中北大学概率统计习题册第三章完整答案(详解)11254.pdf

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1、1.设随机变量X的分布列为 X-1-2 0 1 2 p 试计算：2,22XEXEXE。解：2E X 1 0.10 0.22 0.4 3 0.14 0.22 EX1 0.12 0.20 0.4 1 0.12 0.21 22E X 3 0.16 0.22 0.4 3 0.16 0.23.8 2.设随机变量X的分布列为：3,2,1,1kpqkXPk,其中p为常数，01p，1qp。求(),()E XD X。解：11()kkE Xkpq111kkkq q 111kkkkkqkq 011kkkkkqkq 01111kkqqp 2211()kkE Xk pq 11211kkkkk kpqkpq 122111

2、kkkkk kqk kqp 12111kkkkk kqk kqp 112kkkqp 1121kkqkpqpp221qpp 所以，22()D XE XEX 222211qqpppp 3.设 随 机 变 量X的 概 率 密 度 函 数 为1()exp2xf x，其中0为常数，求()E X。解：1ed2xEXxx 11eded2211eded22xxttxxxttx注：关于绝对收敛性 01ed211eded2211eded22xxxttxxxxxtxtx 或 1ed2xxx|1e d()2txttt 当0时|e de dtttttt 00e de dtttttt ee 2 e2 当0时 0|e de

3、 dtttttt 0e de dtttttt ee 2 e2 综上所述，我们有|1|ed|2xEXxxe 4.设随机变量X表示圆的半径，X的概率密度函数为：其它01)(bxaabxf，求圆的周长L和面积S的数学期望。解：2E LEX 2dbaxxabba 2E SEX 222d3baxxababba 5设连续型随机变量X的概率密度为：1101010 xxf xxx 其它 试求X数学期望和方差。解：dEXxfxx 01101d1dxxxxxx 110;66 20122100d1d1d11112126DXxf xxxxxxxx 6.设连续型随机变量X的概率密度函数为：其它0bxakxf，且1()0

4、,()3E XD X，试求bak,。解：由于 f x是X的概率密度，所以有 dd1bafxxk xk ba 即 1kba 又()d02baxabE Xxba 得 0ab 所以 221()d233bbxbD Xxb 所以 1b，从而11,2ak 7.设随机变量X的概率密度函数为 其它02131)(xxf，且随机变量010001XXXY，求)(YD。解：10P YP X 00111dd33f xxx 10P YP X 20012dd33f xxx 100P YP X 所以Y的分布律为 Y-1 0 1 23 0 13 21110 0 1333E Y 222221100 1133E Y 2221813

5、9D YE YEY 8.一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)的概率密度为 000414xxexfx 工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备赢利 100 元，调换一台设备厂方需花费 300元。试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。解：设Y表示出售一台设备的净赢利为Y元，则 2001P YP X 11441ed1 e4xx 1001P YP X 1411eP X 11442001 e100 eE Y 14300 e20033.64 9.设二维随机变量(,)X Y的联合分布律为 试求)(),(),(),(33YXEXYEYXEXE。解:11116412EX 1111

6、0212466 3311512ijijijEXYxyp 3311512ijijijEXYx y p 3333331113()12ijijijEXYxyp 10.设随机变量X与Y的联合分布律为 试证明：X与Y不相关，且不相互独立。并试着写出YX,之间的关系来说明 YX,的不相关性。解：由X与Y的联合分布律得 X Y-2-1 1 2 jp 1 0 0 4 0 0 ip 其中,iijjpP XxpP Yy 410,iiiEXx p1 0.54 0.52.5EY ，42110ijijijEXYp x y，从而 (,)0Cov X YE XYE X E Y；所以，X与Y不相关；111100ppp，所以X

7、与Y不相互独立 由于显然2X的分布律与Y完全相同，所以有2YX，这表明X与Y之间没有线性关系，即它们不相关。11.设随机变量(,)X Y的联合概率密度函数为 其它02010241y,xyxy,xf 求：)(),(),(),(XYEYXEXDXE。解：,d dE Xxfx yy x 12002d d4xyxy x 120d2xxx712 22,d dE Xx fx yy x 122002d d4xyxy x 2130d2xxx512 2211144D XE XEX ,d dE XYxy fx yy x 12002d d4xyxyy x 120237d324xxx,d dE XYxyfx yy x

8、 12002d d4xyxyy x 12022d33xxx 12.设随机变量(,)X Y的联合概率密度为 其它0108),(yxxyyxf 试求(,),()Cov X YD XY。解：,d dE Xxfx yy x 11208d dxx y y x 124084d15xxx 22,d dE Xx fx yy x 11308d dxx y y x 135014d3xxx 2211225D XE XEX ,d dE Yyfx yy x 11208d dxxyy x 14084d35xxx 22,d dE Yy fx yy x 11308d dxxyy x 15022d3xxx 22275D YE

9、YEY,d dE XYxyfx yy x 112208d dxx yy x 125084d39xxx cov,X YE XYE X E Y 48449155225 ()2cov,D XYD XD YX Y 112812257522525 13.设某商品每周的需求量X服从分布30,10U，而经销商店进货量为区间10 30,中的某一整数，商店每销售一件商品可获利500 元。若供大于求则削价处理，每处理一件商品亏损 100 元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每件商品仅获利 300 元。为使商店所获利润期望值不少于 9280 元，试确定最少进货量。解：设进货1030yy件，则商店获利为 5001

10、001050030030XyXXyg XyXyyX 6001001030020030XyXyXyyX 由于10,30XU，其概率密度函数为 11030200 xf x其它 所以商店所获利润期望值为 dE g Xg x fxx 101600100d20yxyx 301300400d20yxyx 21535052502yy 9280 解此不等式得 2225y 最少进货量为 22 件。解法 2 由于实际中商品件数是整数。本题也可处理成离散型均匀分布，即需求X的分布律为1,10,11,3021P Xkk，则 10160010021ykEg Xxy 301130020021kyxy 250235037500777yy 9280 解此不等式同样得到 2225y 最少进货量为 22 件。