高中数学竞赛标准讲义：第四章：几个初等函数的性质2049.pdf

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1、-1-第四章 几个初等函数的性质 一、基础知识 1指数函数及其性质：形如 y=ax(a0,a1)的函数叫做指数函数，其定义域为 R，值域为（0，+），当 0a1 时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。2分数指数幂：nmnmnnnmnmnnaaaaaaaa1,1,1。3对数函数及其性质：形如 y=logax(a0,a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+），值域为 R，图象过定点（1，0）。当 0a1 时，y=logax 为增函数。4对数的性质（M0,N0）；1）ax=Mx=logaM(a0,a1)；2）loga(MN)=loga M+loga N；3）loga（NM）=loga

2、 M-loga N；4）loga Mn=n loga M；，5）loga nM=n1loga M；6）aloga M=M;7)loga b=abccloglog(a,b,c0,a,c1).5.函数 y=x+xa（a0）的单调递增区间是a,和,a，单调递减区间为0,a和a,0。（请读者自己用定义证明）6连续函数的性质：若 ab,f(x)在a,b上连续，且 f(a)f(b)0.【证明】设 f(x)=(b+c)x+bc+1(x(-1,1)，则 f(x)是关于 x 的一次函数。所以要证原不等式成立，只需证 f(-1)0 且 f(1)0（因为-1a0，f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0，

3、所以 f(a)0，即 ab+bc+ca+10.例 2 （柯西不等式）若 a1,a2,an是不全为 0 的实数，b1,b2,bnR，则（niia12）（niib12）(niiiba1)2，等号当且仅当存在R，使 ai=ib,i=1,2,n 时成立。【证明】令 f(x)=（niia12）x2-2(niiiba1)x+niib12=niiibxa12)(,因为niia120，且对任意 xR,f(x)0，所以=4(niiiba1)-4（niia12）(niib12)0.展开得（niia12）(niib12)(niiiba1)2。等号成立等价于 f(x)=0 有实根，即存在，使 ai=ib,i=1,2,

4、n。-2-例 3 设 x,yR+,x+y=c,c 为常数且 c(0,2，求 u=yyxx11的最小值。【解】u=yyxx11=xy+xyxyyx1xy+xy1+2xyyx=xy+xy1+2.令 xy=t，则 0t=xy44)(22cyx,设 f(t)=t+t1,0t.42c 因为 0c2，所以 00，所以pq=.251 例 5 对于正整数 a,b,c(abc)和实数 x,y,z,w，若 ax=by=cz=70w，且wzyx1111，求证：a+b=c.【证明】由 ax=by=cz=70w取常用对数得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以w1lga=x1lg70,w1lgb=y1lg70

5、,w1lgc=z1lg70，相加得w1(lga+lgb+lgc)=zyx111lg70，由题设wzyx1111，所以 lga+lgb+lgc=lg70，所以 lgabc=lg70.所以 abc=70=257.若 a=1，则因为 xlga=wlg70，所以 w=0 与题设矛盾，所以 a1.又 abc，且 a,b,c 为 70 的正约数，所以只有 a=2,b=5,c=7.所以 a+b=c.例 6 已知 x1,ac1,a1,c1.且 logax+logcx=2logbx，求证 c2=(ac)logab.【证明】由题设 logax+logcx=2logbx，化为以 a 为底的对数，得 bxcxxaaa

6、aaloglog2logloglog，因为 ac0,ac1，所以 logab=logacc2，所以 c2=(ac)logab.-3-注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。3指数与对数方程的解法。解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。例 7 解方程：3x+4 x+5 x=6 x.【解】方程可化为xxx653221=1。设 f(x)=xxx653221,则 f(x)在(-,+)上是减函数，因为 f(3)=1，所以方程只有一个解 x=3.例 8 解方程组：312xyyxyxyx（其中 x,yR+）.【解】两

7、边取对数，则原方程组可化为.3lg)(lg12lg)(glxyyxyxyx 把代入得(x+y)2lgx=36lgx，所以(x+y)2-36lgx=0.由 lgx=0 得 x=1，由(x+y)2-36=0(x,yR+)得 x+y=6，代入得 lgx=2lgy，即 x=y2，所以 y2+y-6=0.又 y0，所以 y=2,x=4.所以方程组的解为24;112211yxyx.例 9 已知 a0,a1，试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围。【解】由对数性质知，原方程的解 x 应满足00)(22222axakxaxakx.若、同时成立，则必成立，故只需解0)(

8、222akxaxakx.由可得 2kx=a(1+k2)，当 k=0 时，无解；当 k0 时，的解是 x=kka2)1(2，代入得kk212k.若 k1，所以 k0，则 k21，所以 0k1.综上，当 k(-,-1)(0,1)时，原方程有解。三、基础训练题 1命题 p:“(log23)x-(log53)x(log23)-y-(log53)-y”是命题 q:“x+y0”的_条件。2如果 x1是方程 x+lgx=27 的根，x2是方程 x+10 x=27 的根，则 x1+x2=_.3已知 f(x)是定义在 R 上的增函数，点 A（-1，1），B（1，3）在它的图象上，y=f-1(x)是它的反函数，则

9、不等式|f-1(log2x)|1 的解集为_。4若 log2aaa1120，则 a 取值范围是_。5命题 p:函数 y=log23xax在2，+）上是增函数；命题 q:函数 y=log2(ax2-4x+1)的值域为 R，则 p 是 q 的_条件。6若 0b0 且 a1，比较大小：|loga(1-b)|_|loga(1+b).7已知 f(x)=2+log3x,x1,3，则函数 y=f(x)2+f(x2)的值域为_。-4-8若 x=31log131log15121，则与 x 最接近的整数是_。9函数xxy1111log21的单调递增区间是_。10函数 f(x)=2,235212xxxx的值域为_。

10、11设 f(x)=lg1+2x+3 x+(n-1)x+n xa，其中 n 为给定正整数,n2,aR.若 f(x)在 x(-,1时有意义，求 a 的取值范围。12当 a 为何值时，方程)lg(2lgaxx=2 有一解，二解，无解？四、高考水平训练题 1函数 f(x)=18x+lg(x2-1)的定义域是_.2已知不等式 x2-logmx0 在 x21,0时恒成立，则 m 的取值范围是_.3若 xx|log2x=2-x，则 x2,x,1 从大到小排列是_.4.若 f(x)=lnxx11，则使 f(a)+f(b)=abbaf1_.5.命题 p:函数 y=log23xax在2，+）上是增函数；命题 q：

11、函数 y=log2(ax2-4x+1)的值域为 R，则 p 是 q 的_条件.6若 0b0 且 a1，比较大小：|loga(1-b)|_|loga(1+b)|.7已知 f(x)=2+log3x,x1,3，则函数 y=f(x)2+f(x2)的值域为_.8若 x=31log131log15121，则与 x 最接近的整数是_.9函数 y=xx1111log21的单调递增区间是_.10函数 f(x)=2,235212xxxx的值域为_.11设 f(x)=lg1+2x+3 x+(n-1)x+n xa，其中 n 为给定正整数，n2,aR。若 f(x)在 x(-,1时有意义，求 a 的取值范围。12当 a

12、为何值时，方程)lg(2lgaxx=2 有一解，二解，无解？四、高考水平训练题 1函数 f(x)=18x+lg(x2-1)的定义域是_.2已知不等式 x2-logmx10,y10,xy=1000，则(lgx)(lgy)的取值范围是_.7若方程 lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解，则实数 k 的取值范围是_.8函数 f(x)=101|1|lg|xxx的定义域为 R，若关于 x 的方程 f-2(x)+bf(x)+c=0 有 7 个不同的实数解，则 b,c 应满足的充要条件是_.（1）b0；（2）b0 且 c0；（3）b0 且 c=0；（4）b0 且 c=0。9已知 f(x)=21121x

13、x,F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0)，则 F(x)是_函数（填奇偶性）.10已知 f(x)=lgxx11，若abbaf1=1，abbaf1=2，其中|a|1,|b|1，则f(a)+f(b)=_.11设 aR，试讨论关于 x 的方程 lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。12设 f(x)=|lgx|，实数 a,b 满足 0ab,f(a)=f(b)=2f2ba，求证：（1）a4+2a2-4a+1=0,b4-4b3+2b2+1=0；（2）3b0 且 a1,f(x)=loga(x+12x)(x1)，（1）求 f(x)的反函数 f-1(x)；（2）若f-1(n)x1

14、x2 x30，都有 log10 xx1993+log210 xx1993+log32xx1993 klog30 xx1993 恒成立，则 k 的最大值为_.3实数 x,y 满足 4x2-5xy+4y2=5，设 S=x2+y2，则minmax11SS的值为_.4已知 0b1,000 的解集为_.9已知 a1,b1，且 lg(a+b)=lga+lgb，求 lg(a-1)+lg(b-1).-6-10（1）试画出由方程212lg)2(log)2lg()6lg(101yxxx所确定的函数 y=f(x)图象。（2）若函数 y=ax+21与 y=f(x)的图象恰有一个公共点，求 a 的取值范围。11对于任意

15、 nN+(n1)，试证明：n+3n+nn=log2n+log3n+lognn。六、联赛二试水平训练题 1设 x,y,zR+且 x+y+z=1，求 u=222222131313zzzyyyxxx的最小值。2 当 a 为何值时，不等式 log)15(21 axxn log5(x2+ax+6)+loga30 有且只有一个解（a1且 a1）。3f(x)是定义在（1，+）上且在（1，+）中取值的函数，满足条件；对于任何 x,y1 及u,v0,f(xuyv)f(x)u41f(y)v41都成立，试确定所有这样的函数 f(x).4.求所有函数 f：RR，使得 xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)成立

16、。5设 m14 是一个整数，函数 f：NN 定义如下：f(n)=22)13(14mnmnffmnmn,求出所有的 m,使得 f(1995)=1995.6求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数 f:f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y),x,yQ.7是否存在函数 f(n)，将自然数集 N 映为自身，且对每个 n1,f(n)=f(f(n-1)+f(f(n+1)都成立。8设 p,q 是任意自然数，求证：存在这样的 f(x)Z(x)（表示整系数多项式集合），使对 x 轴上的某个长为q1的开区间中的每一个数 x,有.1)(2qqpxf 9设，为实数，求所有 f:R+R，使得对任意的 x,yR+,f(x)f(y)=y2f22ffxx成立。