高中物理必修2同步学案：第6章万有引力与航天第2~3节万有引力定律17375.pdf

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1、 1 第 2 节 太阳与行星间的引力 第 3 节 万有引力定律【学习目标】：知识与技能 1理解太阳与行星间引力的存在 2能根据开普勒行星运动定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星间的引力表达式 过程与方法 1通过推导太阳与行星间的引力公式，体会逻辑推理在物理学中的重要性 2体会推导过程中的数量关系 情感、态度与价值观 感受太阳与行星间的引力关系，从而体会大自然的奥秘【预习要点】：要点一 万有引力定律的推导 1理论依据：应用开普勒第一、第三定律和牛顿运动定律 2简化模型：把行星轨道按照圆处理 3推导思路：向心力是由太阳对行星的引力提供设行星的质量为 m，速度为 v.行星到太阳的距离为 r，如图 6(

2、2、3)2 所示：图 6(2、3)2 则 Fmv2/r 观测到行星公转的周期 T 又 v2rT 由式得 F42mrT2 由开普勒第三定律r3T2k 可知 T2r3k 由式，消 T 得 F42kmr2 即 Fmr2 2 根据牛顿第三定律得：行星对太阳的引力 F与 F 是相同性质的力，也应具有相类似的表达式，也应与太阳的质量 M 成正比，与行星到太阳的距离的二次方成反比，即 FMr2 由式和式得 FMmr2 写成等式为 FGMmr2 式中 G 为比例系数，与太阳、行星都没有关系 结论：太阳与行星间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比，太阳与行星间引力的方向沿着二者的连

3、线 经过类似的分析过程，即可得出公式 FGMmr2同样适用于行星与卫星间的引力 要点二 关于万有引力定律的理解 1公式的成立条件(1)万有引力公式适用于质点间引力大小的计算(2)对于可视为质点的物体间的引力求解，也可以利用万有引力公式，如两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质点；均匀球体可视为质量集中于球心的质点，r 为球心间的距离(3)当物体不能看成质点时，可以假想把物体分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一个物体上所有质点的万有引力，然后求合力 2万有引力定律具有以下四个特性 四性 内容 普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都

4、存在着这种相互吸引的力 相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律 宏观性 在地面上的一般物体之间，由于质量比较小，物体间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间，或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用 特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关 要点三 万有引力与重力的关系 图 6(2、3)3 1 在地球表面上的物体所受的万有引力 F 可以分解成物体所受到的重力 G 和随地球自转而做圆周运动的向心力 F，如图 6(2、3)3 所示其中 FGMmR

5、2.而 Fmr2.从图中可以看出：当物体在赤道上时，F、G、F三力同向，且 rR，此时 F达到最大值 FmaxmR2，重力达到最小值 GminFFGMmR2mR2.当物体由赤道向两极移动时，向心 3 力减小，重力增大，只有物体在两极时物体所受的万有引力才等于重力，且达到最大值，此最大值为 GmaxGMmR2.总之不能说重力就是地球对物体的万有引力当然，如果忽略地球的自转，则万有引力和重力的关系为 mgGMmR2，g 为地球表面的重力加速度 2在高空中的物体所受到的万有引力等于它在高空中的重力，也等于提供物体绕地球做匀速圆周运动的向心力由于高度 h 的变化，重力 mgGMmRh2也将变化 3在天

6、体问题的处理过程中，经常利用地面处的重力数值确定其他位置或其他天体的有关物理量，因此，关系式 mgGMmR2尤为重要，由此可确定地球的其他位置或其他天体上物体的重力或重力加速度与地面上的关系该关系式称为“黄金代换”要点四 万有引力定律与天体的运动 天体的运动一般看作匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供即 F引GMmr2mgma向，而 a向v2r2rv42T2r42f2r，因此应用万有引力定律解决天体的有关问题，主要有以下几个度量关系：F引GMmr2mgma向mv2rm2rmvm42T2rm42f2r.【答疑解惑】：1.如何验证太阳与行星之间引力的规律是否适用于行星与它的卫星？要验证太阳与行星之

7、间引力的规律是否适用于行星与它的卫星，就必须首先观测证明卫星围绕行星运转是否遵循r3T2k.要学会逆向思维寻找思路，类比推理获取结果我们知道，在推测和分析太阳与行星之间引力规律的过程中，应用了开普勒行星运动定律和牛顿运动定律，而开普勒行星运动定律是开普勒根据研究天文学家第谷的行星观测记录发现的因此，要验证太阳与行星之间引力的规律是否适用于行星与它的卫星，必须验证开普勒行星运动定律是否适用于围绕行星运转的卫星 这就需要观测卫星的运动，测出这些卫星围绕行星运转的轨道半径 r 和公转周期 T，看看是否符合r3T2k，并假设卫星围绕行星的运动是匀速圆周运动(限于我们目前的数学基础，作这样的简化假设是必

8、要的)经过类似的分析过程，即可得出公式 FGMmr2同样适用于行星与卫星间的引力 2不同星球表面的重力加速度大小一样吗？在同一星球重力加速度随高度如何变化？不一样在某星球表面，由 GMmR2mg，得星球表面的重力加速度 gGMR2，由此知 g取决于该星球的质量 M 和半径 R.在同一星球 GMmRh2mg，得 gGMRh2.由此知随着高度 h 的增大，g 减小.【典例剖析】：4 一、万有引力定律的理解 例 1 对于万有引力的表达式 FGm1 m2r2，下列说法正确的是()A公式中的 G 为万有引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的 B当 r 趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 Cm1和 m

9、2受到的引力总是大小相等，而与 m1、m2是否相等无关 Dm1与 m2受到的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力 解析 万有引力常量G是卡文迪许通过实验得出的,故A项正确.公式成立条件是质点间的相互作用,当 r0 时,条件不成立,故 B 错误.m1、m2间的万有引力符合牛顿第三定律,是同种性质的力,故 C 项正确，D 项错误.答案 AC 方法总结 万有引力定律适用范围是质点间的相互作用，r 是质点间的距离，遵从牛顿第三定律.二、重力加速度问题 例 2 设地球表面重力加速度为 g0，物体在距离地心 4R(R 是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为 g，则 g/g0为()A1 B1/

10、9 C1/4 D1/16 解析 本题考查万有引力定律的简单应用，地球表面处的重力加速度和在离地心高 4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有 地面上 GMmR2mg0 离地心 4R 处 GMm4R2mg 由两式得gg0R4R2116 答案 D 方法总结 通常情况下，我们所研究的物体都在地面上或离地面的高度远小于地球的半径，不管这些物体是处于何种运动状态，我们都可以认为万有引力与重力相等 但有两种情况必须加以区别：一是从细微之处分析重力与万有引力大小的关系，二是物体离地面高度与地球半径相比不能忽略的情况.三、万有引力定律的综合应用 例 3 一物体在地球表面重 16 N，它在以 5 m/

11、s2的加速度加速上升的火箭中的视重为 9 N，则此火箭离地球表面的距离为地球半径的()A2 倍 B3 倍 C4 倍 D一半 解析 设此时火箭离地球表面高度为 h 由牛顿第二定律得 FNmgma 5 在地球表面 mgGMmR216 由此得 m1.6 kg，代入 得 g11.6 又因 h 处 mgGMmRh2 由，得ggR2Rh2 代入数据，得 h3R.故选 B.答案 B 方法总结 应用万有引力定律与其他知识相联系的综合问题，要明确运动过程，选择相应的规律，确定各量间的关系.【课堂练习】：1太阳对行星的引力提供了行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力，这个向心力大小()A与行星距太阳的距离成正比 B与行

12、星距太阳的距离成反比 C与行星运动的速率的平方成正比 D与行星距太阳的距离的平方成反比 答案 D 解析 由引力公式 FGMmR2知 A、B、C 错误，D 正确 2要使两物体间的引力减小到原来的14，下列方法可行的是()A两物体的距离不变，质量各减小为原来的一半 B两物体的距离变为原来的 2 倍，质量各减为原来的一半 C两物体的质量变为原来的一半，距离也减为原来的一半 D两物体的质量都变为原来的 2 倍，距离不变 答案 A 解析 由万有引力公式 FGMmr2可得 r 不变，M、m 各减小一半后，其引力 F 变为原来的14，A 项正确；r 变为原来的 2 倍，M、m 减为原来的一半，其引力将变为原

13、来的116；M、m、r 都变为原来的一半，F 将不变；r 不变，M、m 变为原来的 2 倍，则引力变为原来的 4 6 倍本题考查到对万有引力公式的理解，是与两物体质量的“乘积”成正比，与两物体距离的“二次方”成反比 3如图 6(2、3)4 所示，图 6(2、3)4 M、N 为两个完全相同的质量分布均匀的小球，AB 为 MN 连线的中垂线，有一质量为m 的小球从 MN 连线的中点 O 沿 OA 方向运动，则它受到的万有引力大小变化情况是()A一直增大 B一直减小 C先减小、后增大 D 先增大、后减小 答案 D 解析 质量为 m 的物体在 O 点时，受到的万有引力为零，沿 OA 方向到无穷远处也为

14、零，但其间不为零，因此，物体 m 受到的万有引力变化情况是先增大后减小，故 D 正确 4地球对月球具有相当大的万有引力，可它们没有靠在一起，这是因为()A不仅地球对月球有万有引力，而且月球对地球也有万有引力，这两个力大小相等，方向相反，互相抵消了 B不仅地球对月球有万有引力，而且太阳系中的其他星球对月球也有万有引力，这些力的合力为零 C地球对月球的引力还不算大 D地球对月球的万有引力不断改变月球的运动方向，使得月球围绕地球运动 答案 D 5一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有引力的

15、()A0.25 倍 B0.5 倍 C2.0 倍 D4.0 倍 答案 C 解析 F引GMmr212GM0m12r022GM0mr202F引 6已知地球的质量为 6.01024 kg，太阳的质量为 2.01030 kg，地球绕太阳公转的轨道半径为 1.51011m(取 G6.671011 Nm2/kg2)求：(1)太阳对地球的引力大小(2)地球绕太阳运转的向心加速度 答案(1)3.61022N(2)6103m/s2 7某人造地球卫星质量为 m，绕地球运动的轨迹为椭圆已知它在近地点距地面高度为 h1，速度为 v1，加速度为 a1；在远地点距地面高度为 h2，速度为 v2.已知地球半径为 R，求该卫星

16、在远地点的加速度 a2.7 答案 Rh12Rh22a1 解析 设地球的质量为 M，则由牛顿第二定律得 近地点GMmRh12ma1 远地点GMmRh22ma2 解得 a2Rh12a1Rh22【课内探究】：题型 万有引力定律公式的计算 有一质量为 M、图 1 半径为 R、密度均匀的球体，在距离球心 O 为 2R 的地方有一质量为 m 的质点，现在从 M 中挖去一半径为R2的球体，如图 1 所示，求剩下部分对 m 的万有引力 F 为多大？答案 7GMm36R2 解析 仔细观察球体挖去部分及完整球体的形状特点，可知，完整部分与质点 m 以及挖去部分与质点 m 间万有引力均可用公式计算，由此联想到利用等

17、割补的方式先将剩余部分还原为完整体，计算出万有引力，然后计算出割去部分与质点 m 间的万有引力，两者之差即为所求 设想将被挖部分重新补回，则完整球体对质点 m 的引力为 F1，可以看作是剩余部分对质点的引力 F 与被挖小球对质点的引力 F2的合力，即 F1FF2.设被挖小球的质量为 M，其球心到质点间的距离为 r.由题意，知 MM8，r32R 由万有引力定律，得 F1GMm2R2GMm4R2 8 F2GMmr2GM8m32R2GMm18R2 所以剩下部分对 m 的万有引力为 FF1F27GMm36R2.方法总结 对于此类问题，利用万有引力定律直接求解是不对的，当质点与质量分布均匀的球体间距离较

18、小时，球体虽然不能被看作质点，但仍可用 FGm1 m2r2计算求解，此时的 r 应等于质点与球心间的距离此题目中球体被挖，质量分布不均匀，要先“填补”变为质量分布均匀的球体再求解.题型 星球表面的重力加速度 1990 年 5 月，紫金山天文台将他们发现的第 2 752 号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为 16 km.若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同已知地球半径 R6 400 km，地球表面重力加速度为 g.这个小行星表面的重力加速度为()A400g B.1400g C20g D.120g 答案 B 解析 质量分布均匀的球体的密度 3M/4R3 地球表面的重

19、力加速度 gGM/R24GR3 吴健雄星表面的重力加速度 gGM/r24Gr3 g/gR/r400，g1400g，故选项 B 正确 拓展探究 (1)在距小行星表面 20m 处，让质量为 m60 kg 的物体自由下落，求物体下落到该行星表面所用的时间(2)物体在小行星上的质量和“重力”与地球上的是否相同？(已知地球表面重力加速度 g地10 m/s2)答案(1)40 s(2)质量相同，但重力不同 解析(1)由 h12gt2，得 t 2hg22014001040 s(2)物体在小行星上的质量与地球上相同，但重力不同 题型 万有引力定律的综合问题 如图 2 所示，9 图 2 火箭内平台上放有测试仪器，

20、火箭从地面起动后，以加速度g2竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为起动前压力的1718.已知地球半径为 R，求火箭此时离地面的高度(g 为地面附近的重力加速度)答案 R2 解析 火箭上升过程中，物体受竖直向下的重力和向上的支持力，设高度为 h 时，重力加速度为 g 由牛顿第二定律得1718mgmgmg2g49g 由万有引力定律知 GMmR2mg GMmRh2mg解得 hR2 拓展探究 月球表面重力加速度只有地球表面重力加速度的 1/6，一根绳子在地球表面能拉着 3 kg 的重物产生最大为 10 m/s2的竖直向上的加速度，g地10 m/s2，将重物和绳子均带到月球表面，用

21、该绳子能使重物产生竖直向上的最大加速度为()A60 m/s2 B20 m/s2 C18.3 m/s2 D10 m/s2 答案 C 解析 根据牛顿第二定律得，Fmg地ma1，Fmg月ma2，解得 a218.3 m/s2，C正确 归纳总结 在利用万有引力定律与其他知识相联系的结合性问题中，注意分清过程，分别利用相关规律列方程，确定不同方程间相关联的物理量，解方程求得结果.【课后练习】：1.关于太阳与行星间的引力，下列说法中正确的是()A由于地球比木星离太阳近，所以太阳对地球的引力一定比对木星的引力大 B行星绕太阳沿椭圆轨道运动时，在近日点所受引力大，在远日点所受引力小 C由 FGMmr2可知，GF

22、r2Mm，由此可见 G 与 F 和 r2的乘积成正比，与 M 和 m 的乘 10 积成反比 D行星绕太阳的椭圆轨道可近似看做圆形轨道，其向心力来源于太阳对行星的引力 答案 BD 解析 根据 FGMmr2，太阳对行星的引力大小，与 m、r 有关，对同一行星，r 越大，F越小，B 正确对不同行星，r 越小，F 不一定越大，还要由行星质量决定，A 错误公式中 G 为比例系数，是一常量，与 F、r、M、m 均无关，C 错误通常的研究中，行星绕太阳的椭圆轨道近似看做圆形，向心力由太阳对行星的引力提供，D 正确 2两个行星的质量分别为 m1和 m2，绕太阳运行的轨道半径分别是 r1和 r2，若它们只受太阳

23、引力的作用，那么这两个行星的向心加速度之比为()A1 B.m1r1m2r2 C.m1r2m2r1 D.r22r21 答案 D 解析 设行星 m1、m2的向心力分别是 F1、F2，由太阳与行星之间的作用规律可得F1m1r21，F2m2r22，而 a1F1m1，a2F2m2，故a1a2r22r21，D 项正确 3下列说法正确的是()A在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式 Fmv2r，这个关系式实际上是牛顿第二定律，是可以在实验室中得到验证的 B在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式 v2rT，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由线速度的定义式得来的 C在探究太阳对行星的引

24、力规律时，我们引用了公式r3T2k，这个关系式是开普勒第三定律，是可以在实验室中得到验证的 D在探究太阳对行星的引力规律时，使用的三个公式，都是可以在实验室中得到验证的 答案 AB 4如图 3 所示 图 3 两球间的距离为 r，两球的质量分布均匀，大小分别为 m1、m2，半径分别为 r1、r2，则两球的万有引力大小为()AGm1m2r2 11 BGm1m2r21 CGm1m2r1r22 DGm1m2r1r2r2 答案 D 解析 两个均匀球体间的万有引力，r 是两球心间的距离 5苹果自由落向地面时加速度的大小为 g，在离地面高度等于地球半径处做匀速圆周运动的人造卫星的向心加速度为()Ag B.1

25、2g C.14g D无法确定 答案 C 解析 地面处：mgGMmR2，所以 gGMR2 高 R 处：mgGMm2R2，所以 gGM4R2 所以gg14，即 g14g 6据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的 6.4 倍，一个在地球表面重量为 600 N 的人在这个行星表面的重量将变为 960 N由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为()A0.5 B2 C3.2 D4 答案 B 7月地检验的结果说明()A地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种性质的力 B地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力不是同一种类型的力 C地面物体所受地球的引力只与物体的质量

26、有关，即 Gmg D月球所受地球的引力除与月球质量有关外，还与地球质量有关 答案 A 解析 通过完全独立的途径得出相同的结果，证明了地球表面上的物体所受地球的引力和星球之间的引力是同一种性质的力 8地球与物体间的万有引力可以认为在数值上等于物体的重力，那么在 6 400 km 的高空，物体的重力与它在地面上的重力之比为(R地6 400 km)()A21 B12 C14 D11 答案 C 解析 物体在高空中距地心距离为物体在地球表面与地心距离 R0的二倍，则高空中物体的重力 FGm1m22R02Gm1m24R20，而地面上的物体重力 F0Gm1m2R20，由此知 C 正确 12 9对于万有引力公

27、式 FGm1m2r2，下列说法中正确的是()A当两个物体之间的距离趋近于零时，F 趋于无穷大 B只要两个物体是球体，就可用上式求解万有引力 C只有两个物体看成质点时，才可用上式求两个物体间的万有引力 D任何两个物体都存在万有引力 答案 CD 10已知月球质量是地球质量的 1/81，月球半径是地球半径的 1/3.8.求：(1)在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直向上抛一个物体时，上升的最大高度之比是多少？(2)在距月球和地球表面相同高度处(此高度较小)，以同样的初速度分别水平抛出一个物体时，物体的水平射程之比为多少？答案(1)5.6(2)2.37 解析(1)在月球和地球表面附近竖直上抛的

28、物体都做匀减速直线运动，其上升的最大高度分别为：h月v202g月，h地v202g地，式中 g月和 g地是月球表面和地球表面附近的重力加速度，根据万有引力定律得 g月GM月R2月，g地GM地R2地.于是得出上升的最大高度之比为 h月h地g地g月M地R2月M月R2地8113.825.6(2)设抛出点的高度为 H，初速度为 v0，在月球和地球表面附近做平抛运动的物体在竖直方向做自由落体运动，从抛出到落地所用时间分别为 t月 2Hg月，t地 2Hg地.在水平方向做匀速直线运动，其水平射程之比为 x月x地v0t月v0t地t月t地 g地g月R月R地 M地M月93.82.37.11 你受太阳的引力是多大？和你受地球的引力比较一下，可得出什么样的结论？太阳的质量是 1.991030 kg，地球到太阳的距离为 1.51011m，设你的质量是 60 kg.答案 见解析 解析 地球半径为 6.4106 m，与地球到太阳的距离 1.51011 m 相比相差近 10 万倍，13 因此人距太阳的距离可以认为也是 1.51011m.故人受太阳的引力 FGmmr26.671011601.9910301.510112N0.35N 人受地球的引力 Fmg609.8 N588 N FF5880.351 680 即地球对人的引力要比太阳对人的引力大一千六百多倍，所以平时计算时可以不考虑人受太阳的万有引力