【2023】人教版九年级数学中考压轴试题(及答案解析)57409.pdf

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1、【精品】人教版九年级数学中考压轴试题（含答案）1（7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2+mx+n 经过点 A（1，0）和 B（0，3）（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与 x 轴的正半轴交于点 C，连接 BC设抛物线的顶点 P关于直线 y=t 的对称点为点 Q，若点 Q 落在OBC 的内部，求 t 的取值范围【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）分别求出点 Q 落在直线 BC 和 x 轴上时的 t 的值即可判断；【解答】解：（1）抛物线 y=x2+mx+n 经过点 A（1，0）和 B（0，3），解得，抛物线的解析式为 y=x2+2x+3 （2）如图，易知抛物线的顶

2、点坐标为（1，4）观察图象可知当点 P 关于直线 y=t 的对称点为点 Q 中直线 BC 上时，t=3，当点 P 关于直线 y=t 的对称点为点 Q 在 x 轴上时，t=2，满足条件的 t 的值为 2t3【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会寻找特殊点解决问题，属于中考常考题型 2（7 分）在正方形 ABCD 中，点 P 在射线 AC 上，作点 P 关于直线 CD的对称点 Q，作射线 BQ 交射线 DC 于点 E，连接 BP（1）当点 P 在线段 AC 上时，如图 1 依题意补全图 1；若 EQ=BP，则PBE 的度数为 45，并证明；（2

3、）当点 P 在线段 AC 的延长线上时，如图 2 若 EQ=BP，正方形 ABCD的边长为 1，请写出求 BE 长的思路（可以不写出计算结果）【分析】（1）作点 P 关于直线 CD 的对称点 Q，作射线 BQ 交射线 DC于点 E，连接 BP；依据题意得到 DP=EP，再根据四边形内角和求得BPE=90，根据 BP=EP，即可得到PBE=45；（2）连接 PD，PE，依据CPDCPB，可得 DP=BP，1=2，根据DP=EP，可得3=1，进而得到PEB=45，3=4=22.5，BCE中，已知4=22.5，BC=1，可求 BE 长【解答】解：（1）作图如下：如图，连接 PD，PE，易证CPDCP

4、B，DP=BP，CDP=CBP，P、Q 关于直线 CD 对称，EQ=EP，EQ=BP，DP=EP，CDP=DEP，CEP+DEP=180，CEP+CBP=180，BCD=90，BPE=90，BP=EP，PBE=45，故答案为：45；（2）思路：如图，连接 PD，PE，易证CPDCPB，DP=BP，1=2，P、Q 关于直线 CD 对称，EQ=EP，3=4，EQ=BP，DP=EP，3=1，3=2，5=BCE=90，BP=EP，PEB=45，3=4=22.5，在BCE 中，已知4=22.5，BC=1，可求 BE 长【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性

5、质等知识的综合运用，解决本题的关键是熟记全等三角形的性质定理和判定定理 3（8 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（x1，y1），点 Q的坐标为（x2，y2），且 x1x2，y1y2，若 PQ 为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与 x 轴平行，则称该等腰三角形为点 P，Q 的“相关等腰三角形”下图为点 P，Q 的“相关等腰三角形”的示意图（1）已知点 A 的坐标为（0，1），点 B 的坐标为，则点 A，B 的“相关等腰三角形”的顶角为 120；（2）若点 C 的坐标为，点 D 在直线 y=4上，且 C，D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线 CD 的表达式；（3）

6、O 的半径为，点 N 在双曲线 y=上若在O 上存在一点 M，使得点 M、N 的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点 N 的横坐标 xN的取值范围 【分析】（1）画出图形求出BAO 的度数即可解决问题；（2）利用等边三角形的性质求出点 D 坐标即可解决问题；（3）因为点 M、N 的“相关等腰三角形”为直角三角形，推出直线MN 与 x 轴的夹角为 45，可以假设直线 MN 的解析式为 y=x+b，当直线与O 相切于点 M 时，求出直线 MN 的解析式，利用方程组求出点 N 的坐标，观察图象即可解决问题【解答】解：（1）如图 1 中，A 的坐标为（0，1），点 B 的坐标为，点 A，B 的“

7、相关等腰三角形”ABC 的当 C（，0）或（2，1），tanBAO=，BAO=CAO=60，BAC=ABC=120，故答案为 120 （2）如图 2 中，设直线 y=4交 y 轴于 F（0，4），C（0，），CF=3，且 C，D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，CDF=CDF=60，DF=FD=3tan30=3，D（3，4），D（3，4），直线 CD 的解析式为 y=x+，或 y=x+（3）如图 3 中，点 M、N 的“相关等腰三角形”为直角三角形，直线 MN 与 x 轴的夹角为 45，可以假设直线 MN 的解析式为 y=x+b，当直线与O 相切于点 M 时，易知 b=2，直线 MN 的解析

8、式为 y=x+2 或 y=x2，由，解得或，N（1，3），N（3，1），由解得或，N1（3，1），N2（1，3），观察图象可知满足条件的点 N 的横坐标的取值范围为：3xN1或 1xN3【点评】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、“相关等腰三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题 4（5 分）如图所示，某小组同学为了测量对面楼 AB 的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为 40 米，有的组员在教室窗户处测得楼顶端 A 的仰角为 30，底端 B 的俯角为 10，请你根据以上数据，求出楼 AB 的高度（精

9、确到 0.1 米）（参考数据：sin100.17，cos100.98，tan100.18，1.41，1.73）【分析】过点D作DEAB于点E，在RtADE中tan1=，1=30，可得 AE=DEtan1，代入相应数据可得 AE 长，在 RtDEB 中，tan2=，代入相应数据可得 EB 长，进而可得 AB=AE+BE 的长，【解答】解：过点 D 作 DEAB 于点 E，在 RtADE 中，AED=90，tan1=，1=30，AE=DEtan1=40tan30=40401.7323.1 在 RtDEB 中，DEB=90，tan2=，2=10，BE=DEtan2=40tan10400.18=7.2

10、，AB=AE+BE23.1+7.2=30.3 米 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决 5（6 分）已知：如图，AB 为O 的直径，CEAB 于 E，BFOC，连接 BC，CF 求证：OCF=ECB 【分析】延长 CE 交O 于点 G，利用圆周角的性质进行解答即可【解答】证明：延长 CE 交O 于点 G AB 为O 的直径，CEAB 于 E，BC=BG，G=2，BFOC，1=F，又G=F，1=2 即OCF=ECB【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据圆周角定理解答 6（6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x

11、2 与双曲线y=（k0）相交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标是 3（1）求 k 的值；（2）过点 P（0，n）作直线，使直线与 x 轴平行，直线与直线 y=x2 交于点 M，与双曲线 y=（k0）交于点 N，若点 M 在 N 右边，求 n 的取值范围 【分析】（1）把 A 横坐标代入一次函数解析式求出纵坐标，确定出 A坐标，代入反比例解析式求出 k 的值即可；（2）根据题意画出直线，根据图象确定出点 M 在 N 右边时 n 的取值范围即可【解答】解：（1）令 x=3，代入 y=x2，则 y=1，A（3，1），点 A（3，1）在双曲线 y=（k0）上，k=3；（2）联立得：，解得：或，即 B

12、（1，3），如图所示：当点 M 在 N 右边时，n 的取值范围是 n1 或3n0【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键 7（7 分）已知：如图，在ABC 中，AB=AC，以 AC 为直径作O 交BC 于点 D，过点 D 作O 的切线交 AB 于点 E，交 AC 的延长线于点 F（1）求证：DEAB；（2）若 tanBDE=，CF=3，求 DF 的长 【分析】（1）连接 OD，由 EF 为圆 O 的切线，利用切线的性质得到 OD与 EF 垂直，又 OD=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由 AB=AC，根据等边对等角得到另一对

13、角相等，等量代换可得出一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行可得出 OD 与 AB 平行，由与平行线中的一条直线垂直，与另一条也垂直，即可得证；（2）连接 AD，根据相似三角形的判定和性质解答即可【解答】证明：（1）连接 OD，EF 切O 于点 D，ODEF，又OD=OC，ODC=OCD，AB=AC，ABC=OCD，ABC=ODC，ABOD，DEAB；（2）连接 AD，AC 为O 的直径，ADB=90，B+BDE=90，B+1=90，BDE=1，AB=AC，1=2 又BDE=3，2=3 FCDFDA，tanBDE=，tan2=，CF=3，FD=6【点评】此题考查了切线的性质，熟练掌握性质及定

14、理是解本题的关键 8（7 分）综合实践课上，某小组同学将直角三角形纸片放到横线纸上（所有横线都平行，且相邻两条平行线的距离为 1），使直角三角形纸片的顶点恰巧在横线上，发现这样能求出三角形的边长（1）如图 1，已知等腰直角三角形纸片ABC，ACB=90，AC=BC，同学们通过构造直角三角形的办法求出三角形三边的长，则 AB=；（2）如图 2，已知直角三角形纸片DEF，DEF=90，EF=2DE，求出 DF 的长；（3）在（2）的条件下，若橫格纸上过点 E 的横线与 DF 相交于点 G，直接写出 EG 的长 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出 AD=CE=3，BE=DC=2，进而利用勾

15、股定理解答即可；（2）过点 E 作横线的垂线，交 l1，l2于点 M，N，根据相似三角形的判定和性质解答即可；（3）利用梯形的面积公式解答即可【解答】解：（1）如图 1，DAC+ACD=90，ACD+ECB=90，DAC=ECB，在ADC 与BCE 中，ADCBCE，AD=CE=3，BE=DC=2，AB=；故答案为：（2）过点 E 作横线的垂线，交 l1，l2于点 M，N，DME=EDF=90，DEF=90，2+3=90，1+3=90，1=2，DMEENF，EF=2DE，ME=2，EN=3，NF=4，DM=1.5，根据勾股定理得 DE=2.5，EF=5，（3）根据（2）可得：，即，解得：EG=

16、2.5【点评】此题考查三角形综合题，关键是根据全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质进行解答 9（7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线经过点 A（3，4）（1）求 b 的值；（2）过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 B，在直线 AB 上任取一点 P，作点 A 关于直线 OP 的对称点 C；当点 C 恰巧落在 x 轴时，求直线 OP 的表达式；连结 BC，求 BC 的最小值 【分析】（1）将点 A 的坐标代入二次函数解析式求得 b 的值；（2）根据对称的性质，结合点 A 的坐标求得点 P 的坐标，然后利用待定系数法求得直线解析式；以 O 为圆心，OA 长为半径作O，连接

17、 BO，交O 于点 C，结合点与坐标的性质，点与圆的位置关系求 BC 的最小值【解答】解：（1）抛物线经过点 A（3，4）令 x=3，代入，则，b=1；（2）如图：由对称性可知 OA=OC，AP=CP，APOC，1=2，又AOP=2，AOP=1，AP=AO，A（3，4），AO=5，AP=5，P1（2，4），同理可得 P2（8，4），OP 的表达式为 y=2x 或 如图：以 O 为圆心，OA 长为半径作O，连接 BO，交O 于点 C B（12，4），OB=，BC 的最小值为【点评】考查了二次函数综合题掌握待定系数法求二次函数、一次函数解析式，对称是性质的应用，点的坐标与图形的性质以及点与圆的位置

18、关系等知识点，综合性比较强，难度较大 10（5 分）如图，建筑物的高 CD 为 17.32 米，在其楼顶 C，测得旗杆底部 B 的俯角 为 60，旗杆顶部 A 的仰角 为 20，请你计算旗杆的高度（sin200.342，tan200.364，cos200.940，1.732，结果精确到 0.1 米）【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，借助公共边 CE 等价转换，解这两个三角形可得 AE、BE 的值，再利用AB=AE+BE，进而可求出答案【解答】解：根据题意，再 RtBCE 中，BEC=90，tan=，CE=10 米，再 RtACE 中，AEC=90，tan=，AE=CEta

19、n20100.364=3.64 米，AB=AE+BE=17.32+3.64=20.9621.0 米，答：旗杆的高约为 21.0 米【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形 11（5 分）如图，李师傅想用长为 80 米的棚栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区ABCD 已知教学楼外墙长50米，设矩形ABCD的边长 AB 为 x（米），面积为 S（平方米）（1）请写出活动区面积 S 与 x 之间的关系式，并指出 x 的取值范围；（2）当 AB 为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）设矩形的边 AB 为 x

20、米，则边 BC 为 802x 米，根据矩形面积公式“面积=长宽”列出函数的关系式（2）将所得函数解析式配方成顶点式即可得【解答】解：（1）根据题意知 AB=x，BC=802x，S=x（802x）=2x2+80 x，又x0，0802x50，解得 15x40，S=2x2+80 x（15x40）；（2）S=2x2+80 x =2（x20）2+800，当 x=20 时，S 最大值为 800，答：当 AB 为 20 米时，活动区的面积最大，最大面积是 800 平方米 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数，学会利用二次函数的性质解决问题 12（5 分）如图，ABC 是等腰三角形，A

21、B=AC，以 AC 为直径的O 与BC 交于 D，DEAB，垂足为点 E，ED 的延长线与 AC 的延长线交于点F（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若O 的半径为 2，BE=1，求 cosA 的值 【分析】（1）连接 OD，AD，由 AC 为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角及垂直的定义得到 AD 垂直于 BC，利用三线合一得到 D 为 BC中点，再由 O 为 AC 的中点，得到 OD 为三角形 ABC 的中位线，利用中位线性质得到 OD 与 AB 平行，进而得到 OD 垂直于 DE，即可得证；（2）由半径的长求出 AB 与 AC 的长，根据 BE 的长，由 ABBE 求出AE 的长，由

22、平行得相似，相似得比例，设 CF=x，根据题意列出关于x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，即可确定出所求【解答】（1）证明：连接 OD，AD，AC 为圆的直径，ADC=90，ADBC，AB=AC，点 D 为 BC 的中点，点 O 为 AC 的中点，ODAB，DEAB，AED=90，ODE=90，ODDE，则 DE 为圆 O 的切线；（2）解：r=2，AB=AC=2r=4，BE=1，AE=ABBE=3，ODAB，FODFAE，=，设 CF=x，则有 OF=x+2，AF=x+4，=，解得：x=2，AF=6，在 RtAEF 中，AEF=90，则 cosA=【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质

23、，等腰三角形的性质，圆周角定理，以及解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键 13（7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax22ax+1（a0）的对称轴为 x=b，点 A（2，m）在直线 y=x+3 上（1）求 m，b 的值；（2）若点 D（3，2）在二次函数 y=ax22ax+1（a0）上，求 a 的值；（3）当二次函数 y=ax22ax+1（a0）与直线 y=x+3 相交于两点时，设左侧的交点为 P（x1，y1），若3x11，求 a 的取值范围 【分析】（1）根据二次函数的性质，可得 b=1将 A（2，m）代入 y=x+3，即可求出 m=2+3=5；（2）

24、将 D（3，2）代入 y=ax22ax+1，即可求出 a 的值；（3）把 x=3 代入 y=x+3，求出 y=6，把（3，6）代入 y=ax22ax+1，求出 a=再把 x=1 代入 y=x+3，求出 y=4，把（1，4）代入 y=ax22ax+1，求出 a=1进而得出 a 的取值范围【解答】解：（1）二次函数 y=ax22ax+1（a0）的对称轴为 x=b，b=1 点 A（2，m）在直线 y=x+3 上，m=2+3=5；（2）点 D（3，2）在二次函数 y=ax22ax+1（a0）上，2=a322a3+1，a=；（3）当 x=3 时，y=x+3=6，当（3，6）在 y=ax22ax+1（a0

25、）上时，6=a（3）22a（3）+1，a=又当 x=1 时，y=x+3=4，当（1，4）在 y=ax22ax+1（a0）上时，4=a（1）22a（1）+1，a=1 a1【点评】本题考查了二次函数、一次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，掌握点在直线上，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键 14（7 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，点 E 为 AD 边中点，点 F 为 BC边中点；点 G，H 为 AB 边三等分点，I，J 为 CD 边三等分点小瑞分别用不同的方式连接矩形对边上的点，如图 2，图 3 所示，那么图 2中四边形 GKLH 的面积与图 3 中四边形 KPOL 的面积相等吗？（1）

26、小瑞的探究过程如下：在图 2 中，小瑞发现，S四边形 GKLH=S四边形 ABCD；在图 3 中，小瑞对四边形 KPOL 面积的探究如下，请你将小瑞的思路填写完整；设 SDEP=a，SAKG=b ECAF DEPDAK，且相似比为 1：2，得到 SDAK=4a GDBI，AGKABM，且相似比为 1：3，得到 SABM=9b 又SDAG=4a+b=S 四边形ABCD，SABF=9b+a=S 四边形 ABCD S四边形 ABCD=24a+6b=36b+4a a=b，S四边形 ABCD=42 b，S四边形 KPOL=6 b S四边形 KPOL=S四边形 ABCD，则S四边形 KPOL S四边形 G

27、KLH（填写“”“”或“”）（2）小瑞又按照图 4 的方式连接矩形 ABCD 对边上的点，则 S四边形 ANML=S四边形 ABCD【分析】（1）根据平行线的性质、相似三角形的性质即可解决问题；（2）如图 4 中，延长 CE 交 BA 的延长线于 T，连接 DN，设 SAGL=a，SAEN=b想办法证明 S四边形 ANML=4b，S四边形 ABCD=20b，即可解决问题；【解答】解：（1）小瑞的探究过程如下：在图 2 中，小瑞发现，S四边形 GKLH=S四边形 ABCD；在图 3 中，小瑞对四边形 KPOL 面积的探究如下，请你将小瑞的思路填写完整；设 SDEP=a，SAKG=b ECAF D

28、EPDAK，且相似比为 1：2，得到 SDAK=4a GDBI，AGKABM，且相似比为 1：3，得到 SABM=9b 又SDAG=4a+b=S 四边形ABCD，SABF=9b+a=S 四边形 ABCD S四边形 ABCD=24a+6b=36b+4a a=b，S四边形 ABCD=42b，四边形 KPOL=6b S四边形 KPOL=S四边形 ABCD，则 S四边形 KPOLS四边形 GKLH 故答案为，42，6，（2）如图 4 中，延长 CE 交 BA 的延长线于 T，连接 DN，设 SAGL=a，SAEN=b GLPH，AGLAHP，相似比为 1：2，得到 SAHP=4a，ATCD，T=ECD

29、，AET=CED，AE=ED，AETDEC，AT=CD，ATCJ，=，=，可得 SDNJ=b，SABF=4a+b=S四边形 ABCD，SADJ=b=S四边形 ABCD，16a+b=20b，a=b，S四边形 ANML=（20b8ab）=4b，S四边形 ABCD=20b，S四边形 ANML=S四边形 ABCD 故答案为【点评】本题考查相似形综合题、矩形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题 15（8 分）点 P 的“d 值”定义如下：若点 Q 为圆上任意一点，线段PQ长度的最大值

30、与最小值之差即为点P的“d值”，记为dP 特别的，当点 P，Q 重合时，线段 PQ 的长度为 0当O 的半径为 2 时：（1）若点 C（，0），D（3，4），则 dc=1，dp=4；（2）若在直线 y=2x+2 上存在点 P，使得 dP=2，求出点 P 的横坐标；（3）直线 y=x+b（b0）与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B若线段 AB 上存在点 P，使得 2dP3，请你直接写出 b 的取值范围 【分析】（1）圆内的点的 d 值=这个点到圆心距离的 2 倍，圆上或圆外的点的 d 值=圆的直径，由此即可解决问题；（2）根据题意，满足 dp=2 的点位于O 内部，且在以 O 为圆心半径为 1

31、的圆上，可以假设 P（a，2a+2），根据 PO=1，构建方程即可解决问题；（3）根据题意，满足 2dP3 的点位于点 O 为圆心外径为，内径为 1 的圆环内，分不清楚两圆与线段 AB 相切时 b 的值即可解决问题；【解答】解：（1）根据题意可得圆内的点的 d 值=这个点到圆心距离的 2 倍，圆上或圆外的点的 d 值=圆的直径，所以 dc=1，dp=4；故答案为 1，4；（2）根据题意，满足 dp=2 的点位于O 内部，且在以 O 为圆心半径为 1 的圆上，点 P 在直线 y=2x+2 上，可以假设 P（a，2a+2），PO=1，a2+（2a+2）2=1，解得 a=1 或，满足条件的点 P 的横坐标为1 或 （3）根据题意，满足 2dP3 的点位于点 O 为圆心外径为，内径为 1 的圆环内，当线段与外环相切时，可得 b=，当线段于内环相切时，可得 b=，所以满足条件的 b 的值：b【点评】本题考查一次函数、圆、点 P 的“d 值”定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用此时解决问题，学会利用特殊位置、寻找特殊点解决问题，所以中考压轴题