北京市西城区2019-2020高三诊断性数学(二模)(word有答案)4109.pdf

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1、 1/12 西 城 区 高 三 诊 断 性 测 试 数 学 2020.5 第卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 01设集合3Ax x，2,Bx xk kZ，则ABI=（A）0,2（B）2,2（C）2,0,2（D）2,1,0,1,2 02若复数z满足i1iz ，则在复平面内z对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 03下列函数中，值域为R且区间(0,)上单调递增的是（A）3yx （B）yx x（C）1yx（D）yx 04抛物线24xy的准线方程为（A）1x （B）1

2、x （C）1y （D）1y 05在ABC中，若:4:5:6a b c，则其最大内角的余弦值为（A）18（B）14（C）310（D）35 06设0.23a，3log 2b，0.2log3c，则（A）acb（B）abc（C）bca（D）bac 07某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （A）6（B）4（C）3（D）2 08若圆22420 xyxya与x轴，y轴均有公共点，则实数a的取值范围是（A）(,1（B）(,0（C）0,)（D）5,)09若向量a与b不共线，则“0ab”是“2abab”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 2/12 10

3、设函数()(1)exf xx若关于x的不等式()1f xax有且仅有一个整数解，则正数a的取值范围是（A）(0,e（B）2(0,e （C）2e1,2（D）2e11,2 第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11设平面向量(1,2)a，(,2)kb满足ab，则b_ 12若双曲线2221(0)16xyaa经过点(2,0)，则该双曲线渐近线的方程为_ 13设函数2()sin22cosf xxx，则函数()f x的最小正周期为_；若对于任意xR，都有()f xm成立，则实数m的最小值为_ 14甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖

4、在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“”表示猜测某人获奖，“”表示猜测某人未获奖，而“”则表示对某人是否获奖未发表意见已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确定的，那么两名获奖者是_，_ 甲获奖 乙获奖 丙获奖 丁获奖 甲的猜测 乙的猜测 丙的猜测 丁的猜测 15在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA 底面ABCD，4PAAB，,E F H分别是棱,PB BC PD的中点，对于平面EFH截四棱锥PABCD所得的截面多边形，有以下三个结论：截面的面积等于4 6；截面是一个五边形；截面只与四棱锥PABCD四条侧棱中的三条相交 其中，所有正确结论的序号是_ 三、解答题：本大题共 6

5、 小题，共 85 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 16（本小题满分 14 分）如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，DE 平面ABCD，DEBF，且22DEBF（）求证：平面BCF 平面ADE；（）求钝二面角DAEF的余弦值 3/12 17（本小题满分 14 分）从前n项和2()nSnp pR，13nnaa，611a 且122nnnaaa这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答 在数列 na中，11a，_，其中*nN（）求 na的通项公式；（）若1,nma a a成等比数列，其中*,m nN，且1mn，求m的最小值 注：如果选择多个条件分别解

6、答，按第一个解答计分 18（本小题满分 14 分）某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为 8 组：0.486,0.536)，0.536,0.586)，0.836,0.886)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图 企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B 级”，发芽率低于0.636的种子定为“C 级”4/12（）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率；（）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”“C

7、 级”康乃馨种子的售价分别为 20 元、15 元、10 元某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X元，以频率为概率，求X的分布列和数学期望；（）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）19（本小题满分 14 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，右焦点为F，点(,0)A a，且1AF （）求椭圆C的方程；（）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点,M N，直线,MA NA分别与

8、直线4x 交于点P，Q，求PFQ的大小 20（本小题满分 15 分）设函数()ecosxf xax，其中aR（）已知函数()f x为偶函数，求a的值；（）若1a，证明：当0 x 时，()2f x；（）若()f x在区间0,内有两个不同的零点，求a的取值范围 5/12 21（本小题满分 14 分）设N为正整数，区间,1kkkIa a（其中ka R，1,2,kNL）同时满足下列两个条件：对任意0,100 x，存在k使得kxI；对任意1,2,kNL，存在0,100 x，使得ixI（其中1,2,1,1,ikkNLL）（）判断(1,2,)kakNL能否等于1k 或12k；（结论不需要证明）（）求N的最小

9、值；（）研究N是否存在最大值，若存在，求出N的最大值；若不在在，说明理由 6/12 西 城 区 高 三 诊 断 性 测 试 数学参考答案 2020.5 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.1C 2A 3B 4D 5.A 6.B 7.D 8.A 9.A 10.D 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.112 5 122yx 13，21 14乙，丁 15 注：第 14 题全部选对得 5 分，其他得 0 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分.其他正确解答过程，请参照

10、评分标准给分.16（本小题满分 14 分）解：（）因为/DEBF，DE 平面ADE，BF 平面ADE，所以/BF平面ADE.3 分 同理，得/BC平面ADE.又因为BCBFBI，BC 平面BCF，BF 平面BCF，所以平面/BCF平面ADE.6 分 （）由DE 平面ABCD，底面ABCD为正方形，得,DA DCDE两两垂直，故分别以,DA DCDE为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，7 分 则(0,0,0)D，(0,0,2)E，(2,2,1)F，(2,0,0)A，所以(2,0,2)AE uuu r，(0,2,1)AF uuu r.8 分 C F E D y z 7/12 设平面AEF的

11、法向量(,)x y zn，由0AE uuu rn，0AF uuu rn，得220,20,xzyz 令1y，得(2,1,2)n.11 分 平面DAE的法向量(0,1,0)m.设钝二面角DAEF的平面角为，则 1|cos|cos,|3m nm nmn，所以1cos3，即钝二面角DAEF的余弦值为13.14 分 17（本小题满分 14 分）解：选择：()当1n时，由111Sa，得0p.2 分 当2n时，由题意，得21(1)nSn，3 分 所以121nnnaSSn（2n）.5 分 经检验，11a 符合上式，所以21()nannN*.6 分 ()由1,nma a a成等比数列，得21nmaaa，8 分

12、即2(21)1(21)nm.9 分 化简，得22112212()22mnnn，11 分 因为m，n是大于 1 的正整数，且mn，所以当2n 时，m有最小值5 14 分 选择:()因为13nnaa，所以13nnaa 2 分 所以数列na是公差3d 的等差数列 4 分 所以1(1)32()naandnnN*.6 分 ()由1,nma a a成等比数列，得21nmaaa，8 分 即2(32)1(32)nm.9 分 8/12 化简，得22223423()33mnnn，11 分 因为m，n是大于 1 的正整数，且mn，所以当2n 时，m取到最小值 6 14 分 选择：()由122nnnaaa，得121n

13、nnnaaaa.所以数列 na是等差数列 2 分 又因为11a，61511aad，所以2d 4 分 所以1(1)21()naandnnN*.6 分()因为1,nma a a成等比数列，所以21nmaaa，8 分 即2(21)1(21)nm.9 分 化简，得22112212()22mnnn，11 分 因为m，n是大于 1 的正整数，且mn，所以当2n 时，m有最小值5 14 分 18（本小题满分 14 分）解：（）设事件M为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”，1 分 由图表，得(0.41.24.06.04.41.20.4)0.051a，解得2.4a.2 分 由图表，

14、知“C 级”种子的频率为(0.41.22.4)0.050.2，3 分 故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为0.2.因为事件M与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事件，所以事件M的概率()10.20.8P M .5 分 （）由题意，任取一种种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为(4.41.20.4)0.050.3，恰好是“B 级”康乃馨的概率为(4.06.0)0.050.5，恰好是“C 级”的概率为(0.41.22.4)0.050.2.7 分 随机变量X的可能取值有20，25，30，35，40，9/12 且(20)0.20.20.0

15、4P X，(25)0.20.50.50.20.2P X，(30)0.50.50.30.20.20.30.37P X，(35)0.30.50.50.30.3P X，(40)0.30.30.09P X.9 分 所以X的分布列为：X 20 25 30 35 40 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 10 分 故X的数学期望()200.04250.2300.37350.3400.0931E X.11 分 （）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了.14 分 19（本小题满分 14 分）解：（）由题意得1,21,caac 解得2a，1c，3 分 从而223bac，所以

16、椭圆C的方程为22143xy 5 分 （）当直线l的斜率不存在时，有3(1,)2M，3(1,)2N，(4,3)P，(4,3)Q，(1,0)F，则(3,3)FP uuu r，(3,3)FQ uuu r，故0FP FQuuu r uuu r，即90PFQo 6 分 当直线l的斜率存在时，设:(1)l yk x，其中0k 7 分 联立22(1),3412,yk xxy 得2222(43)84120kxk xk 8 分 由题意，知0 恒成立，设11(,)M x y，22(,)N xy，则2122843kxxk，212241243kx xk 9 分 直线MA的方程为11(2)2yyxx 10 分 令4x

17、，得1122Pyyx，即112(4,)2yPx 11 分 M P A F N x y O Q 10/12 同理可得222(4,)2yQx 12 分 所以112(3,)2yFPxuuu r，222(3,)2yFQxuuu r 因为121249(2)(2)y yFP FQxxuuu r uuu r212124(1)(1)9(2)(2)kxxxx2121212124()192()4kx xxxx xxx 22222222241284(1)434394121644343kkkkkkkkk22222224(412)8(43)9(412)164(43)kkkkkkk0，所以90PFQo 综上，90PFQo

18、.14 分 20（本小题满分 15 分）解：（）函数()f x为偶函数，所以()()ff，即e1e1aa，2 分 解得0a.验证知0a 符合题意.4 分 （）()esinxfxx.6 分 由0 x，得e1x，sin 1,1x，7 分 则()esin0 xfxx，即()f x在(0,)上为增函数.故()(0)2f xf，即()2f x.9 分（）由()ecos0 xf xax，得cosexxa .设函数cos()exxh x，0,x，10 分 则sincos()exxxh x.11 分 令()0h x，得34x.随着x变化，()h x与()h x的变化情况如下表所示：x 3(0,)4 34 3(

19、,)4()h x 0 ()h x 极大值 11/12 所以()h x在3(0,)4上单调递增，在3(,)4上单调递减.13 分 又因为(0)1h，()eh，3432()e42h，所以当342e,e)2a时，方程cosexxa 在区间0,内有两个不同解，且在区间30,)4与3(,4上各有一个解.即所求实数a的取值范围为342e,e)2.15 分 21（本小题满分 14 分）解：()ka可以等于1k，但ka不能等于12k.3 分()记ba为区间,a b的长度，则区间0,100的长度为100，kI的长度为1.由，得100N.6 分 又因为10,1I，21,2I，L，10099,100I显然满足条件，

20、.所以N的最小值为100.8 分()N的最大值存在，且为200.9 分 解答如下：（1）首先，证明200N.由,得12,NI IIL互不相同，且对于任意k，0,100kI I.不妨设12naaaLL.如果20a，那么对于条件，当1k 时，不存在0,100 x，使得ixI(2,3,)iNL.这与题意不符，故20a.10 分 如果111kkaa，那么11kkkIIIU，这与条件中“存在0,100 x，使得ixI(1,2,1,1,)ikkNLL”矛盾，故111kkaa.所以4211aa，6412aa，L，200198199aa，则2001100a.故122000,100IIIUUL U.12/12

21、若存在201I，这与条件中“存在0,100 x，使得ixI(1,2,200)i L”矛盾，所以200N.12 分 （2）给出200N 存在的例子.令1100(1)2199kak，其中1,2,200k L，即12200,a aaL为等差数列，公差100199d.由1d，知1kkII I，则易得122001 201,22III UUL U，所以12200,I IIL满足条件.又公差10011992d，所以100(1)199kkI，100(1)199ikI(1,2,1,1,)ikkNLL.（注：100(1)199k 为区间kI的中点对应的数）所以12200,I IIL满足条件.综合（1）（2）可知N的最大值存在，且为200.14 分