江苏省南京师范大学附属中学2020届高三第二学期第一次模拟考试数学试题含附加题word3761.pdf

《江苏省南京师范大学附属中学2020届高三第二学期第一次模拟考试数学试题含附加题word3761.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省南京师范大学附属中学2020届高三第二学期第一次模拟考试数学试题含附加题word3761.pdf（12页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 江苏省南师附中 2020 届高三年级第一次模拟考试 数学 2020.03.19 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页，包含填空题（共 14 题）、解答题（共 6 题），满分为 160 分，考试时间为 120 分钟考试结束后，请将答题卡交回 2答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答题卡上 3 作答题目必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效 如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚 参考公式：1样本数据1x，2x，nx的方差2211niisxxn

2、，其中11niixxn；2圆锥的体积13VSh，其中 S 是圆锥的底面圆面积，h 是高 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1集合0,exA，1,0,1B ，若ABB，则x _ 2复数12iiz（i 是虚数单位）的虚部是_ 324log 4log 2_ 4执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为_ 5在ABC中，4a，5b，6c，则sin2sinAC_ 6 已知函数 sin3cosf xxx，0 x，若 f x是奇函数，则6f的值为_ 7已知 3logf xx，若 a，b 满足121f afb，且2ab，则ab的最小值为_ 8 将黑

3、白 2 个小球随机放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，则黑白两球均不在 1 号盒子的概率为_ 9若抛物线24xy的点到双曲线 C：22221xyab（0a，0b）的近线距离等于13，则双曲线 C 的离心率为_ 10设 m，n 为空间两条不同的直线，为空间两个不同的平面，给出下列命题：若m，m，则；若m，m，则；若m，mn，则n；若m，则m 其中的正确命题序号是_ 1l设0 x，0y，向量1,4ax，,bxy，若a b，则xy的最小值为_ 12在ABC中，点 P 是边 AB 的中点，已如3CP，4CA，则CP CA_ 13已知正数 a，b，c 满足220bac bac，则bac的最大值为_ 1

4、4若21001m xmmx对一切4x 恒成立，则实数 m 的取值范围是_ 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算 15如图，在四棱锥 P-ABCD 中，已知底面 ABCD 为矩形，且 AB=2，BC=1，E，F 分别是 AB，PC 的中点，PADE (1）求证：EF平面 PAD；（2）求证：平面PAC 平面 PDE 16在三角形 ABC 中，已知1tan2B，10cos10C （1）求角 A 的值；（2）若ABC的面积为310，求边 BC 的长 17建造一个容积为38m、深为2m的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为

5、120 元/2m和80 元/2m（1）求总造价 y（单位：元）关于底边一边长 x（单位：m）的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）如果要求总造价不超过 2080 元，求 x 的取值范围；（3）求总造价 y 的最小值 18在直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：22163xy，若圆O：2220 xyRR的一条切线与椭圆 C有两个交点 A，B，且0OA OB （1）求 O 的方程；（2）已知椭圆 C 的上顶点为 M，点 N 在圆 O 上，直线 MN 与椭圆 C 相交于另一点 Q，且2MNNQ，求直线 MN 的方程 19已知函数 222ln12afxaxxxxaR（1）若曲线 yf x在1x 处的

6、切线的斜率为 2，求函数 f x的单调区间；（2）若函数 f x在区间1,e上有零点，求实数 a 的取值范田（e 是自然对数的底数，271828e ）20已知数列 na、nb、nc，对于给定的正整数 k，记nnn kbaa，*nnn kcaanN若对任意的正整数 n 满足：1nnbb，且 nc是等差数列，则称数列 na为“H k”数列（1）若数列 na的前 n 项和为2nSn，证明：na为 H k数列；（2）若数列 na为 1H数列，且11a，11b ，25c，求数列 na的通项公式；（3）若数列 na为 2H数列，证明：na是等差数列 数学（附加题）2l【选做题】本题包括 A、B、C 三小题

7、，请选定其中两题，并在相应的答理区域内作答 若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）已知矩阵1002A，201aB，且ABBA（1）求实数 a；（2）求矩阵 B 的特征值 B选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：3545xtyt（t 为参数）现以坐标原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆 C 的极坐标方程为2cos，直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，求弦 AB 的长 C选修 4-5：不等式选讲 已知1x，2x，30,x，且满足

8、1231233xxxx x x，证明：12233 13x xx xx x【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22（本小题满分 10 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，已知棱 AB，AD，AP 两两垂直，长度分别为 1，2，2若DCABR，且向量PC与BD夹角的余弦值为1515 （1）求的值：（2）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值 23已知21221012211nnnxaa xa xax，*nN记021knn knTka（1）求2T的值；（2）化简nT的表达式，并证明：对任意的*nN，

9、nT都能被42n整除 参考答案 10 2-1 352 456 51 6-1 7322 849 93 10 119 126 13522 141,2 15证明：（1）取 PD 中点 G，连 AG，FG，F，G 分别是 PC，PD 的中点 FGCD，且12FGCD 又E 为 AB 中点 AECD，且12AECD AEFGAEFG 四边形 AEFG 为平行四边形 EFAG，又EF 平面 PAD，AG 平面 PAD EF平面 PAD（2）设ACDEH，由AEHCDH及 E 为 AB 中点，得12AHAECHCD 又2AB，1BC 3AC，1333AHAC 23AHABAEAC 又BAD为公共角 GAEB

10、AC 90AHEABC 即DEAC又DEPA，PAACA DE 平面 PAC，又DE 平面 PDE 16解：（1）在ABC中，1tan2B，10cos10C 得3 10sin10C，故tan3C 所以 13tantan2tantan111tantan132BCABCBC 0A，所以4A（2）由（1）知45A，设BCa，利用正弦定理sinsinABBCCA得，3 103 510522aABa，又22sin1cos2sincos1BBBB，解得5sin5B 所以ABC的面积为2113 5533sin22551010SAB BCBaaa，所以1a，即1BC 17（1）底边一边长 x，另一边长为842

11、xx，48422 801203204802yxxxx，即43204800yxxx；（2）43204802080yxx，解得14x；1,4x时，总造价不超过 2080 元；（3）记 4f xxx，设1202xx，则120 xx，1240 x x，1212121212124440 xxx xf xf xxxxxx x，即 12f xf x，f x递减，同理2x 时，f x递增，所以函数4320480yxx在0,2上递减，在2,上递增，2x 时，min4320248017602y 2xm，总造价最小为 1760 元 18（1）设的切为ykxb，点11,A x y，22,B x y由方程组22,1,6

12、3ykxbxy得 222124260kxkbxb，得122412kbxxk，2122212bbx xk 因为0OA OB，所以 1122,0 x yx y，即12120 x xy y 又因为点11,A x y，22,B x y在直线ykxb上，所以1 2120 x xkxbkxb，即22121210kx xkb xxb 所以2222222126401212kbk bbkk，化简得2222bk，所以圆 O 的半径221bRk，所以圆 O 的方程为222xy 此时，当切线为2x 时，易证满足0OA OB（2）设点00,Q x y，点0,3M，由2MNNQ，得00223,33xyN，代入椭圆和圆得

13、220022001,632232,33xyxy解得003 2,232xy 或者003 2,23.2xy 所以点3 23,22Q或3 23,22Q 故直线 MN 的方程为632yx或632yx 19（1）函数 f x的定义域为0，2122 ln221 ln2221ln1fxaxxaxxaxaxxaxaxxx，则 1212fa，所以0a，此时 2 ln1f xxx，定义域为0,，2 ln1fxx，令 0fx，解得1xe；令 0fx，解得1xe；所以函数 f x的单调增区间为1,e，单调减区间为10,e（2）函数 222lnln12af xaxxxx在区间 1,e上的图象是一条不间断的曲线 由（1）

14、知 21 ln1fxaxx，1）当0a 时，对任意1,xe，10ax，ln10 x，则 0fx，所以函数 f x在区间 1,e上单调递增，此时对任意1,xe，都有 1102afxf 成立，从而函数 f x在区间1,e上无零点；2）当0a 时，令 0fx，得1xe或1a，其中11e，若111，即1a，则对任意1,xe，0fx，刚以函数 f x在区间1,e上单调递减，由题意得 1102af，且 222102af eaeee，解得22 2123eae ，其中 2222 213421330eeeee，即22 2113ee，所以a的取值范是21a；若1ea，即10ae，则对任1,xe，0fx，所以函数

15、f x在区间 1,e上单调递增，此时对任意1,xe，都有 1102afxf 成立，从而函数 f x在区间1,e上无零点；若11ea，即11ae ，则对任意11,xa，0fx；所以函数 f x在区间11,a上单调递增，对任意11,xa，都有 1102af xf 成立；对于任意1,xea，0fx，函数 f x在区间1,ea上单调递减，由题意得 222102af eaeee，解得229213eae，其中2222 21134221333eeeeeeeee ，所以 a 的取值范围是22 211eae 综上可得，实数 a 的取值范围是22 2123eae 20（1）当2n时，221121nnnaSSnnn

16、，当1n 时，11aSa符合上式，则211nann，2nbk，422ncnk，则1nnbb，14nncc 对任意的正整数n满足1nnbb，且 nc是公差为 4 的等差数列，na为 H k数列（2）1a，11b ，22a，由数列 na为 1H数列，则 nc是等差数列，且13c，25c 21ncn 即121nnaan，11nnanan，则nan是常数列，110a ，nan 验证：11nnnbaa，1nnbb对任意正整数 n 都成立 nan 又由121nnaan，1223nnaan，两式相减得；22nnaa，2112121kaakk，22212kaakk，nan（3）由数列 na为 2H数列可知：n

17、c是等差数列，记公差为 d 221222nnnnnnnnccaaaabbd，132nnbbd 则 123220nnnnbbbbdd 又1nnbb，1nnbb，数列 nb为常数列，则21nnnbaab 22nnnnncaaab 由112nnnnccaad，12nndaa，na是等差数列 21A 解：（1）因为1022020102aaAB，21022010202aaBA且ABBA，所以0a （2）因为2001B，矩阵B的特征多项式为 21f，令 f，解得2，1 B解：直线 l：3545xtyt（t 为参数）化为普通方程为430 xy 圆 C 的极坐标方程2cos化为直角坐标方程为2211xy，则圆

18、 C 的圆心到直线 1 的距离为 2244543d ，所以262 15ABd C解：因为1x，2x，30,x，1231233xxxx x x，所以2331121113x xx xx x，又212233 1233 1121111 1 19x xx xx xx xx xx x，所以12233 13x xx xx x，当且仅当1231xxx时取等号【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用 22（1）依题意，以 A 为坐标原点，AB、AD、AP 分别为 x、y，z 轴建立空间直角坐标系Axyz 1,0,0B，0,2,0D，0,0,2P，因为DCAB，所以

19、,2,0C，从而,2,2PC，则由15cos,15PC BD，解得10（舍去）或2（2）易得2,2,2PC，0,2,2PD，设平面 PCD 的法向量,nx y z，则0n PC，0n PD，即0 xyz，且0yz，所以0 x，不妨取1yz，则平面 PCD 的一个法向量0,1,1n，又易得1,0,2PB，故10cos,5PB nPB nPBn，所以直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为105 23（1）由二项式定理得21Ciina，221035Taaa；（2）12221212121 C C21CC2 21 CnnnnnnnnnnnTnnn，进而可得到结论 解析：由二项式定理得2Ciin ia（i=0，1，2，2n+1）（1）210221055535C3C+5C=30Taaa；（2）121221!212!1C121 C1!nkn knnnnnnknknnknknknk 121210002121 C21 Cnnnn knknn knnkkkTkakk 1112121210002121C21C21Cnnnnknknknnnkkknknnkn 12212212200112 21C21C2 212C21221 C22nnn knknnnnnnnnkknnnnn 1221212121 C21CC2 21 CnnnnnnnnnTnnn *21CnnN nT能被42n整除