甘肃省兰州市城关区第一中学2020届高三上学期期中考试数学(文)试题Word版含解析5204.pdf

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1、兰州一中 201920201 学期期中考试高三数学（文科）第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2|230Ax xx，|21xBy y，则AB（）A.B.1,3 C.0,3 D.1,【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集和指数函数的值域求得.【详解】由已知解得1,3,1,AB，所以1,3AB，故选 B.【点睛】本题考查一元二次不等式的解集、指数函数的值域和集合的交集运算，属于基础题.2.若复数z满足1 i13iz，则复数z的共轭复数的模为 A.1 B.2 C.2 D

2、.2 2【答案】B【解析】【分析】首先求出复数z，即可得到复数z的共轭复数，利用复数模的计算公式，求得答案。【详解】由于213i=1+(3)2，则22(1)11(1)(1)iziiii，所以复数z共轭复数1zi，则22112z，故答案选 B【点睛】本题考查复数四则运算，共轭复数的概念以及复数模的计算公式，属于基础题。3.若x，y满足20,220,2,xyxyy则3xy的最小值为（）A.2 B.10 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】先作可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图象确定最优解.【详解】作可行域，如图阴影部分，则直线3xyz过点(2,2)A 时z取最小值 4，选 C.【点睛】

3、本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.4.甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B【解析】【分析】分别假设甲阅读，乙阅读，丙阅读，丁阅读，结合题中条件，即可判断出结果.【详解】若甲阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙、丁说的都不对，不满足题意；若乙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙说的都不对，丙、丁都正确；满足题意；若丙阅读了语

4、文老师推荐的文章，则甲、乙、丙说的都对，丁说的不对，不满足题意；若丁阅读了语文老师推荐的文章，则甲说的对，乙、丙、丁说的都不对，不满足题意；故选 B【点睛】本题主要考查逻辑推理的问题，推理案例是常考内容，属于基础题型.5.若tan()34，则2sin2cos（）A.35 B.25 C.-1 D.3【答案】A【解析】【分析】由tan34，可求出tan的值，所求式子可以写成分母为 1 的形式，用 22sincos1进行代换，分子、分母同时除以2cos，然后把tan的值代入求值即可.【详解】tantan4tan33tan241tantan4 ,22222222sin2cos2sincoscos2ta

5、n1sin2cossincossincos1tan,把tan2代入，求得23sin2cos5，故本题选 A.【点睛】本题考查了两角和的正切公式、正弦的二倍角公式,解决本题的关键是 22sincos1的代换，变成双齐次方程，这样便于求出值来.6.在如图所示的程序框图中，若输入的2s，输出的2018s，则判断框内可以填入的条件是（）A.9i B.10i C.10i D.11i 【答案】D【解析】输入2S，1i，242S 2i，382S 当10i，1122048S 当10 1 11i ，当11i 时，满足条件 退出循环，2048S 故选D 7.为了得到函数sinyx的图像，只需将函数sin 26yx

6、的图像（）A.横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移6个单位 B.横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移6个单位 C.横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向右平移6个单位 D.横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移6个单位【答案】A【解析】【分析】由条件利用sinyAx 的图像变换规律，得到结论。【详解】把函数sin 26yx的图像上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变得到函数sin6yx，再将函数sin6yx的图像上所有点向右平移6个单位得到函数sinyx。故选 A【点睛】解决本题的关键在于sinyAx 的图像变换规律的掌握，要灵活运用，一般分为两种：（1）先

7、相位变换再周期变换；（2）先周期变换再相位变换。8.已知三棱锥PABC的四个顶点均在球O的球面上，2PAPBPC，且PA，PB，PC两两互相垂直，则球O的体积为（）A.16 3 B.8 3 C.4 3 D.2 3【答案】C【解析】【分析】三棱锥PABC的外接球，正好是以PA，PB，PC这三条棱构成的正方体的外接球，直径2222222 3，即可求出球的体积。【详解】22222222 3R，3R，3344(3)3334VR，故选：C。【点睛】本题通过PA，PB，PC两两互相垂直，可以构造以PA，PB，PC为相邻的 3条棱的正方体，构造一个正方体，该正方体的外接球和三棱锥的外接球一样，就方便求球的半

8、径了。9.九章算术中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为 5 步和 12 步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是()A.215 B.320 C.2115 D.3120【答案】C【解析】【分析】本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案.【详解】如图所示，直角三角形的斜边长为2251213，设内切圆的半径为r，则51213rr ，解得2r=.所以内切圆的面积为24r，所以豆子落在内切圆外

9、部的概率42P111155 122 ，故选 C。【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误。10.已知等差数列na的前n项和为nT，34a，627T，数列 nb满足1123nbbbbnb，11b，设nnncab，则数列 nc的前 11 项和为

10、（）A.1062 B.2124 C.1101 D.1100【答案】C【解析】【分析】根据题意，列出方程组，解得12,1ad，求得1177T，再由1123nbbbbnb，得到数列 nb从第二项起表示21b，公比为2的等比数列，求得前 11 项的和，进而求得数列 nc的前 11 项和，得到答案.【详解】由题意，设等差数列na的首项为1a，公差为d，因为34a，627T，则11246 56272adad，解得12,1ad，所以数列na的前 11 项的和为11111 10112255772Tad，又由数列 nb满足1123nbbbbnb，则123nbbbb1(2)nnb，两式相减可得1nnnbbb，即

11、12nnbb，即12(2)nnbnb，又因为11b，令1n，可得211bb，所以数列 nb从第二项起表示21b，公比为2的等比数列，所以数列 nb前 11 项的和为10101111(1)1(1 2)1102411 2qSbq，因为nnncab，所以数列 nc的前 11 项和为11117710241101TS.故选：C【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式的基本量计算，以及等差、等比数列的前 n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前 n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题 11.椭圆22221(0)xyabab的左右焦点分别是

12、1F、2F，以2F为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线1PF恰好与圆2F相切于点P，则椭圆的离心率为()A.31 B.312 C.22 D.512【答案】A【解析】【分析】根据12PFPF及椭圆的定义可得12PFac，利用勾股定理可构造出关于,a c的齐次方程，得到关于e的方程，解方程求得结果.【详解】由题意得：12PFPF，且2PFc，又122PFPFa 12PFac 由勾股定理得：222224220acccee，解得：31e 本题正确选项：A【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，关键是能够结合椭圆定义和勾股定理建立起关于,a c的齐次方程.12.已知函数31()21xxf xxxe

13、e，其中e是自然对数的底数若2(1)22f afa，则实数a的取值范围是（）A.31,2 B.3,12 C.11,2 D.1,12【答案】C【解析】【分析】令31()()12xxg xf xxxee，xR判断其奇偶性单调性即可得出【详解】令31()()12xxg xf xxxee，xR 则()()gxg x，()g x在R上为奇函数 21()320220 xxg xxee，函数()g x在R上单调递增 2(1)(2)2f afa，化为：2(1)1(2)1 0f afa ，即2(1)(2)0g aga，化为：2(2)(1)(1)gag aga，221aa，即221 0aa，解得112a 剟 实数

14、a的取值范围是1 1,2 故选：C【点睛】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性奇偶性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知1,2a，4,bk，若 2/3abab，则k _【答案】8【解析】【分析】由向量平行的坐标运算即可得出。【详解】2(9 22)abk，3(1,6)abk 2/3abab 9(6)(22)0kk，解得8k【点睛】若11(,)ax y，22(,)bx y平行或者共线，则12210 x yx y。14.一个车间为了规定工作原理，需要确定加工

15、零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验，收集数据如下：零件数 x（个）10 20 30 40 50 加工时间 y（分钟）64 69 75 82 90 由表中数据，求得线性回归方程0.65 yxa，根据回归方程，预测加工 70 个零件所花费的时间为_分钟【答案】102【解析】【分析】先利用回归直线过样本点中心，求出回归直线方程，进而可求出结果.【详解】由题意可得1020304050305x，6469758290765y,由回归直线过样本中心点，所以有760.6503a，故56.5a，所以0.655 56.yx；当70 x 时，0.657056.5102y，故答案为 102.【点睛】本题主要考查

16、回归分析的初步应用，属于基础题型.15.若等比数列*()nanN满足1330aa，2410aa，则12.naaa的最大值为_【答案】729【解析】【分析】求出基本量1a，q后可得数列的通项，判断1na、01na何时成立可得n取何值时有12.naaa的最大.【详解】设公比为q，因为1330aa，2410aa，所以241313aaqaa，所以111309a，解得127a，所以1412733nnna，当14n时，1na；当5n 时，01na，故12.naaa最大值为3 2 1 06123123433729aaaaaaa ，故填729.【点睛】正项等比数列 na的前n项积为nT，其公比为q（1,0qq

17、）（1）若101a，则当1q 时，nT有最小值0nT无最大值，且0011,1nnaa；当01q时，nT有最大值1T，无最小值.（2）若11a，则当01q时，nT有最大值0nT无最小值，且0011,1nnaa；当1q 时，nT有最小值1T，无最大值.16.已知点F是抛物线2:4C yx的焦点，点M为抛物线C上任意一点，过点M向圆221(1)2xy作切线，切点分别为,A B，则四边形AFBM面积的最小值为_【答案】12【解析】【分析】画出满足题意的图象，可得M与原点重合时，四边形AFBM面积最小，进而得到答案【详解】如下图所示：圆的圆心与抛物线的焦点重合，若四边形AFBM的面积最小，则MF最小，即

18、M距离准线最近，故满足条件时，M与原点重合，此时21,2MFBFBM，此时四边形AFBM面积1221222222BMFSS，故答案为：12【点睛】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质。三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22,23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17.已知函数()sin()0,0,|2f xAxA的部分图象如图所示 （1）求函数()f x的解析式；（2）设1111212x，且方程()f xm有两个不同的实数根，求实数m的取值范围【答案】（1）()

19、2sin 26f xx；（2）(2,0)(3,2).【解析】【分析】（1）根据图象可得 A，过点(0,1)可求出6，利用周期可得2（2）在同一直角坐标系内做出112sin 261212yxx和ym的图象，利用数形结合求解.【详解】（1）显然2A，又图象过(0,1)点，(0)1f，1sin2，|2，6 又最小正周期22236T，2，所求的函数解析式为()2sin 26f xx （2）如图所示，在同一坐标系中画出112sin 261212yxx和ym的图象，由图可知，当20m 或32m时，直线ym与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，m的取值范围为(2,0)(3,2)【点睛】本题主要

20、考查了正弦型函数图象与性质，根据图象求函数解析式，数形结合的思想，属于中档题.18.设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(2)0ac BC BAcCA CB.（1）求角B的大小；（2）若2 3b，试求AB CB的最小值【答案】（1）23（2）2【解析】（）因为(2)0ac BC BAcCA CB，所以(2)coscos0ac acBcabC，即(2)coscos0acBbC，则(2sinsin)cossincos0ACBBC4分 所以2sincossin()0ABCB，即1cos2B ，所以23B8分（）因为22222cos3bacac，所以22123acacac，即4

21、ac 12分 所以AB CB=21cos232acac ，即AB CB的最小值为214分 19.设数列 na的前n项和为nS，12a，*12nnaSnN（1）求数列 na的通项公式；（2）令11211nnnnbaa，求数列 nb的前n项和nT，求证：12nT 【答案】（1）2nna，*()nN（2）见解析【解析】【分析】（1）利用1nnnaSS，(2,)nnN，进行化简即可得到数列 na的通项公式，注意检验1n 是否满足。（2）由（1）可得111122121nnnb，利用裂项相消求出前n项和nT，即可证明12nT。【详解】（1）*1(2)nnaS nN，当1n 时，212aS，即24a，当2n

22、 时，12nnaS，由可得11nnnnaaSS，即12nnaa，2222nnnaa，2n 当1n 时，1122a，满足上式，2nna*()nN（2）由（1）得11121112 21212121nnnnnnb 11111111111123372121221nnnnT 12nT 【点睛】本题考查数列通项公式的求法以及利用裂项相消求数列前n项和，考查学生的计算能力，属于中档题。20.设函数 365f xxx.（1）求过0,3点的切线方程；（2）若方程 f xa有 3 个不同的实根，求a的取值范围。（3）已知当1,x时，1f xk x恒成立，求实数k的取值范围【答案】（1）33yx；（2）54 2,5

23、4 5；（3）3k 【解析】【分析】求导带入求出切线斜率 0f，再利用点斜式写出切线。求出 f x的单调区间，极值，则a在极小值与极大值之间。参变分离，求最值。【详解】(1)设切点为3,65a aa 236fxx 236kfaa切 切线过0,3 3365362aaaakaa切 323362363662aaaaaaaa 3221aa 363k 切:33lyx 切 (2)对函数 365f xxx求导，得函数 236fxx 令 0fx，即2360 x，解得2x，或2x 0fx，即2360 x，解得22x，f x的单调递增区间是,2 及2,，单调递减区间是2,2 当2x ,f x有极大值54 2；当2

24、x，f x有极小值54 2 当54 254 2a时，直线ya与 yf x的图象有 3 个不同交点，此时方程 f xa有 3 个不同实根。实数a的取值范围为54 2,54 5 (3)1,x时，1f xk x恒成立，也就是3651xxkx恒成立，令 3651xxg xx，则 225151xxxg xxxx，g x的最小值为3，3k 【点睛】本题考查曲线上某点的切线方程，两方程的交点问题以及参变分离。属于中档题。21.已知函数211()ln(1)22f xxxmxm（1）设2x 是函数()f x的极值点，求m的值，并求()f x的单调区间；（2）若对任意的(1,)x，()0f x 恒成立，求m的取值

25、范围【答案】(1)()f x在1(0,)2和(2,)上单调递增，在1(,2)2上单调递减.(2)1m【解析】【分析】（1）由题意，求得函数的导数 11fxxmx，根据2x 是函数 f x的极值点，求得32m，利用导数符号，即可求解函数的单调区间；所以 f x在10,2和2,上单调递增，在1,22上单调递减.（2）由函数的导数 11fxxmx，当1m时，得到 f x在1,上单调递增，又由 10f xf，即可证明，当1m 时，f x先减后增，不符合题意，即可得到答案。【详解】（1）由题意，函数 211ln1(0)22f xxxmxmx，则 11fxxmx，因为2x 是函数 f x的极值点，所以 1

26、22102fm，故32m，即 152fxxx，令 215252022xxfxxxx，解得102x或2x.令 225202xxfxx，解得122x,所以 f x在10,2和2,上单调递增，在1,22上单调递减.（2）由 11fxxmx，当1m时，0fx，则 f x在1,上单调递增，又 10f，所以211ln1022xxmxm恒成立；当1m 时，易知 11fxxmx在1,上单调递增，故存在01,x，使得 00fx，所以 f x在01,x上单调递减，在0,x 上单调递增，又 10f，则 00f x，这与 0f x 恒成立矛盾.综上，1m.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求

27、解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的不等关系式，求解参数的取值范围；有时也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题（二）选考题：共 10 分.选修 44：坐标系与参数方程 22.已知直线l的参数方程为133xtyt（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为24 cos2 3 sin4()求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；()设直线l与曲线C相交于,A B两点，求OA OB的值【答案】(1)22(2)(3)3xy;(2)4.【解析】分析：（

28、1）利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2）代入建立一元二次方程，利用根和系数的关系求出结果.详解：(1)直线l的参数方程为133xtyt（t为参数），直线l的普通方程为331yx，即3yx，直线l的极坐标方程：=3，又曲线C的极坐标方程为24 cos2 3 sin4，cosx，siny，2242 34xyxy，即22233xy，曲线C的直角坐标方程为22233xy.(2)将直线l：=3代入曲线C的极坐标方程：24 cos2 3 sin4得：2540，设直线l与曲线C的两交点,A B的极坐标分别为11,A，22,B，124，12124OA OB 点睛：本题考查的知识要

29、点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用.选修 45：不等式选讲 23.已知函数 21f xxxa，2g xx（1）当1a 时，求不等式 f xg x的解集；（2）设12a ，且当1,2xa，()()f xg x，求a的取值范围【答案】（1）0,2；（2）1 1,2 3【解析】【分析】（1）分3段去绝对值符号，分别求解不等式即可；（2）根据x的范围可去掉绝对值符号，分离参数后转化为求解最值问题【详解】（1）当1a 时，不等式 f xg x化为：21120 xxx 当12x 时，不等式化为1 2120 xxx，解得：102x 当112x时，不等式化为21 120 xxx ，解得：112x 当1x 时，不等式化为21120 xxx ，解得：12x 综上，原不等式的解集为0,2（2）由12ax，得221ax，21210ax 又102xaa 则 211f xxxaxa 不等式 f xg x化为：12xax 得21ax对1,2xa 都成立 21aa，解得：13a 又12a ，故a的取值范围是1 1,2 3【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，不等式中的恒成立问题，关键是能够去掉绝对值符号，将问题转化为一元一次不等式的形式，属中档题