高中数学2.1.2指数函数及其性质教案新人教A版必修15699.pdf

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1、2.1.2 指数函数及其性质（第一课时）教学目标：1、理解指数函数的概念 2、根据图象分析指数函数的性质 3、应用指数函数的单调性比较幂的大小 教学重点：指数函数的图象和性质 教学难点：底数 a 对函数值变化的影响 教学方法：学导式（一）复习：（提问）引例 1：某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个1 个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是：2xy 这个函数便是我们将要研究的指数函数，其中自变量x作为指数，而底数 2 是一个大于 0且不等于 1 的常量。（二）新课讲解：1指数函数定义：一般地，函数xya（0a 且1a）叫做指数函数，其中x是自变量，函

2、数定义域是R 练习：判断下列函数是否为指数函数。2yx 8xy (21)xya（12a 且1a）(4)xy xy 1225xy xyx 10 xy 2.指数函数xya（0a 且1a）的图象：例 1画2xy 的图象（图（1）解：列出,x y的对应表，用描点法画出图象 x -3-2-1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 2xy 0.13 0.25 0.35 0.5 0.71 1 1.4 2 2.8 4 8 例 2画1()2xy 的图象（图（1）x -3-2-1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 1()2xy 8 4 2.8 2 1.4 1 0.71 0.5 0.35 0

3、.25 0.13 2xy 1()2xy 图（1）指出函数2xy 与1()2xy 图象间的关系？说明：一般地，函数()yf x与()yfx的图象关于y轴对称。3指数函数xya在底数1a 及01a这两种情况下的图象和性质：1a 01a 图象 性质（1）定义域：R（2）值域：(0,)（3）过点(0,1)，即0 x 时1y （4）在R上是增函数（4）在R上是减函数 例 3已知指数函数()(0,1)xf xaaa的图象经过点(3,)，求(0),(1),(3)fff 的值（教材第 66 页例 6）。例 4比较下列各题中两个值的大小：2.53(1)1.7,1.7；0.10.2(2)0.8,0.8 0.33.

4、1(3)1.7,0.9（教材第 66 页例 7）小结：学习了指数函数的概念及图象和性质；练习：教材第 68 页练习 1、3 题。作业：教材第 69 页习题 2。1A 组题 第 6、7、8 题 2.1.2 指数函数及其性质（第二课时）教学目标：1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质；2.能求由指数函数复合而成的函数定义域、值域；3.掌握比较同底数幂大小的方法；4.培养学生数学应用意识。教学重点：指数函数性质的运用 教学难点：指数函数性质的运用 教学方法：学导式（一）复习：（提问）1指数函数的概念、图象、性质 2练习：（1）说明函数34xy 图象与函数4xy图象的关系；（2）将函数21()3xy 图

5、象的左移 2 个单位，再下移 1 个单位所得函数的解析式是 ；（3）画出函数1()2xy 的草图。（二）新课讲解：例 1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过 1 年剩留的这种物质是原来的 84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留 1 个有效数字）。分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求。解：设这种物质量初的质量是 1，经过x年，剩留量是y.经过 1 年，剩留量y=184%=0.841；经过 2 年，剩留量y=184%=0.842；一般地，经过 x 年，剩留量0.84xy，根据这个函

6、数关系式可以列表如下：x 0 1 2 3 4 5 6 y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35 用描点法画出指数函数0.84xy 的图象。从图上看出0.5y，只需4x.答：约经过 4 年，剩留量是原来的一半。例 2 说明下列函数的图象与指数函数2xy 的图象的关系，并画出它们的示意图：（1）12xy；（2）22xy 解：（1）比较函数12xy与2xy 的关系：3 12y 与22y相等，2 12y 与12y相等，2 12y与32y 相等，由此可以知道，将指数函数2xy 的图象向左平移 1个单位长度，就得到函数12xy的图象。（2）比较函数22xy与2xy 的关系：1 2

7、2y 与32y相等，0 22y与22y相等，3 22y与12y 相等，由此可以知道，将指数函数2xy 的图象向右平移2 个单位长度，就得到函数22xy的图象。说明：一般地，当0a 时，将函数()yf x的图象向左平移a个单位得到()yf xa的图象；当0a 时，将函数()yf x的图象向右平移|a个单位，得到()yf xa的图象。练习：说出下列函数图象之间的关系：（1）11yx与1yx；（2）3xy与3x ay；（3）22yxx与22yxx 例 3求下列函数的定义域、值域：（1）1218xy （2）11()2xy （3）3xy （4）1(0,1)1xxayaaa 解：（1）210 x 12x

8、原函数的定义域是1,2x xR x，令121tx 则0,ttR 8(,0)tytR t得0,1yy，所以，原函数的值域是0,1y yy（2）11()02x 0 x 原函数的定义域是0,，令11()2xt (0)x 则01t，yt在0,1是增函数 01y，所以，原函数的值域是0,1（3）原函数的定义域是R，令tx 则0t，3ty 在,0是增函数，01y，所以，原函数的值域是0,1（4）原函数的定义域是R，由1(0,1)1xxayaaa得11xyay，0 xa 101yy，11y，所以，原函数的值域是1,1 说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。小结：1学会怎样将应用问题转化为数

9、学问题及利用图象求方程的解；2学会灵活地应用指数函数的性质比较幂的大小及求复合函数的值域。3了解函数()yf x与()yfx及函数()yf x与()yf xa图象间的关系。作业：习题 2.1 第 3，5，6 题 2.1.2 指数函数及其性质（第三课时）教学目标：1.掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法；2.掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法；3.培养学生的数学应用意识。教学重点：函数单调性、奇偶性的证明通法 教学难点：指数函数性质的运用 教学方法：学导式（一）复习：（提问）1.指数函数的图象及性质 2.判断及证明函数单调性的基本步骤：假设作差变形判断 3.判断及证明函数奇偶性的基本步

10、骤：（1）考查函数定义域是否关于原点对称；（2）比较()fx与()f x或者()f x的关系；（3）根据函数奇偶性定义得出结论。（二）新课讲解：例 1当1a 时，证明函数11xxaya 是奇函数。证明：由10 xa 得，0 x，故函数定义域0 x x 关于原点对称。1()1xxafxa(1)(1)xxxxaaaa11xxaa()f x ()()fxf x，所以，函数11xxaya 是奇函数。评析：此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明，但在证明过程中的恒等变形用到推广的实数指数幂运算性质。例 2设a是实数，2()()21xf xaxR，（1）试证明：对于任意,()a f x在R为增函数；（2）试确

11、定a的值，使()f x为奇函数。分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。（1）证明：设1212,x xR xx，则 12()()f xf x1222()()2121xxaa 21222121xx 12122(22)(21)(21)xxxx，由于指数函数2xy 在R上是增函数，且12xx，所以1222xx即12220 xx，又由20 x，得1120 x，2120 x，所以，12()()0f xf x即12()()f xf x 因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，()f x在R为增函数。评述：上述证明过程中，在对差式正负判断

12、时，利用了指数函数的值域及单调性。（2）解：若()f x为奇函数，则()()fxf x，即22()2121xxaa，变形得：2 222(21)2(21)22121xxxxxxa，解得：1a，所以，当1a 时,()f x为奇函数。评述：此题并非直接确定a值，而是由已知条件逐步推导a值。应要求学生适应这种题型。练习：（1）已知函数()f x为偶函数，当(0,)x时，1()2xf x,求当(,0)x 时，()f x的解析式。（2）判断24xxya(0,1)aa的单调区间。小结：灵活运用指数函数的性质，并掌握函数单调性，奇偶性证明的通法。作业：（补充）1已知函数21()21xxf x，（1）判断函数()f x的奇偶性；（2）求证函数()f x在(,)x 上是增函数。2函数22363xxy的单调递减区间是 3.已知函数()f x定义域为R，当0 x 时有()f x21()3xx，求()f x的解析式。