重庆市第八中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题及答案3585.pdf

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1、 第 1 页 共 4 页 重庆八中高 2024 级高一（下）第一次月考 数 学 试 题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1在ABC中，141 cos2abC=，则ABC的面积为 A32 B2 3 C3 D1 2已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且0OAOBOC+=，那么 AAOOD=B2AOOD=C3AOOD=D2AOOD=3如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为 1，则()ACABCD+=A0 B1 C2 D1 4设a b，都是非零向量，下列四个条件中，使abab=成立的充分不必要条件是 A3ab

2、=B/a b C|a bab=D/a b且|ab=5若2sincos2=，则44sincos+=A34 B56 C78 D89 6 平面上有(2,1)A，(1,4)B，(2 3)D ，三点，点C在直线AB上，且2ACBC=，连接DC并延长DC至E，使1|2|CECD=，则点E的坐标为 A(5 9)，B(3 9)，C(1 4)，D(3 7)，7ABC的角A B C，所对的边为a b c，设22(sinsin)sinsinsinBCABC=，则A=A4 B6 C3 D2 第 2 页 共 4 页 8已知向量a b c，满足|3a=，|13abab+=，1(1)()2cabR+=+，则|c的最小值为

3、A185 B125 C12 1313 D1313 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9下列关于向量a b c，的说法错误的是 A若/ab且/bc，则/ac B/ab的充要条件是存在不全为零的实数，使得0ab+=C若a bc b=，则ac=D|abcb=，则|ac=10设函数2()2cossin2f xxx=+，则下列选项正确的有 A()f x的最小正周期是 B4x=为()f x的一个对称轴 C()f x的最小值是2 D()f x在a b，上单调递减，那么ba的最大

4、值是2 11在ABC中，角A B C，所对的边为a b c，则下列说法正确的有 A若AB，则sinsinAB B若222abc+，则ABC+CsinsinsinsinabcaABCA+=+D若coscosaAbB=，则ABC是等腰三角形 12 已知平面向量a，b，c 若(1 0)a=，13()22b=，()()0acbc=，ab c+=，则下列结论正确的有 A若c起点为原点，其终点构成的轨迹为一条直线 B满足条件的c的模的最大值为312+Ccos最大值为63 Dcos最小值为63 第 3 页 共 4 页 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量a b，不共线，若

5、2kab+与4ab共线，则实数k=14若tan2=，则2sin3sincos=15已知ABC中，角A B C，所对边分别为a b c，且满足33ab=，221cos2acBabbc=+，则B=16已知|10AB=，若对任意实数tR，点P都满足|3APtAB，则PA PB的最小值为 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且34CFCB=设,ABa ADb=（1）试用基底a b，表示,AE EF；（2）若4583AGab=+，求证：E，G，F三点共线 18（12 分）O是平面

6、直角坐标系的原点，(1 2)(1 1)AB，记OAa=，OBb=（1）求a在b上的投影向量坐标；（2）若四边形OABC为平行四边形，求点C的坐标；（3）若向量(1)c=，满足条件：c aa b，与，互补，求 19（12 分）已知ABC的角A B C，对边分别为a b c，A为锐角，coscos(3cos1)bAaBcA+=（1）求cos A；（2）若2a=，求AB AC的最大值 第 4 页 共 4 页 20（12 分）在ABC中，a b c，分别是角A B C，所对的边，若1cos3A=,3bc=（1）求sinC；（2）若1c=，D为AC上靠近A的一个三等分点，求|BD 21（12 分）已知A

7、BC中，过重心G的直线PQ交线段AB于P，交线段AC于Q，连结AG并延长交BC于点D，设ABa ACb=，APQ的面积为1S，ABC的面积为2S，APmAB=，AQnAC=（1）用a b，表示AG并求证：3mnmn+=（2）求12SS的取值范围 22（12 分）已知函数()2 3sin()cos()sin()4242xxf xx=+，且函数()yg x=的图象与函数()yf x=的图象关于直线4x=对称（1）求函数()g x的解析式；（2）若存在0,)2x，使等式2()()20g xmg x+=成立，求实数m的最大值和最小值；（3）若当2,33x 时，不等式1()()22f xagxa恒成立，

8、求实数a的取值范围 重庆八中高 2024 级高一（下）第一次月考答案 一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D A A C C B ACD AD AC BD 三、填空题：13.12 14.25 15.6 16.16【解析】8.由题可得|2b=，且ab，c=11(1)(1)2222cabab+=+=+，即c终点与a和2b终点共线，当且仅当(2)cab时，|c最小，为125.11.对于A：对于AB，所以ab，利用正弦定理：2sin2sinRARB，整理得sinsinAB，故A正确；对于B：由于222abc+，则cos0A ，即A为锐角，故B错误；对于

9、C：由于sinsinsinabcABC=，利用等比性质sinsinsinsinaabcAABC+=+，故C正确；对于D：由于coscosaAbB=，利用正弦定理得sincossincosAABB=，整理得11sin2sin222AB=，所以sin 2sin 2AB=，故22AB=或22AB+=，所以AB=或2AB+=，故ABC为等腰三角形或直角三角形，故D错误；12.如 图：设 aAB=bAC=cAP=,acPBbcPC=，由()()0acbc=可得 0PB PC=c 的终点 P 在以BC为直径的圆上 故 A 错；由题知 ABC 为等边三角形 故 1BC=此时圆的半径为 12 圆心坐标 33,

10、44 则|cAP=的最大值为:19313216162+=故B正 确；设BC中 点 为D，ab cAD AP+=，当A D P，三点共线时，cos1=，故C错；当AP与圆相切时cos取到最小值，此时|3cos6|APAD=.16.以A，B的中点为原点，AB所在直线为x轴，过O且垂直于AB的直线为轴建立平面 直 角 坐 标 系，如 图 所 示，设AHtAB=，H为AB上 一 点，|3APtABAPAHHP=，故|3minHP=，所以，P到直线AB的距离为 3，则P点 在 直线:3L y=上，可 得：(5,0)A，(5,0)B，(,3)P x，则(5PA PBx=，3)(5x，223)25916xx

11、=+=，当且仅当0 x=时，PA PB取最小值16，17.(1)由题，111222AEADDEADDCADABba=+=+=+=+，114122333424EFECCFABCBABADab=+=+=（2）8311342548EGAGAEabbaab=+=，则12EGEF=,E，G，F三点共线 18.（1）ab在上的投影向量为211 1|cos()22 2|a baa bebbb=，；（2）设点()C x y，OABC 为平行四边形，则有OACB=，(1 2)(11)OACBxy=，解得21xy=，故(21)C，.（3）10cos10|a ba ba b=，因为c a，与a b，互补，故10co

12、scos10a ca b=，即22110cos10|51a cc aa c=+，推得2178107+=或1=（舍），故17=.19.（1）由 题 及 正 弦 定 理 可 得，sincossincossin(3cos1)BAABCA+=2sin()sin(3cos1)sinsin(3cos1)3cos11cos3ABCACCAAA+=.（2）由余弦定理，2222242cos43abcbcAbcbc=+=+=，由222bcbc+4423bcbc+6bc，2cos43AB ACcbAbc=，当且仅当bc=时取等，故AB AC得最大值为 4.20（1）解:1cos,33Abc=，由余弦定理，22222

13、222cos83abcbcAbcbcc=+=+=，故2 2ac=，由正弦定理，sinsincCAa=其中22 2sin1cos3AA=，故1sinsin3cCAa=.（2）由题sin3sin1BC=，故2B=，即BABC，则2 2c=，由D为靠近A的三等分点可知，2133BDBABC=+，故221|(44)9BDBCBABC BA=+221(4)9ac=+122 393=21.（1）证明：22 1111()33 2233AGADABACab=+=+；APmAB=，,AQnAC=，P，G，Q三点共线，则存在，使得PQPG=，即()AQAPAGAP=，即11()()3333nbmaabmamab=

14、+=+，33mmn=，整理得33331mnmnmnm=+，证毕.（法二：22 111111()33 223333AGADABACabAPAQmn=+=+=+，又因为 P，G，Q三点共线，故11133mn+=，则3mnmn=+）（2）解：由（1）APmAB=，AQnAC=，121|sin|21|sin2APAQBACSAPAQm nSABACABACBAC=，113(0 1)31nmnmm+=，1(1)2m，221221113931()2413mmSmnSmmm+=+，则当132m=时，12SS取得最小值49，当11m=时，12SS取得最大值12，11m，则12SS的取值范围为4 1,)9 2

15、22.解：（1）函 数()2 3sin()sin()sin()4242xxf xx=+，化 简 可 得()2 3sin()cos()sin4242xxf xx=+3sin()sin2xx=+3cossinxx=+2sin()3x=+函数()yg x=的图象与函数()yf x=的图象关于直线4x=对称即()()2g xfx=5()2sin()2sin()2sin()2366g xxxx=+=+.（2）0,)2x，()2sin()6g xx=+66x+，2)31()2g x令()g xt=，则12t那么：2()()20g xmg x+=，可得：220tmt+=成立即22 2mtt=+，当2t=时取

16、等号，m的最小值为2 2当1t=或2时，可得3m=，即m的最大值为3故得实数m的最大值为 3，最小值为2 2（3）不等式1()()22f xagxa恒成立，即sin()2 sin()236xaxa+恒成立 当2,33x 时，03x+，()262x若0a=时，显然sin()23x+恒成立若0a 时，当3x=时，sin()2 sin()36xax+取得最小值 即sin()2 sin()23336aa+成立可得：22aa，解得：203a 若0a 时，当23x=时，sin()2 sin()36xax+取得最小值 即22sin()2 sin()23336aa+成立得：2a ，20a 综上可得：a的范围是2(2,)3