河南省九师联盟2020届高三数学11月质量检测试题理(含解析)42627.pdf

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1、-1-河南省九师联盟 2020 届高三数学 11 月质量检测试题 理（含解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.下列集合中不同于另外三个集合的是（）A.3|1x x B.4|1x x C.1 D.1|1xx【答案】B【解析】【分析】计算每个集合中的元素再判断即可.【详解】4|1 1,1x x ,另外三个集合都是1,故选：B【点睛】本题主要考查集合中元素的求解,属于基础题型.2.下列说法正确的是（）A.若ab，则44acbc B.若ab，则2211ab C.若abc，则222abc D.若ab，cd，则acbd【答

2、案】D【解析】【分析】根据不等式的性质或者举反例逐个选项判断即可.【详解】对于 A 选项,若0c,则命题错误故 A 选项错误；对于 B 选项,取2a ,1b ,则满足ab,但2211ab,故 B 选项错误；对于 C 选项,取1a,2b ,3c,则满足abc,但222abc,故 C 选项错误；对于 D 选项,由不等式的性质可知该选项正确 故选：D【点睛】本题主要考查了不等式的性质,属于基础题型.-2-3.已知向量(,3)ax，(2,7)b ，若()abb，则实数x的值为（）A.-16 B.67 C.67 D.16【答案】A【解析】【分析】根据向量坐标的运算与垂直的数量积为 0 求解即可.【详解】

3、因为(,3)(2,7)(2,4)abxx,且()abb,所以()(2,4)(2,7)abbx 2(2)(4)70 x,解得16x 故选：A【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算与向量垂直则数量积为 0,属于基础题型.4.若函数21()xf xe，则曲线()yf x在点11,22f处的切线方程为（）A.220 xy B.220 xy C.220 xy D.220 xy【答案】B【解析】【分析】先求出12f,再求导代入12x 求得在切点出的切线斜率,再根据点斜式求解方程即可.【详解】依题意,得0112fe,21()2xfxe,则切线的斜率为122f,所以切线方程为1122yx ,即220 xy 故选

4、：B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,属于基础题型.5.下列命题中正确的是（）A.若三个平面两两相交，则它们的交线互相平行 B.若三条直线两两相交，则它们最多确定一个平面 -3-C.若不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行 D.不共线的四点可以确定一个平面【答案】C【解析】【分析】根据线面平行与垂直的判定与性质,或举出反例逐个判断即可.【详解】在 A 中,从正方体的一个顶点出发的三个平面是两两相交,但他们的交线互相垂直,故A 错误；在 B 中,从正方体的一个顶点出发的三条棱可以确定三个平面,故 B 错误；在 C 中,不同的两条直线均垂直于同一个平面,则由线面垂直的性质定理得这两

5、条直线平行,故C 正确；在 D 中,若四点连线构成两条异面直线,这时四点不能确定一个平面,故 D 错误 故选：C【点睛】本题主要考查了线面垂直与平行的性质与判定,属于基础题型.6.若关于x的不等式20 xaxb（a，b为常数）的解集为(2,1)，则不等式230bxax的解集是（）A.3,(1,)2 B.3,12 C.3(,1),2 D.31,2【答案】A【解析】【分析】根据不等式20 xaxb（a,b为常数）的解集为(2,1)可知2,1x 为方程20 xaxb的两根即可求得,a b,再求解230bxax即可.【详解】由20 xaxb解集为(2,1),可得2 11(2)12ab ,解得12ab

6、所求不等式230bxax即为2230 xx,解得32x 或1x -4-即不等式230bxax的解集是3,(1,)2 故选：A【点睛】本题主要考查了二次不等式的解集的性质,属于基础题型.7.函数()3sin(0)6f xx的相邻两条对称轴之间的距离为2，则将()f x的图象向右平移4个单位长度，所得函数图象的一个对称中心是（）A.,04 B.,04 C.,03 D.,03【答案】D【解析】【分析】由相邻两条对称轴之间的距离为2即可得()3sin(0)6f xx的周期,再求得平移后的函数表达式,再求解对称中心即可.【详 解】由 题 意 函 数()f x的 最 小 正 周 期 为,则2,解 得2,所

7、 以()3sin 26f xx 将()3sin 26f xx的图象向右平移4个单位长度所得函数3sin 246yx3sin 23x令2()3xkkZ,得()26kxkZ,所以所得函数图象的一个对称中心是,03 故选：D -5-【点睛】本题主要考查了三角函数图像的平移与基本性质,属于中等题型.8.已知实数a，b满足0b，|1ab，则120192019|aab的最小值为（）A.2018 B.2019 C.2020 D.2021【答案】D【解析】【分析】将12019|aa拆成12019|2019|aaa,再根据|1ab 构造 12019(|)2019|abab的结构,利用基本不等式从而求得最小值.【

8、详解】因为0b,|1ab,所以12019120192019|2019|2019|2019|aaaabaaba1201912019|(|)20192019|2019|20192019|abaababaab 1120192019 2019|2019220212019|baab,当且仅当0a,2019|2019|baab,即12020a ,20192020b 时等号成立 故选：D【点睛】本题主要考查了基本不等式的运用与构造,属于中等题型.9.在单调递减的等比数列 na中，已知3a，5a为一元二次方程2204081729xx的两个根，则其前n项和为（）A.31729n B.131243n C.1313

9、nn D.1313nn【答案】C【解析】【分析】-6-由3a,5a为一元二次方程2204081729xx与单调递减的等比数列 na可求得35,a a进而求得13q.再利用求和公式求前n项和即可.【详解】设等比数列 na的公比为q,由已知得352081aa,35354,729a aaa,所以329a,5281a,2532918129aqa,又数列 na单调递减,所以13q,3122929aaq,所以其前n项和为112 13311313nnn 故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的性质与求和,属于基础题型.10.函数()ln2(1)2(1)xxf xxx 的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】

10、B【解析】【分析】先求得()ln2(1)2(1)xxf xxx 求得定义域,排除 A,D,再分析当1x 时的单调性即可.详解】22(1)(1)11()lnlnlnlnln2(1)2(1)2(1)(1)1xxx xx xxxf xxxxxxxxx -7-,由10 xx得10 x 或1x,即函数()f x的定义域为(1,0)(1,),故 A,D 错误；当1x 时,1yxx为增函数,所以1()lnf xxx为增函数,所以排除 C 故选：B【点睛】本题主要考查了函数图像的判定,属于基础题型.11.在三棱锥ABCD中，BCD是边长为3的等边三角形，3BAC，二面角ABCD的大小为，且1cos3，则三棱锥

11、ABCD体积的最大值为（）A.3 64 B.64 C.32 D.36【答案】B【解析】【分析】画图分析,设ABx,ACy,在BCD中利用BAC对应的余弦定理求得,x y的关系式,再表达出三棱锥ABCD体积关于,x y的关系式利用基本不等式求解即可.【详解】设ABx,ACy,因为3BAC,所以2223BCxyxy,所以223xyxy2xyxyxy,即3xy,当且仅当3xy时等号成立 过A作AO 平面BCD,垂足为O,作AEBC垂足为E,连接OE,则AEO,所以sin()sinAOAEAE12 2193AEAE,又11sin223BC AExy,所以12AExy,所以223AOxy,所以11363

12、3344A BCDBCDVSAOAO -8-故选：B【点睛】本题主要考查了基本不等式在立体几何中的运用,需要根据题意建立未知量的关系,再根据关系选用合适的基本不等式求解.属于中等题型.12.已知定义域为R的函数2log(1),1()1,12,1xxf xxx ，若关于x的方程2()()0fxbf xc有无数个不同的实数解，但只有三个不同的实数解123,1,)x x x ，则123f xxxbc（）A.2log 5 B.2log 6 C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】对每个分段中的函数表达式讨论,即可得11x ,再根据只有三个不同的实数解123,1,)x x x ,可 分 析 得()1,2

13、f x 为2()()0fxbf xc的 根,进 而 求 得3b,2c 再求123f xxxbc即可.【详解】当1x 时函数()f x单调递增,则关于x的方程2()()0fxbf xc在(1,)内至多只有两个解,所以1x 必为其中一解,即11x 故当1x 时,2()()0fxbf xc,此时由函数()1f x,得10bc ；若关于x的方程2()()0fxbf xc有无数个不同的实数解,则当1x 时,()2f x 也一定满足2()()0fxbf xc,代入得420bc 联立,解得3b,2c 当1x 时,2()log(1)f xx,由2()()0fxbf xc即2()3()20fxf x,得22lo

14、g 2(1)3log(1)20 xx,解得2log(1)1x 或2log(1)2x,解得21x 或33x 所以1232(1 1332)(4)log 5f xxxbcff -9-故选：A【点睛】本题主要考查了分段函数的运用以及复合函数的问题,需要根据题意分析每个根满足的条件与具体值等.属于难题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.若等差数列 na和等比数列 nb满足111ab，448ab，则33ab_【答案】293【解析】【分析】根据等差等比数列的性质先求得公比公差,再求得33ab即可.【详解】由4137173733aadda,34182bqqb,34b,则3317

15、29433ab 故答案为：293【点睛】本题主要考查了等差等比数列的基本性质与运用,属于基础题型.14.若命题“0 xR，使得201kx成立”是假命题，则实数k的取值范围是_【答案】(,1【解析】【分析】由题意先找到等价命题“xR,都有21kx恒成立”,再求21x 的最小值即可.【详解】“0 xR,使得201kx成立”是假命题等价于“xR,都有21kx恒成立”是真命题因为211x ,即21x 的最小值为 1,要使“21kx恒成立”,只需2min1kx,即1k 故答案为：(,1【点睛】本题主要考查了特称命题的否定与恒成立问题,属于简单题型.-10-15.若x，y满足约束条件2201220 xyy

16、xy，则目标函数3zxy的最小值为_【答案】-7【解析】【分析】画出可行域,再判断3zxy取最小值时的点即可.【详解】画出约束条件2201220 xyyxy,表示的平面区域（阴影部分）如图所示：平移直线30 xy,由图形知,当目标函数3zxy过点M时取得最小值,由2201xyy,解得(4,1)M 代入得min(4)3(1)7z 所以3zxy的最小值为7 故答案为：-7【点睛】本题主要考查了线性规划的不等式问题,属于基础题型.16.在直三棱柱111ABCABC内有一个与其各面都相切的球O1，同时在三棱柱111ABCABC外有一个外接球2Q.若ABBC,3AB，4BC,则球2Q的表面积为_.【答案

17、】29【解析】【分析】先求出球O1的半径，再求出球2Q的半径，即得球2Q的表面积.【详解】由题得 AC=5,设球O1的半径为r，由题得11345)3 4,122rrrr （.所以棱柱的侧棱为 22r.-11-由题得棱柱外接球的直径为222+5=29，所以外接球的半径为1292，所以球2Q的表面积为21429)292（.故答案：29【点睛】本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知在ABC中.,A B C所对的边分别为,a b c,若2228abc，ABC的面积为2

18、 3.(1)求角C的大小;(2)若2 3c,求 sin Asin B的值.【答案】（1）3；（2）32【解析】【分析】(1)由三角形的面积为2 3得到12 32absinC，由余弦定理以及2228abc得到28abcos C，进而可求出tanC，得到角C；(2)由(1)的结果，先求出ab，根据2 3c，即可求出ab，再由正弦定理可得sinsinsinsinaCbCABcc，即可求出结果.【详解】（1）由ABC的面积为2 3可得 12 32absinC，由2228abc及余弦定理可得28abcos C，故tan3,3CC;(2),2cos8,83CabCab 又2228,2 3abcc，可得6a

19、b 由正弦定理，sinsinsinabcABC,得sinsinsin3sinsin2aCbCCABabccc【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型.-12-18.城市中大量公园的兴建意味着建筑让位，还地于民，城市公共空间被越来越充分地打开 这种打开不只是物理意义上的空间开放，而是使城市公园不仅供民众用来休憩、娱乐、锻炼，还用于相互交往、传播文化、锤炼公民意识，让城市与人建立更好的连接，推动城市回归人本某城市计划在靠近环城公路Ax，Ay的P处建一所职业技校，且配套修建一条道路BC，并把三条路围成的三角形区域开辟为休闲公园（如图）经测量P到Ax，Ay的距离PE，PF

20、分别为 4 km，3 km，若,2BAC，3sin4，kmABx，kmACy （1）试建立x，y间的等量关系；（2）为尽量减少土地占用，试问如何确定B点的位置，才能使得该公园的面积最小？并求最小面积【答案】（1）3434xyxy；（2）当8kmAB 时，最小面积为232km【解析】【分析】(1)根据ABCABPAPCSSS建立等量关系即可.(2)由(1)有3434xyxy,表达出公园的面积38ABCSxy,再利用基本不等式求解即可.【详解】（1）因为到AxAy的距离分别为 4,3所以4PE,3PF 因为11143(43)222ABCABPAPCSSSxyxy,又1324ABCSxy,所以343

21、4xyxy（2）因为432 12xyxy,所以32 124xyxy,解得2563xy 当且仅当43xy时,取“”,即8x,323y 所以38ABCSxy有最小值 32 所以当8kmAB 时,该公园的面积最小,最小面积为232km【点睛】本题主要考查了基本不等式的实际运用,需要根据题目条件列出对应的表达式,再根据变量间的关系选用合适的基本不等式即可.属于中等题型.-13-19.已知函数()4(sincos)cos2(0)f xxxx图象的一个对称中心为,08，设函数()f x的最小正周期为T（1）求T的最大值；（2）当T取最大值时，若1482f，04，求sin4的值【答案】（1）；（2）174【

22、解析】【分析】(1)利用降幂公式与辅助角公式求得()2 2sin 24f xx,再根据一个对称中心为,08求得41()kkZ,再求T的最大值即可.(2)由(1)有()2 2sin 24f xx,利用1482f求得7sin24,再求得cos2,利用降幂公式求解sin,cos与sin4即可.【详解】（1）由题意得()4(sincos)cos2f xxxx24sincos4cos2xxx 2sin22cos2xx2 2sin 24x 因为函数()f x的一个对称中心为,08,所以2()84kkZ,得41()kkZ 又0,所以最小值为 1所以T的最大值为22（2）由（1）知,()2 2sin 24f

23、xx,-14-若1482f,则142 2sin 22 2sin2842,即7sin24因为04a,所以022所以23cos21sin 24 所以1cos221cos214sin,cos2424 所以2214217sinsincoscossin44442424【点睛】本题主要考查了三角恒等变换中的公式,包括降幂公式、辅助角公式等.需要根据题目中角度的关系选用合适的公式,属于中等题型.20.已知数列 na的前n项和nS满足126nnaS，且16a.()求数列 na的通项公式；()设数列1na的前n项和为nT，证明：23123111133333nnTTTT.【答案】()16 32 3nnna；()【

24、解析】试题分析：（）根据1nnnaSS得出 na是等比数列，从而可得 na的通项；（）求出nT，利用裂项法计算2312311113333nnTTTT得出结论.试题解析：()由已知得当2n时，1122nnnnnaaSSa，所以13nnaa，又2112626183naSaa.所以 na是以16a 为首项，3为公比的等比数列，所以16 32 3nnna.()由()得112 3nna，所以1na是等比数列，1111163114313nnnT.所以 1111114314 31146331313131 3131 31nnnnnnnnnnnT.-15-所以2312311113333nnTTTT 122311

25、111116313131313131nn 11163231n.得证 点睛：本题主要考查了等比数列的证明，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于nnncab，其中 na和 nb分别为特殊数列，裂项相消法类似于11nan n，错位相减法类似于nnncab，其中 na为等差数列，nb为等比数列等.21.如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是直角梯形，ADBC，ABBC，SAB是等边三角形SAB 底面ABCD，2 3AB，3BC，1AD，点M是棱SB上靠近点S的一个三等分点 （1）求证：AM平面SCD；（2）求二面角SCD

26、B的大小【答案】（1）见解析；（2）60【解析】【分析】(1)取棱SC上靠近点S的一个三等分点N,再证明AMND即可.(2)作SOAB,垂足为点O.再建立空间直角坐标系,分别求平面SCD的一个法向量与平面BCD一个法向量,利用法向量夹角的余弦值求二面角SCDB的大小即可.【详解】（1）证明：取棱SC上靠近点S的一个三等分点N,连接MN,DN,因为13SMSNSBSC,所以MNBC且13MNBC因为ADBC,所以MNAD 又因为3BC,1AD,所以13ADBCMN所以四边形MNDA是平行四边形 -16-所以AMND又因为AM 平面SCD,ND 平面SCD,所以/AM平面SCD （2）作SOAB,

27、垂足为点O如图所示 因为SAB是等边三角形,所以点O是线段AB的中点因为侧面SAB 底面ABCD,侧面SAB底面ABCDAB,SOAB,SO 二侧面SAB,所以SO 底面ABCD 所以以点O为原点,OA为x轴,过点O且平行于EC的射线为y轴,OS为z轴,建立如上图所示的空间直角坐标系Oxyz因为2 3AB,3BC,1AD,SAB是等边三角形,所以132AOBOAB,3sin602 332SOAS 所以点(0,0,0)O,(3,0,0)A,(3,1,0)D,(3,3,0)C,(0,0,3)S,所以(3,1,3)SD,(3,3,3)SC 设平面SCD的一个法向量为(,)x y zm,则 由00m

28、SDm SC,得3303330 xyzxyz,解得3232xzyz 令2z,得平面SCD的一个法向量为(3,3,2)m 易知平面BCD一个法向量为(0,0,1)n 设二面角SCDB的大小是,易知是锐角,则222|(3,3,2)(0,0,1)|1cos|2(3)321m nm n 又0180,所以60所以二面角SCDB的大小是60 -17-【点睛】本题主要考查了空间中平行垂直的证明与性质等,同时也考查了建立空间直角坐标系求解二面角的问题,属于中等题型.22.已知函数1()2(2)xf xeax，()(1ln)()g xax aR （1）讨论函数()f x的单调性；（2）若对任意的1,)x，()(

29、)f xg x恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）当2a时,()f x在R上单调递增,当2a 时,()f x在2,ln12a 上单调递减,在2ln1,2a 上单调递增；（2）(,2【解析】【分析】(1)求导得1()2(2)xfxea,再分(2)0a与(2)0a两种情况讨论即可.(2)将()()f xg x中()g x移至左边,再构造新函数1()ln2(2)xh xaxeaxa,根据第(1)问的结论,分2a与2a 两种情况讨论()h x的最小值即可.【详解】（1）1()2(2)xf xeax的定义域是R,则1()2(2)xfxea 当(2)0a,即2a时,()0fx对任意xR恒成立,故函数(

30、)f x在R上单调递增 当(2)0a,即2a 时,令()0fx,得2ln12ax；令()0fx,得2ln12ax,故函数()f x在2,ln12a 上单调递减,在2ln1,2a 上单调递增 综上,当2a时,()f x在R上单调递增,当2a 时,()f x在2,ln12a 上单调递减,在2ln1,2a 上单调递增（2）()()f xg x,即12(2)(1ln)xeaxax,得1ln2(2)0 xaxeaxa 令1()ln2(2)xh xaxeaxa,则-18-112(2)()2(2)xxaxeaxah xeaxx 由（1）知,函数122xyex在区间(1,)上单调递增,所以当1x 时,1022

31、220 xexe,即在(1,)上,恒有1xex 所以在(1,)上22(2)(2)(1)()xaxaxa xh xxx 当2a时,()0h x在区间1,)上恒成立,即()h x在1,)上单调递增,所以()(1)0h xh（符合题意）；当2a 时,由12(2)()xxeaxah xx,得12()2xah xex,且()hx在1,)上单调递增,又(1)20ha,1()210ahae,故()hx在(1,)a上存在唯一的零点0 x,当01,xx时,()0hx,即()h x在01,xx上单调递减,此时()(1)0h xh,知()h x在01,xx上单调递减,此时()(1)0h xh与已知矛盾（不合题意）综上,a的取值范围是(,2【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性与最值问题,同时也考查了利用导数解决恒成立问题与最值问题等,需要求导分情况进行最值的讨论,属于难题.