三角形全等模型详细专题初中数学42088.pdf

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1、 1 全等三角形中辅助线的添加 主要内容：复习三角形全等的判定定理，通过三角形全等证明图形中线段和角度的关系。（位置关系和数量关系）学习目标：通过学习三角形全等的判定，探索三角形全等的条件，能够培养比较完整、清晰的思维逻辑能力并进行基础的推理论证能力。学习重点：灵活应用三角形中线段的性质与三角形的判定定理证明综合性的题目。学习难点：能够从结论出发，联系已知，找出解决问题的关键点，同时能够挖掘出图中的隐含条件而且能够将未知转化为已知来解决问题（基本的全等模型与常见辅助线）。一、知识精讲 1.三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或者“SSS”。（三角形具有稳定性）2.两角及其夹边分别相等

2、的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。3.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。4.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。5.在直角三角形中，一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写为“HL”。6.易错点：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等这个结论是不正确的。2 EDFCBADCBA二、典型例题：考点一 倍长中线法：当遇到中线时，通常延长中线一倍，采用补短的方法，构造三角形全等 条件：ABC 中 AD 是 BC 边中线 方法一：延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE 方

3、式 方法二：间接倍长，作 CFAD 于 F，作 BEAD 的延长线于 E 连接 BE 方法三：延长 MD 到 N，使 DN=MD，连接 CN 【例题 1】已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_.【例题 2】如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.DABCEDABCNDCBAMFEDCBA 3 【变式训练】1、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.【练习题】1、已知：如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，点 F 在 CD 上，FAE=BA

4、E求证：AF=BC+FC 2、如图所示，在ABC 中，AD 是BAC 的角平分线，且 AE=AF。若点 M 是 BC 的中点，求证：BE=CF=21(AB+AC)。【例题 3】已知在ABC 中，AB=AC，D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上，DE 交 BC 于 F，且 DF=EF，求证：BD=CE。【变式训练】1、已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE 交 AC 于 F，求证：AF=EF。FECABDFEDABCEDCBA 4 2、如图，CE、CB 分别是ABC 与ADC 的中线，且ACB=ABC，求证：CD=2CE。【例题 4】

5、直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半 如图，D 是 AB 的中点，ACB=90,求证：2CD=AB.【例题 5】已知：在 RtABC 中，AB=BC，在 RtADE 中，AD=DE，连结 EC，取 EC 的中点 M，连结 DM 和 BM（1）若点 D 在边 AC 上，点 E 在边 AB 上且与点 B 不重合，如图，探索 BM、DM 的关系并给予证明；（2）如果将图中的ADE 绕点 A 逆时针旋转小于 45的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明（3）将图 1 中的ADE绕点A旋转到图的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由 MEABCD

6、图 图 M D B A C E 图 M D B A C E 5 【变式练习】已知：ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABC=ADE=90，点M是CE的中点，连接BM.（1）如图，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为 ；（2）如图，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.考点二 截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或

7、延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。【例题6】如图，ADBC，EA，EB分别平分DAB，CBA，CD过点E，求证：AB=AD+BC NMDECABMECBAD 6【变式练习】1.如图，ADBC，1=2，3=4，点 D、E、C 在同一直线上，证明：AD+BC=AB 2.在ABC 中，BAC=60，C=40，AP 平分BAC 交 BC 于 P，BQ 平分ABC 交 AC 于 Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。【例题 7】如图，在ABC 中，AB=AC，D 是ABC 外一点，且ABD=60，ACD=60 求证：BD+DC=AB 【变式练习】已知：如图在ABC 中，AB=

8、AC，D 为ABC 外一点，ABD=60，ADB=9021BDC，求证：AB=BDDC。7 图aFECBA图bFECBA【例题 8】如图a，ABC 和CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 C，连接 AF 和 BE.(1)线段 AF 和 BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图a中的CEF 绕点 C 旋转一定的角度，得到图 b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；【变式练习】1.已知四边形ABCD中，ABBC，60ABC，P为四边形ABCD的对角线BD上一点，且120APD，求证：PAPDPCBD 2.如图，在ABC中，60ABC，AD，CE 分别为ACBBAC

9、,的平分线，求证：AC=AE+CD PBDCAA B C D E O 8 考点三 一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。【例题 9】已知：如图，点 B,C,E 在同一条直线上，B=E=60，ACF=60，且 AB=CE 证明：ACBCFE 【变式训练】已知：如图，在 RtABC 中，BAC=90，AB=AC，D 是 BC 边上一点，ADE=45，AD=DE，求证：BD=EC.【例题 10】如图 1，已知 ACCF，EFCF，ABBE，AB=BE 求证：AC=BF,BC=EF 如图 2，已知 ACCF，EFCF，ABCE，AC=C

10、F 求证：AB=CE 606060FABECFECABGFECAB 9 如图 3，已知 ACCF，EFCF，AGCE，AG=CE 求证：AG=CF 【变式练习】如图所示在ABC 中，BAC=90，AB=AC，AE 是过 A 点的一条直线，且 B 点和 C 点在AE 的异侧，BDAE 于 D 点，CEAE 于 E 点。（1）求证：BD=DE+CE；（2）若直线 AE 绕点 A 旋转到图所示的位置时（BDCE），其余条件不变，问 BD 与 DE、CE 的关系如何？请予以证明；（3）若直线 AE 绕点 A 旋转到如图所示位置时（BDCE），其余条件不变，BD 与 DE、CE 的关系如何？直接写出结果

11、，不需证明；（4）归纳前三小题，用简捷的语言表述 BD、DE、CE 之间的关系。GFECA 1 0 【例题 11】E、F分别是正方形ABCD的BC、CD边上的点，且BECF求证：AEBF 【变式练习】E、F、G分别是正方形ABCD的BC、CD、AB边上的点，GEEF，GEEF求证：BGCFBC 【练习 12】已知：如图，在矩形 ABCD 中，E、F 分别是边 BC、AB 上的点，且 EF=ED，EFED求证：AE平分BAD 【变式练习】两个全等的含 30，60角的三角板 ADE 和三角板 ABC 如图所示放置，E，A，C 三点在一条直线上，连接 BD，取 BD 的中点 M，连接 ME，MC试判

12、断EMC 的形状，并说明理由 GABCDEFPFEDCBA 1 1 【例题 13】如图所示，AEAB，BCCD 且 AB=AE，BC=CD，F、A、G、C、H 在同一直线上，如按照图中所标注的数据及符号，则图中实线所围成的图形面积是？【变式练习】小雨遇到这样一个问题：如图 1，直线 l1l2l3，l1 与 l2 之间的距离是 1，l2 与 l3 之间的距离是 2，试画出一个等腰直角三角形 ABC，使三个顶点分别在直线 l1、l2、l3 上，并求出所画等腰直角三角形 ABC的面积 小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角

13、形解决问题 具体作法如图2所示：在直线l1任取一点A，作ADl2于点D，作DAH=90，在 AH 上截取 AE=AD，过点 E 作 EBAE 交 l3 于点 B，连接 AB，作BAC=90，交直线 l2 于点 C，连接 BC，即可得到等腰直角三角形 ABC 请你回答：图 2 中等腰直角三角形 ABC 的面积等于 参考小雨同学的方法，解决下列问题：如图 3，直线 l1l2l3,l1 与 l2 之间的距离是 2，l2 与 l3 之间的距离是 1,试画出一个等边三角形 ABC，使三个顶点分别在直线 l1、l2、l3 上，并直接写出所画等边三角形 ABC 的面积（保留画图痕迹）l1l2l3l1l2l3

14、图 1 l1HCBADEl2l3图 2 l1l2l3 1 2 【例题 14】已知：在平面直角坐标系中，ABC 的顶点 A、C 分别在 y 轴、x 轴上，且ACB=90，AC=BC如图，当 A（0，2），C（1，0），点 B 在第四象限时，求点 B 的坐标，并说明理由 【变式练习】1.如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在 P（5,5）处，两条直角边与坐标轴分别交于点 A 和点 B.当点 A、点 B 分别在 x 轴、y 轴正半轴上运动时，试探究 OA+0B 的值或取值范围；点 A 在 x 轴正半轴上运动，点 B 在 y 轴负半轴上时，试探究 OA-OB 的值或取值范围，直接写出结果

15、。1 3 2.已知：在平面直角坐标系中，等腰直角ABC 顶点 A、C 分别在 y 轴、x 轴上，且ACB=90，AC=BC 如图 1，当 A（0，-2），C（1，0），点 B 在第四象限时，先写出点 B 的坐标，并说明理由 如图 2，当点 C 在 x 轴正半轴上运动，点 A（0，a）在 y 轴正半轴上运动，点 B（m，n）在第四象限时，作BDy 轴于点 D，试判断 a，m，n 之间的关系，请证明你的结论 考点四：角平分线、中垂线法 角分线，分两边，对称全等要记全 角分线+垂线，等腰三角形必呈现（三线合一）【例题 15】在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线P是AD上任意一点求证：ABACP

16、BPC CDBPA 1 4 【变式练习】如图所示，在ABC中，AD是BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PBPC与ABAC的大小，并说明理由 【例题 16】已知等腰直角三角形 ABC，BC 是斜边B 的角平分线交 AC 于 D，过 C 作 CE 与 BD 垂直且交 BD 延长线于 E，求证：BD=2CE 【变式练习】如图，已知在ABC中，3ABCC，12，BEAE求证：2ACABBE 【例题 17】如图，ABC 的边 BC 的中垂线 DF 交BAC 的外角平分线 AD 于 D，F 为垂足，DEAB 于 E，且 ABAC，求证：BE-AC=AE 21ECBA 1 5 【变式练

17、习】如图，ABC 中，ABC=2C，BE 平分ABC 交 AC 于 E、ADBE 于 D，求证：（1）AC-BE=AE；（2）AC=2BD 【例题 18】如图，在ABC 中，ABAC，E 为 BC 边的中点，AD 为BAC 的平分线，过 E 作 AD 的平行线，交 AB 于 F，交 CA 的延长线于 G 求证：BF=CG 【变式练习】已知：ABC 中，AD 是ABC 的角平分线，M 为 BC 的中点，过点 M 作 MNAD，交 AC 于点 N,求证：AN+AB=NC.【例题 19】如图 1，在ABC 中，ACB=2B，BAC 的平分线 AO 交 BC 于点 D，点 H 为 AO 上一动点，过点

18、 H 作直线 lAO 于 H，分别交直线 AB、AC、BC 于点 N、E、M当直线 l 经过点 C 时（如图 2），证明：BN=CD；1 6 【变式练习】在例题 19 的条件下，当 M 是 BC 中点时，写出 CE 和 CD 之间的等量关系，并加以证明。考点五 手拉手模型：遇 60旋 60，造等边三角形 遇 90旋 90，造等腰直角 遇等腰旋转顶角，造旋转全等 遇中点旋 180，造中心对称 条 件：ABE和ACF均为等边三角形，如图 1 结 论：（1）ABFAEC；（2）B0E=BAE=60（“八字型”模型证明）；（3）OA 平分EOF 图 1 图 2 ABD和ACE均为等腰直角三角形，如图

19、3 结论：（1）、BE=CD （2）BECD 图 3 图 4 1 7 条 件：ABEF和ACHD均为正方形，如图 4 结 论：（1）、BDCF （2）、BD=CF 变形一：ABEF和ACHD均为正方形，ASBC交FD于T，求证：T 为FD的中点.方法一：方法二：方法三：变形二：ABEF和ACHD均为正方形，M 为FD的中点，求证：ANBC 【例题 20】在直线 ACE 的同一侧作两个等边三角形 ABC 和 DCE，连接 AD 与 BE，证明：（1）AD=BE （2）、ACB=AOB （3）、PCQ为等边三角形 （4）、PQAE （5）、AP=BQ （6）、CO平分AOE （7）、OA=OB+O

20、d （8）、OE=OC+OD .ADFABCSS 1 8 【变式练习】1在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知 C 是线段AB 所在平面内任意一点，分别以 AC、BC 为边，在 AB 同侧作等边ACE 和BCD，连接 AD、BE 交于点 P（1）如图 1，当点 C 在线段 AB 上移动时，线段 AD 与 BE 的数量关系：（2）如图 2，当点 C 在直线 AB 外，且ACB=120，上面（1）中的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由此时APE 是否随着ACB 的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请写出APE 的度数，不必说明理由（3）如图 3，在（2）的

21、条件下，以 AB 为边在 AB 另一侧作等边三角形ABF，连接 AD、BE 和CF 交于点 P求证：PA+PB+PC=BE若ABC=60，AB=6，BC=4 试求 PA+PB+PC 的值，只需直接写出结果 1 9 2（1）如图 1，点 C 是线段 AB 上一点，分别以 AC，BC 为边在 AB 的同侧作等边三角形 ACM和等边三角形 CBN，连接 AN，BM分别取 BM，AN 的中点 E，F，连接 CE，CF，EF观察并猜想CEF 的形状，并说明理由（2）若将（1）中的“以 AC，BC 为边在 AB 的同侧作等边三角形 ACM 和等边三角形 CBN”改为“以 AC，BC 为腰在 AB 的同侧作

22、等腰三角形ACM 和等腰三角形 CBN，且ACM=BCN60”，其他条件不变，如图 2 所示，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由 2 0 3探究学习：已知：C 是线段 AB 所在平面内任意一点，分别以 AC、BC 为边在 AB 同侧作等腰直角 三角形 ACD 和等腰直角三角形BCE，ACD=BCE=90，连接 AE、BD（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AE 与BD的数量关系是 ，位置关系是 （2）如图 2，当点 C 在直线 AB 外，等腰直角三角形 ECB 绕点 C 逆时针旋转至图 2 位置，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请

23、说明理由（3）如图 3，在（1）基础上等腰直角三角形BCE 绕顶点 C 逆时针旋转到图 3 位置，取等腰直角三角形 ACD 的斜边 AD 的中点 M，连接 CM 交 BE 于点 G，试探究 BG、GH、HE 的数量关系，并写出证明思路 总结：找全等三角形的方法：2 1 （1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法：延长中线构造全等三角形；利用翻折，构造

24、全等三角形；引平行线构造全等三角形；作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答