安徽省示范高中培优联盟2018_2019学年高一数学下学期春季联赛试题理(含解析)42384.pdf

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1、-1-安徽省示范高中培优联盟 2018-2019学年高一数学下学期春季联赛试题 理（含解析）第卷（选择题 共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合2|280Ax xx，集合1|1xBx e，则AB（）A.|12xx B.|21xx C.|2x x D.|14xx 【答案】D【解析】【分析】分别解出集合 A，B 的元素，再由集合的交集运算得到结果.【详解】2|280|(2)(4)0Axxxxxx|2xx，|1Bx x，|14ABxx.故选：D.【点睛】这个题目考查了集合的交集运算，属于基础题.2.

2、实数x，y满足xy，则下列不等式成立的是（）A.1yx B.22xy C.lglgxy D.22xy【答案】B【解析】【分析】对于 ACD选项，当 x0,y0时，显然不成立；对于 B 可根据指数函数的单调性得到结果.【详解】由题意，当 x0,y0）的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果 0，那么一定先借助诱导公式将 化为正数，防止把单调性弄错；若 0，利用诱导公式二把yAsin(x)中x的系数化为大于 0 的数 19.如图，ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，角B为钝角，BDAB，7cos225B ，2c，8 55b.（）求sin A的值；（）求BCD

3、的面积.【答案】(1)5sin5A (2)35【解析】【分析】-14-（1）根据余弦的二倍角公式求出3cos5B ，利用余弦定理求出2a，再根据三角形的形状和二倍角公式，求得sinA（2）由（1）可求出2 5cos5A，Rt ABD中，求得5AD，3 55CD，再由1sin2BCDSa CDC，即可求出面积.【详解】解：(1)由7cos225B 得：272cos125B ，且角B为钝角，解得：3cos5B 由余弦定理2222coscacacB得：26434455aa 解得2a 可知ABC为等腰三角形，即AC 所以23coscos212sin5BAA ，解得5sin5A (2)由5sin5A 可

4、知2 5cos5A 在Rt ABD中，coscAAD，得5AD，8 53 5555CDbAD 三角形面积113 553sin222555BCDSa CDC 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积计算问题，考查余弦的二倍角和三角形的内角和定理，三角形中的求值问题，需要结合已知条件选取正、余弦定理，灵活转化边和角之间的关系，达到解决问题的目的其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果，即根据已知条件计算并判定结果.20.2019年春节期间，由于人们燃放烟花爆竹，致使一城

5、镇空气出现污染，须喷洒一定量的去-15-污剂进行处理.据测算，每喷洒 1 千克的去污剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为1,0489,4102xxyxx，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.经测试，当空气中去污剂的浓度不低于 4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.（）若一次喷洒 4 千克的去污剂，则去污时间可达几天？（）若第一次喷洒 2 千克的去污剂，6 天后再喷洒(14)aa千克的去污剂，要使接下来的 4 天中能够持续有效去污，试求a的最小值.【答案】（1）7 天；(2)169.【解析】

6、【分析】(1)空 气 中 释 放 的 浓 度 为 4 1,04836,4102xxf xxx,04x时，41+)48x（,410 x时，3642x,分别解不等式即可；（2）设从第一次喷洒起，经(610)xx天，浓度 962128xg xax=21828a xx，由不等式得到最值.【详解】（1）因为一次喷洒 4 个单位的去污剂，所以空气中释放的浓度为 4 1,04836,4102xxf xxx 当04x时，4 1+)48x（，解得0 x，04x，当410 x时，3642x，解得7x，47x，综上得07x，即一次投放 4 个单位的去污剂，有效去污时间可达 7 天.(2)设从第一次喷洒起，经(610

7、)xx天，-16-浓度 962128xg xax=21828a xx 218228a xx=924a=34a，即169a，1,4a,1649a 当169a 时，2222182929xxx，29,=7xx满足题意，所以a的最小值为169.【点睛】本题考查了实际应用问题，涉及到不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.21.若对定义域内任意x，都有()()f xaf x（a为正常数），则称函数()f x为“a距”增函数.（）

8、若31()44f xxx，xR是“a距”增函数，求a的取值范围；（）若2()3xkxf x，(1,)x ，其中kR，且为“2 距”增函数，求k的取值范围.【答案】（）1a；（）2k .【解析】【分析】（I）根据题干条件得到22313304axa xaa恒成立，故只需要判别式小于 0 即可；（II）原题等价于22(2)|2|33xk xxk x恒成立，22(2)|2|xk xxk x恒成立，分0 x 和10 x 两种情况得结果即可.【详解】（I）2231()()334f xaf xaxa xaa.因为()f x是“a距”增函数，所以22313304axa xaa恒成立，由0a，所以2210912

9、014aaa.（II）因为2()3xk xf x，(1,)x ，其中kR，且为“2 距”增函数，即1x 时，-17-22(2)|2|33xk xxk x恒成立，所以22(2)|2|xk xxk x，当0 x 时，即4420222xkkxk ，当10 x 时，22(2)(2)xk xxkx，所以(1)(2)02xkk.综上所述，得2k .【点睛】这个题目考查了恒成立求参的问题，恒成立有解求参常见的方法有：变量分离，转化为函数最值问题，或者直接将不等式化为一边为 0 的式子，使得函数最值大于或者小于 0即可.22.已知数列na满足*121111111nnnNaaaa，nS是数列na的前n项和.（）

10、求数列na的通项公式；（）若pa，30，qS成等差数列，pa，18，qS成等比数列，求正整数p，q的值；（）是否存在*kN，使得116kka a为数列na中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1nan.（2）5p，9q.（3）3k 或 14.【解析】试 题 分 析：（1）当1n 时，11111aa，12a，当2n时，由12111111111nnaaaa已知得 111112nnnnnaaanaa 列 na是首项为 2，公差为 1 的等差数列1nan.（2）建立方程组26061854pqppqqaSaa SS，或546pqaS.当166354542pqpaq

11、qS 5 9pq，当546pqaS无正整数解，综上5p，9q.-18-（3）假设存在正整数k，使得*11612161kkma aamNkkm，22522163mkmk15m，14k，或5m，3k，3m或，1k（舍去）3k 或 14.试题解析：（1）因为121111111nnaaaa，*nN，所以当1n 时，11111aa，12a，当2n时，由121111aa 111nnaa和12111111111nnaaaa，两式相除可得，111nnnaaa，即112nnaan 所以，数列 na是首项为 2，公差为 1 的等差数列.于是，1nan.（2）因为pa，30，qS成等差数列，pa，18，qS成等比数列，所以26018pqpqaSa S，于是654pqaS，或546pqaS.当654pqaS时，163542pqq，解得59pq，当546pqaS时，154362pqq，无正整数解，所以5p，9q.（3）假设存在满足条件的正整数k，使得*116kkma aamN，则12161kkm，-19-平方并化简得，22222363mk，则22522163mkmk，所以22563221 1mkmk，或225212213mkmk，或22592217mkmk，解得：15m，14k，或5m，3k，或3m，1k（舍去），综上所述，3k 或 14.