为勾股数的概率为_ 15.已知双曲线22xa-22yb=1(a0，b0)与抛物线 y2=8x 有一个共同的焦点 F，两曲线的一个交点为 P，若|FP|=5，则点 F到双曲线的渐近线的距离为_.16.如图，在三棱锥 ABCD中，点 E 在 BD上，EAEBECED，BD2CD，ACD 为正三角形，点 M，N分别在 AE，CD上运动（不含端点），且 AMCN，则当四面体 CEMN的体积取得最大值23时，三棱锥 ABCD的外接球的表面积为_.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70

7、分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721题为必考题，每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共 60 分.17.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且22 cosacbC.(1)求sin2ACB值；(2)若3b，求ca的取值范围.18.某校高三（1）班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重.为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早、晚读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班 50名同 学进行调查，将调查结果进行整理后制成下表：考试分数 85,95 95,105 105,115 11

8、5,125 125,135 135,145 频数 5 10 15 5 10 5 赞成人数 4 6 9 3 6 4 （1）欲使测试优秀率为 30%，则优秀分数线应定为多少分？（2）依据第 1问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出22列联表，并判断是否有 90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.参考公式及数据：22()()()()()n ad bcKa b cd a c b d，nabcd .20P Kk 0.100 0.050 0.025 0.010 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 19.如图，在四棱锥PABCD中，PA

9、 底面ABCD，/AD BC，90DAB，122ABBCPAAD，E为PB的中点，F是PC上的点.（1）若/EF平面PAD，证明：F是PC的中点.（2）求点C到平面PBD距离.20.设抛物线 C：y2=2px(p0)的焦点为 F，准线为 l，AB 为过焦点 F 且垂直于 x轴的抛物线 C 的弦，已知以AB 为直径的圆经过点(-1，0).（1）求 p 的值及该圆的方程；（2）设 M为 l上任意一点，过点 M作 C 的切线，切点为 N，证明：MFNF.21.已知函数(1)(1ln)()3xxf xmx，()lng xmxx(R)m.(1)求函数()g x的单调区间与极值.(2)当0m 时，是否存在

10、 12,1,2x x，使得12()()f xg x成立？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，请说明理由.(二)选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为cos,3sinxy（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sincos6.（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若射线m的极坐标方程为3（0）.设m与C相交于点M，m与l相交于点N，求|MN.选修 4-5：不等式选讲 23.设函数1()1|1|2

11、f xxx（xR）的最小值为m.（1）求m的值；（2）若a，b，c为正实数，且1112233mambmc，证明：21993abc.高三模拟考数学(文科)考生注意：1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 AxZ|1x5，Bx|0 x2，则 AB（）A.x|1x2 B.x|0 x5 C.0，1，2 D.1，2【答案】D【解析】【分析】列举法表示

12、集合 A，直接进行交集运算.【详解】集合 AxZ|1x50，1，2，3，4，Bx|0 x2，AB1，2 故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.已知 a，bR，3(21)aibai，则（）A.b3a B.b6a C.b9a D.b12a【答案】C【解析】【分析】两复数相等，实部与虚部对应相等.【详解】由3(21)aibai，得31 2baa，即 a13，b3 b9a 故选：C【点睛】本题考查复数的概念，属于基础题.3.已知向量()0,2=ra，2 3,bxr，且ar与br的夹角为3，则 x=（）A.-2 B.2 C.1 D.-1【答案】B【解析】【分析】由题意cos3a ba

13、br rr r，代入解方程即可得解.【详解】由题意221cos32212a bxa bxr rr r，所以0 x，且2212xx，解得2x.故选：B.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.4.若 x，y 满足约束条件-0210 x yxyx，则 z=23yx的最大值为（）A.12 B.34 C.52 D.3【答案】C【解析】【分析】根据题意知，目标函数 z=23yx的几何意义为经过平面区域内的动点,P x y与定点3,2A 直线的斜率，作出不等式组表示的平面区域，求出经过平面区域内点与点3,2A 直线斜率的最大值即可.【详解】由题意知，目标函数 z=23yx表示经过点3,

14、2A 和可行域内的点(x，y)的直线的斜率，作出不等式组表示的可行域如图所示：根据目标函数z的几何意义，由图可知,当直线过,A C两点时,目标函数 z=23yx有最大值,联立方程12xxy，解得13xy，所以点1,3C,代入目标函数可得,z=23yx的最大值为52.故选:C【点睛】本题考查非线性目标函数的线性规划问题；考查转化与化归能力、运算求解能力和数形结合思想；正确理解目标函数表示的几何意义是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.5.如图所示的程序框图，当其运行结果为 31 时，则图中判断框处应填入的是（）A.3?i B.4?i C.5?i D.6?i 【答案】C【解析】【分析】根据程序框

15、图的运行，循环算出当31S 时，结束运行，总结分析即可得出答案.【详解】由题可知，程序框图的运行结果为 31，当1S 时，9i；当1 910S 时，8i；当1 9818S 时，7i；当1 98725S 时，6i；当1 987631S 时，5i.此时输出31S.故选：C.【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.6.已知 f x是定义在R上的奇函数，当0 x 时，32f xx，则不等式 0f x 的解集为()A.3 3,2 2 B.33,22 C.33,0,22 D.33,0,22【答案】C【解析】【分析】先研究0 x 时，()f x的正负，然后根据奇函数性质得出

16、0 x 时函数值的正负，从而可得不等式()0f x 的解集【详解】0 x 时，()32f xx，302x时，()0f x，32x 时，()0f x，又()f x是奇函数，302x时，()0f x，32x 时，()0f x，又(0)0f，()0f x 的解集为33(,)(0,)22 U 故选：C【点睛】本题考查奇函数的性质利用奇函数在关于原点对称的区间上函数值相反，可以通过只讨论0 x 时()0f x 和()0f x 的解得出0 x 时相应的解，从而得出在整个定义域上原不等式的解集 7.某班 45名同学都参加了立定跳远和 100 米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和 100 米跑合格的人数分别为

17、 30和 35，两项都不合格的人数为 5.现从这 45名同学中按测试是否合格分层（分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅 100 米跑合格、两项都不合格四种）抽出 9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有（）A.1人 B.2人 C.5人 D.6人【答案】C【解析】【分析】根据分层抽样先求抽样比，再确定两项都合格的 25人中应该抽取的人数.【详解】由题意知两项都不合格的有 5人，两项都合格的有 25人，仅立定跳远合格的有 5人，仅 100米跑合格的有 10人.从 45 人中抽取 9人进行复测，则抽样比为91455，故两项都合格的 25 人中应该抽取25155人.故选：C.【点睛】本题考查分

18、层抽样，考查对概念的理解与应用，属于基础题.8.在正方体1111ABCDABC D中，E，F分别为1CC，1DD的中点，则异面直线AF，DE所成角的余弦值为（）A.14 B.154 C.2 65 D.15【答案】D【解析】【分析】连接BE，BD，因为/BE AF，所以BED为异面直线AF与DE所成的角（或补角），不妨设正方体的棱长为 2，取BD的中点为G，连接EG，在等腰BED中，求出3cos5EGBEGBE，在利用二倍角公式，求出cosBED，即可得出答案.【详解】连接BE，BD，因为/BE AF，所以BED为异面直线AF与DE所成的角（或补角），不妨设正方体的棱长为 2，则5BEDE，2

19、2BD，在等腰BED中，取BD的中点为G，连接EG，则523EG，3cos5EGBEGBE，所以2coscos 22cos1BEDBEGBEG，即：31cos2155BED，所以异面直线AF，DE所成角的余弦值为15.故选：D.【点睛】本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力.9.已知椭圆22ya+22xb=1(ab0)与直线1yaxb交于 A，B两点，焦点 F(0，-c)，其中 c 为半焦距，若ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（）A.5-12 B.3-12 C.314 D.514【答案】A【解析】【分析】联立直线与椭圆方程求出交点 A，

20、B 两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,a b c的关系式，解方程求解即可.【详解】联立方程222211yxabyxab，解方程可得0 xya或0 xby，不妨设 A(0，a)，B(-b，0)，由题意可知，BAuuurBFuuur=0，因为,BAb auuur，,BFbcuuur，由平面向量垂直的坐标表示可得，0b bac，因为222bac，所以 a2-c2=ac，两边同时除以2a可得，210ee，解得 e=5-12或152e（舍去），所以该椭圆的离心率为5-12.故选：A【点睛】本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量

21、垂直的坐标表示得到关于,a b c的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.10.将函数 f(x)=sin 3x-3cos 3x+1 的图象向左平移6个单位长度，得到函数 g(x)的图象，给出下列关于 g(x)的结论：它的图象关于直线 x=59对称；它的最小正周期为23；它的图象关于点(1118，1)对称；它在51939，上单调递增.其中所有正确结论的编号是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数sinyAx图象的平移变换公式求出函数()g x的解析式，再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可.【详解】因为 f(x)=sin 3x-3cos 3x+1=2sin(3

22、x-3)+1，由sinyAx图象的平移变换公式知，函数 g(x)=2sin3(x+6)-3+1=2sin(3x+6)+1，其最小正周期为23T，故正确；令 3x+6=k+2，得 x=3k+9(kZ)，所以 x=59不是对称轴，故错误；令 3x+6=k，得 x=3k-18(kZ)，取 k=2，得 x=1118，故函数 g(x)的图象关于点(1118，1)对称，故正确；令 2k-23x+62k+2，kZ，得23k-29x23k+9，取 k=2，得109x139，取 k=3，得169x199，故错误；故选：B【点睛】本题考查sinyAx图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质；考查

23、运算求解能力和整体代换思想；熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型 11.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作孙子算经卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将 1到 2020这 2020 个自然数中被 5除余 3 且被 7 除余 2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（）A.56383 B.57171 C.59189 D.61242【答案】C【解析】【分析】根据“被 5 除余 3 且被

24、 7除余 2 的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前n项和公式，可得结果.【详解】被 5除余 3且被 7 除余 2 的正整数构成首项为 23，公差为5 735的等差数列，记数列 na 则233513512nann 令35122020nan，解得25835n.故该数列各项之和为58 5758 2335591892.故选：C.【点睛】本题考查等差数列的应用，属基础题。12.已知函数()exf xa（0a）与2()2g xxm（0m）的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m变化时，实数a的取值范围为（）A.24,e B.28,e C.240,e D.280,e【答案

25、】D【解析】【分析】设切点为00,A xy，则00200e2,e4,xxaxmax通过代入法将m用0 x表示，再构造函数进行求值域，即可得答案.【详解】设切点为00,A xy，则00200e2,e4,xxaxmax整理得200042,0,0,xxmxm 由200240mxx，解得02x.由上可知004exxa，令4()exxh x，则4(1)()xxh xe.因为2x，所以4(1)()0exxh x，4()exxh x 在(2,)上单调递减，所以280()eh x，即280,ea.【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数判断函数的单调性及求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理

26、能力、运算求解能力.第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知数列 na为等比数列，12232,6aaaa，则5a _.【答案】81【解析】【分析】设数列 na的公比为q，利用等比数列通项公式求出1,a q，代入等比数列通项公式即可求解.【详解】设数列 na的公比为q，由题意知，23123aaqaa 因为122aa，由等比数列通项公式可得，1132aa，解得11a，由等比数列通项公式可得，44511381aa q .故答案为：81【点睛】本题考查等比数列通项公式；考查运算求解能力；属于基础题.14.中国是发现和研究勾股定理最古老的

27、国家之一.直角三角形最短的边称为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数.现从15这5个数中随机选取3个不同的数，这三个数为勾股数的概率为_【答案】110【解析】【分析】根据古典概型的概率计算公式即可求出【详解】从这5个数中随机抽取3个整数，所有基本事件个数为10，其中的勾股数为3,4,5，共1个，故概率110P.故答案为：110【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式的应用，属于基础题 15.已知双曲线22xa-22yb=1(a0，b0)与抛物线 y2=8x 有一个共同的焦点 F，两曲线的一个交点为 P，若|FP|=5，则点 F到双曲线的渐近线的距离为_.【答案】3【

28、解析】【分析】设点P为00,x y，由抛物线定义知，025FPx，求出点 P坐标代入双曲线方程得到,a b的关系式，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】由题意得 F(2，0)，因为点 P在抛物线 y2=8x 上，|FP|=5，设点P为00,x y，由抛物线定义知，025FPx，解得0032 6xy，不妨取 P(3，26)，代入双曲线22xa-22yb=1，得29a-224b=1，又因为 a2+b2=4，解得 a=1，b=3，因为双曲线的渐近线方程为byxa，所以双曲线的渐近线为 y=3x，由点到直线的距离公式可得，点 F 到双曲线的渐近线的距离222 3313d.故

29、答案为：3【点睛】本题考查双曲线和抛物线方程及其几何性质；考查运算求解能力和知识迁移能力；灵活运用双曲线和抛物线的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.16.如图，在三棱锥 ABCD中，点 E 在 BD上，EAEBECED，BD2CD，ACD 为正三角形，点 M，N分别在 AE，CD上运动（不含端点），且 AMCN，则当四面体 CEMN的体积取得最大值23时，三棱锥 ABCD的外接球的表面积为_.【答案】32【解析】【分析】设 EDa，根据勾股定理的逆定理可以通过计算可以证明出 CEED.AMx，根据三棱锥的体积公式，运用基本不等式，可以求出 AM的长度，最后根据球的表面积公式进行求解即

30、可.【详解】设 EDa，则 CD2a.可得 CE2+DE2CD2，CEED.当平面 ABD平面 BCD时，当四面体 CEMN的体积才有可能取得最大值，设 AMx.则四面体 CEMN 的体积13（ax）12ax22212ax（ax）222()1223xaxa，当且仅当 x2a时取等号.解得 a22.此时三棱锥 ABCD的外接球的表面积4a232.故答案为：32【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了球的表面积公式，考查了数学运算能力和空间想象能力.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721题为必考题，每道试题考生都必须作答.第 22、23

31、 题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共 60 分.17.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且22 cosacbC.(1)求sin2ACB的值；(2)若3b，求ca的取值范围.【答案】(1)32；(2)3,3【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得cosB，进而求得B和A C，代入求得结果；（2）利用正弦定理可将ca表示为2sin2sinCA，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为2sin3C，根据正弦型函数值域的求解方法，结合C的范围可求得结果.【详解】（1）由正弦定理可得：2sinsin2sincosACBC ABCQ sinsi

32、nABC 2sinsin2sincos2cossinsin2sincosBCCBCBCCBC 即2cossinsinBCC 0,CQ sin0C 1cos2B 0,BQ 3B 23AC 23sinsin232ACB（2）由（1）知：3sinsin32B 32sinsinsin32acbACB 2sincC，2sinaA 2sin2sin2sin2sin2sin2sincos2cossincaCACBCCBCBC 2sin3cossinsin3cos2sin3CCCCCC 23ACQ 203C ,33 3C 2sin3,33C，即ca的取值范围为3,3【点睛】本题考查解三角形知识的相关应用，涉及

33、到正弦定理边化角的应用、两角和差正弦公式和辅助角公式的应用、与三角函数值域有关的取值范围的求解问题；求解取值范围的关键是能够利用正弦定理将边长的问题转化为三角函数的问题，进而利用正弦型函数值域的求解方法求得结果.18.某校高三（1）班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重.为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早、晚读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班 50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成下表：考试分数 85,95 95,105 105,115 115,125 125,135 135,145 频数 5 10 15 5 10 5 赞成人数 4

34、6 9 3 6 4 （1）欲使测试优秀率为 30%，则优秀分数线应定为多少分？（2）依据第 1问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出22列联表，并判断是否有 90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.参考公式及数据：22()()()()()n ad bcKa b cd a c b d，nabcd .20P Kk 0.100 0.050 0.025 0.010 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）125分（2）列联表见解析；没有 90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系【解析】【分析】（1）根据题意，测

35、试的优秀率为 30%，所以测试成绩优秀的人数为50 30%15，即可得答案；（2）完成列联表，再代入卡方系数计算公式，即可得答案.【详解】（1）因为测试的优秀率为 30%，所以测试成绩优秀的人数为50 30%15，所以优秀分数线应定为 125 分.（2）由（1）知，测试成绩优秀的学生有50 0.315人，其中“赞成的”有 10人；测试成绩不优秀的学生有501535人，其中“赞成的”有 22 人.22列联表如下：赞成 不赞成 合计 优秀 10 5 15 不优秀 22 13 35 合计 32 18 50 2250(10 135 22)250.0662.70632 18 15 35378K 因此，没

36、有 90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.【点睛】本题考查独立性检验、卡方系数计算，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，/AD BC，90DAB，122ABBCPAAD，E为PB的中点，F是PC上的点.（1）若/EF平面PAD，证明：F是PC的中点.（2）求点C到平面PBD的距离.【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据线面平行的性质定理可证得/EF BC，即可得答案；（2）利用等积法可求得点C到平面PBD的距离.【详解】（1）证明：因为/BC AD，BC 平面PAD，AD平面PAD，所以/BC平面PAD.因为P

37、平面PBC，P平面PAD，所以可设平面PBC I平面PADPM，又因为BC 平面PBC，所以/BC PM.因为/EF平面PAD，EF 平面PBC，所以/EF PM，从而得/EF BC.因为E为PB的中点，所以F为PC的中点.（2）解：因为PA 底面ABCD，90DAB，122ABBCPAAD，所以222 2PBPAAB，222 5PDPAAD，222 5BDBAAD，所以2211622DPBSPBDPPB.设点C到平面PBD的距离为d，由C PBDP BCDVV，得11113332DPBBCDSdSPABCABPA，解得23d.【点睛】本题考查线线平行性质定理的运用、点到面距离的求解，考查转化

38、与化归思想，考查空间想象能 力、运算求解能力.20.设抛物线 C：y2=2px(p0)的焦点为 F，准线为 l，AB 为过焦点 F 且垂直于 x轴的抛物线 C 的弦，已知以AB 为直径的圆经过点(-1，0).（1）求 p 的值及该圆的方程；（2）设 M为 l上任意一点，过点 M作 C 的切线，切点为 N，证明：MFNF.【答案】（1）p=2.(x-1)2+y2=4.（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意知，,A B点的坐标为(2p，p)，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关于p的方程，求出p，求得圆心 F和直径2ABp即可；（2）易知直线 MN 的斜率存在且不为 0，设 M(-1

39、，y0)，MN 的方程为 y=k(x+1)+y0与抛物线方程联立得到关于y的一元二次方程，由判别式0 得到0,y k的关系式，将0y的表达式代入关于y的一元二次方程和抛物线方程得到点N的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】（1）由题意知，,A B点的坐标为(2p，p)，因为以 AB为直径的圆经过点(-1，0)，所以 p=2p-(-1)，解得 p=2，所以所求圆的圆心为直径 AB 的中点 F(1，0)，直径24ABp，所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=4.（2）证明：易知直线 MN的斜率存在且不为 0，设 M(-1，y0)，MN 的方程为 y=k(x+1)+y0，代入 C 的方

40、程，得 ky2-4y+4(y0+k)=0，令=16-16k(y0+k)=0，得 y0+k=1k，所以 ky2-4y+4(y0+k)=22-44k ykyk=0，解得 y=2k，将 y=2k代入 C 的方程，得 x=21k，即 N点的坐标为(212kk，).，所以FMuuuur=(-2，y0)，FNuuur=(21k-1，2k)，FMuuuurFNuuur=2-22k+y02k=2-22k+(1k-k)2k=0，故 MFNF.【点睛】本题考查抛物线和圆的几何性质、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力、分析问题和解决问题的能力、逻辑推理能力；利用判别式0 得到点N的坐标和平面向量垂直的坐标表示

41、的运用是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.21.已知函数(1)(1ln)()3xxf xmx，()lng xmxx(R)m.(1)求函数()g x的单调区间与极值.(2)当0m 时，是否存在 12,1,2x x，使得12()()f xg x成立？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）3ln20,2.【解析】【分析】（1）求出函数()g x的定义域，接着求导，对参数m分类讨论（2）假设存在 12,1,2x x，使得12()()f xg x成立，则对 1,2x，满足maxmin()()f xg x，将问题转化为求max()f x与min()g

42、 x【详解】解：（1）1()(0)g xmxx，当0m 时，1()0g xmx 恒成立，即函数()g x的单调增区间为（0，+），无单调减区间，所以不存在极值 当0m 时，令1()0g xmx，得1xm,当10 xm时，()0g x，当1xm时，()0g x，故函数()g x的单调增区间为10m（，），单调减区间为1m（，），此时函数()g x在1xm处取得极大值，极大值为111()ln1 lngmmmmm ，无极小值 综上，当0m 时，函数()g x的单调增区间为0，无单调减区间，不存在极值 当0m 时，函数()g x的单调增区间为10m，单调减区间为1m，极大值为1 lnm，无极小值 （2

43、）当0m 时，假设存在 12,1,2x x，使得12()()f xg x成立，则对 1,2x，满足maxmin()()f xg x 由(1)(1ln)()3xxf xmx 1,2x（）可得，221(1 ln1)(1)(1ln)ln()xxxxxxxfxxx.令()ln1,2h xxx x（），则1()10h xx，所以()h x在1,2上单调递增，所以()(1)1h xh，所以()0fx，所以()f x在1,2上单调递增，所以max(2 1)(1ln2)3(1ln2)()(2)3322f xfmm 由（1）可知，当101m时，即m1时，函数()g x在1,2上单调递减，所以()g x的最小值是

44、(2)2ln2gm 当12m，即102m时，函数()g x在1,2上单调递增，所以()g x的最小值是(1)gm 当112m时，即112m时，函数()g x在11,m上单调递增，在1,2m上单调递减.又(2)(1)ln 22ln 2ggmmm，所以当1ln22m时，()g x在1,2上的最小值是(1)gm.当ln21m时，()g x在1,2上的最小值是(2)ln 22gm 所以当0ln2m时，()g x在1,2上的最小值是(1)gm，故3(1ln2)32mm，解得3(1ln2)4m,所以ln20m 当ln2m时，函数()g x在1,2上的最小值是(2)ln 22gm，故3(1ln2)3ln22

45、2mm，解得3ln22m，所以3ln2ln22m.故实数m的取值范围是3ln20,2【点睛】本题利用导数求函数的单调区间、极值问题，以及导数与函数的综合应用，属于难题(二)选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为cos,3sinxy（为参数），以坐标原点为极点，x轴 的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sincos6.（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若射线m的极坐标方程为3（0）.设m与C相交于点M，m与l相交于点N，求

46、|MN.【答案】（1）曲线C的普通方程为2219yx；直线l的直角坐标方程为60 xy（2）|5 36MN 【解析】【分析】（1）利用消去参数，将曲线C的参数方程化成普通方程，利用互化公式cossinxy，将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据（1）求出曲线C的极坐标方程，分别联立射线m与曲线C以及射线m与直线l的极坐标方程，求出1和2，即可求出|MN.【详解】解：（1）因为cos,3sinxy（为参数），所以消去参数，得2219yx，所以曲线C的普通方程为2219yx.因为cos,sin,xy所以直线l的直角坐标方程为60 xy.（2）曲线C的极坐标方程为2222sincos19.

47、设,M N的极径分别为1和2，将3（0）代入2222sincos19，解得13，将3（0）代入sincos6”，解得26 36.故12|5 36MN.【点睛】本题考查利用消参法将参数方程化成普通方程以及利用互化公式cossinxy将极坐标方程化为 直角坐标方程，还考查极径的运用和两点间距离，属于中档题.选修 4-5：不等式选讲 23.设函数1()1|1|2f xxx（xR）的最小值为m.（1）求m的值；（2）若a，b，c为正实数，且1112233mambmc，证明：21993abc.【答案】（1）32m（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分类讨论，去绝对值求出函数 f x的解析式，根据一次函

48、数的性质，得出()f x的单调性，得出()f x取最小值，即可求m的值；（2）由（1）得出111123abc，利用“乘 1 法”，令11123(23)23abcabcabc，化简后利用基本不等式求出239abc的最小值，即可证出21993abc.【详解】（1）解：1()1|1|2f xxx 3,2,212,21,23,1,2x xxxx x 当(,1)x 时，()f x单调递减；当1,x时，()f x单调递增.所以当1x 时，()f x取最小值32m.（2）证明：由（1）可知111123abc.要证明：21993abc，即证232319999abcabc，因为a，b，c为正实数，所以11123(23)23abcabcabc 223332332aabbccbcacab 232332332abacbcbacacb32229.当且仅当23abc，即3a，32b，1c 时取等号，所以21993abc.【点睛】本题考查绝对值不等式和基本不等式的应用，还运用“乘 1 法”和分类讨论思想，属于中档题.