江西省宜春市上高县第二中学2019_2020学年高二数学上学期10月月考试题理(含解析)42440.pdf

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1、-1-江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高二数学上学期10月月考试题 理（含解析）一：选择题。1.圆224210 xyxy 的圆心在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】将圆的一般方程化简为标准方程，即可得出答案。【详解】化简224210 xyxy 得到22(2)(1)4xy，圆心为(2,1)，在第一象限 故选 A【点睛】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，属于基础题。2.已知,m n是两条不同直线，,是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A.若,mn则m n B.若,则 C.若,mm则 D.若,mn则m n【答案】D【解析】【详解

2、】A 项，,m n可能相交或异面,当时，存在，故 A 项错误；B 项，可能相交或垂直,当 时，存在，故 B 项错误；C 项，可能相交或垂直,当 时，存在，故 C 项错误；D 项，垂直于同一平面的两条直线相互平行，故 D 项正确,故选 D.本题主要考查的是对线，面关系的理解以及对空间的想象能力.考点：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质.-2-3.过半径为 2 的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是30o，则截面的面积是()A.B.2 C.3 D.2 3【答案】C【解析】【分析】根据截面半径与球半径，球心到截面的距离，构成的直角三角形，

3、解出截面半径，即可求出答案。【详解】如图所示：AB为截面半径，2OA ,30oOAB，则3AB,截面积=2(3)3 故选C【点睛】本题考查球截面面积，属于基础题。4.若圆22:5C xym与圆22:(3)(4)16Exy有三条公切线，则m的值为（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】由两圆有三条公切线，可知两圆外切，则两圆的圆心距等于半径之和，列出式子即可求出m的值。-3-【详解】由题意可知两圆外切，圆C的圆心为0,0，半径为5m，圆E的圆心为3,4，半径为4，则223454m，解得4m.故答案为 C.【点睛】本题考查了两圆的公切线，考查了圆与圆的位置关系，考查了计算能力，

4、属于基础题。5.圆锥的母线长为4，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥表面积为（）A.10 B.12 C.16 D.18【答案】B【解析】【分析】由圆锥展开图为半径为4的半圆，得出其弧长等于圆锥的底面圆周长，可得出圆锥底面圆的半径，然后利用圆锥的表面积公式可计算出圆锥的表面积.【详解】一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图为半圆，半圆的弧长为12442l，即圆锥的底面周长为4，设圆锥的底面半径是r，则得到24r，解得2r=，这个圆锥的底面半径是2，圆锥的表面积为24 2212S 故选：B【点睛】本题考查圆锥表面积的计算，计算时要结合已知条件列等式计算出圆锥的相关几何量，考查运算求解能力，属于中等题.6

5、.圆224210 xyxy 上存在两点关于直线2200,0axbyab对称，则14ab的最小值为 A.8 B.9 C.16 D.18【答案】B【解析】-4-由 圆 的 对 称 性 可 得，直 线220axby必 过 圆 心2,1，所 以1ab.所 以141445549baabababab，当且仅当4baab，即2ab时取等号，故选 B 7.如图，在正方体1111ABCDABC D中，E 为线段11AC的中点，则异面直线 DE 与1BC所成角的大小为（）A.15o B.30o C.45o D.60o【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，先求得向量1,DE BCuuu v uuuv的夹角的

6、余弦值，即可得到异面直线所成角的余弦值，得到答案.【详解】分别以1,DA DC DD所在的直线为,x y z建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 2，可得1(0,0,0),(1,1,2),(2,2,2),(0,2,0)DEBC,所以1(1,1,2),(2,0,2)DEBC uuu vuuuv，所以1111(2)1 02(2)3cos,262 2DE BCDE BCDEBC uuu v uuuvuuu v uuuvuuu v uuuv，所以异面直线DE和1BC所成的角的余弦值为32，所以异面直线DE和1BC所成的角为30o，故选 B.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中建立适当

7、的空间直角坐标系，-5-利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.如图，网格纸上正方形小格的边长为 1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.23 B.43 C.83 D.4【答案】C【解析】【分析】在正方体中还原三视图，计算即可。【详解】三视图还原如图所示：该几何体的体积为11182 2 22 2 22 2 22323V 【点睛】本题考查三视图还原，一般将其在正方体或长方体中还原，属于基础题 9.若x、y满足x2y22x4y200，则x2y2的最小值是()A.55 B.55 C.30105 D.无法确定【答案】C -6-【解析】由x2

8、y22x4y200 得22(1)(2)25xy，设圆心1-2C（，），则x2y2的最小值是22(5)(55)30 10 5OC,选 C.点睛：与圆上点(,)x y有关代数式的最值的常见类型及解法形如ybuxa型的最值问题，可转化为过点(,)a b和点(,)x y的直线的斜率的最值问题；形如taxby型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如22()()xayb型的最值问题，可转化为动点到定点(,)a b的距离平方的最值问题 10.如图，在正方体1111ABCDABC D中，2AB，平面经过11B D，直线1|AC，则平面截该正方体所得截面的面积为（）A.2 3 B.3 22 C.342

9、 D.6【答案】D【解析】如图所示，连接11AC与11B D交于E，取1AA的中点F，连接EF，则1/EFAC，1AC Q平面11,B D F EF 平面111,/B D FAC平面11B D F，11B D F是满足条件的截面，由正方-7-体的性质可得11112 2,3,B DEFB DEF，平面截该正方体所得截面的面积为12 2362，故选 D.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理棱锥的体积公式，属于难题.证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边

10、形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.11.已知圆22:8150C xyx，直线2ykx上至少存在一点P，使得以点P为原心，半径为 1 的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A.43 B.54 C.35 D.53【答案】A【解析】试题分析：因为圆C的方程为228150 xyx，整理得22(4)1xy，所以圆心为(4,0)C，半径为1r，又因为直线2ykx上至少存在一点P，使得以点P为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，所以点C到直线2ykx的距离小于或等于2，所以240221kk，化简2340kk，解得403k，所以k的最小值是43，

11、故选 A.考点：直线与圆位置关系及其应用.12.如图，在正三棱柱111ABCABC中，2AB,12 3AA，D，F分别是棱AB，1AA的中点，E为棱AC上的动点，则DEF的周长的最小值为()-8-A.2 22 B.2 32 C.62 D.72【答案】D【解析】【分析】根据正三棱柱的特征可知ABC为等边三角形且1AA 平面ABC，根据1AAAD可利用勾股定理求得2DF；把底面ABC与侧面11ACC A在同一平面展开，可知当,D E F三点共线时，DEEF取得最小值；在ADF中利用余弦定理可求得最小值，加和得到结果.【详解】Q三棱柱111ABCABC为正三棱柱 ABC为等边三角形且1AA 平面AB

12、C AD Q平面ABC 1AAAD 1 32DF 把底面ABC与侧面11ACC A在同一平面展开，如下图所示：当,D E F三点共线时，DEEF取得最小值 又150FADo，3AF，1AD 22min32cos42 372DEEFAFADAF ADFAD DEF周长的最小值为：72 本题正确选项：D【点睛】本题考查立体几何中三角形周长最值的求解问题，关键是能够将问题转化为侧面上-9-两点间最短距离的求解问题，利用侧面展开图可知三点共线时距离最短.二、填空题。13.如图所示，A O B 表示水平放置的AOB的直观图，B在x轴上，AO 与x轴垂直，且2AO，则AOB的OB边上的高为_ 【答案】4

13、2【解析】【分析】根据题目给出的图形，首先求出 A点在新系下的坐标，取 2 倍后就是原图中 A 点的纵坐标，也就是 OB 边上的高【详解】如图，由 AO=2，可得 A 在 xoy系下的横坐标为-2，纵坐标为2 2，根据水平放置的平面图形的直观图的画法知，A 在原坐标系下的纵坐标为 42，即原三角形 AOB 的边 OB 上的高为4 2 故答案为：4 2 【点睛】本题考查了平面图形的直观图，画水平放置的平面图形的直观图时，在原系下在坐标轴上或平行于坐标轴的线段，在新系下仍在坐标轴上或平行于坐标轴，横轴的长度不变，纵轴的减半 -10-14.从原点O向圆2212270 xyy作两条切线，则该圆夹在两条

14、切线间的劣弧长为_【答案】2【解析】把圆的方程化为标准方程为2269xy，得到圆心C的坐标为0,6，圆的半径3r，由圆切线的性质可知，90CBOCAO o，且3,3ACBCOC，则303060AOBBOCAOC ooo，120ACBo，该圆夹在两条切线间的劣弧长12032180loo，故答案为2.15.若直线2lxmy：与曲线2:1C yx相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，实数 m 的取值_【答案】-3【解析】【分析】点 O 到l的距离22d1m，将AOB的面积用d表示出来，再利用均值不等式得到答案.【详解】曲线21yx表示圆心在原点，半径为 1 的圆的上半圆，若

15、直线l与曲线相交于 A，B 两点，则直线l的斜率m0，-11-则点 O 到l的距离22d1m，又22211112 12222AOBddSAB dd d，当且仅当221dd，即212d 时，AOBSV取得最大值所以222112dm，解得3(3mm 舍去)故答案为3【点睛】本题考查了点到直线的距离，三角形面积，均值不等式，意在考查学生的计算能力.16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，点E，F，G分别为棱AB，AA1，C1D1的中点下列结论中，正确结论的序号是_ 过E，F，G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；B1D1平面EFG；BD1平面ACB1；异面直线EF与BD1所成角的正

16、切值为22；四面体ACB1D1的体积等于12a3 【答案】【解析】【分析】根据公理 3，作截面可知正确；根据直线与平面的位置关系可知不正确；根据线面垂直的判定定理可知正确；根据异面直线所成的角的定义求得异面直线 EF 与 BD1的夹角的正切值-12-为22，可知正确；用正方体体积减去四个正三棱锥的体积可知不正确【详解】解：延长 EF 分别与 B1A1，B1B 的延长线交于 N，Q，连接 GN 交 A1D1于 H，设 HG 与 B1C1的延长线交于 P，连接 PQ 交 CC1于 I，交 BC 于 M，连 FH，HG，GI，IM，ME，则截面六边形 EFHGIM 为正六边形，故正确；B1D1与 H

17、G 相交，故 B1D1与平面 EFG 相交，所以不正确；BD1AC，BD1B1C，且 AC 与 B1C 相交，所以 BD1平面 ACB1，故正确；取1AD的中点K，连接,FK EK，则1/KEBD，所以KEF就是异面直线 EF 与 BD1的夹角，设正方体的边长为2，可得：1FK,2FE,3KE,所以KEFV是直接三角形.可得：2tan2KEF.可得异面直线 EF 与 BD1的夹角的正切值为22，故正确；四面体 ACB1D1的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为3331114323aaa，故不正确 故答案为：【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，考查空间思维能力及作图能力、线面位置关

18、系，还考查了求异面直线所成的角，还考查了空间几何体的体积计算，属于难题 三、解答题。17.如图，菱形 ABCD 与正三角形 BCE 的边长均为 2，且平面 ABCD平面 BCE，FD 平面 ABCD，-13-3FD (I)求证：/EF平面 ABCD；(II)求证：平面 ACF平面 BDF【答案】（）见解析;（）见解析.【解析】(1)添加辅助线，通过证明线线平行来证明线面平行.(2)通过证明线面垂直AC 面FBD，来证明面ACF 面BDF.（）证明：如图，过点E作EHBC于H，连接HD，3EH 平面ABCD平面BCE，EH 平面BCE，平面ABCD 平面BCE BC，EH平面ABCD，又FD平面

19、ABCD，3FD，/FDEH，FDEH.四边形EHDF为平行四边形/EFHD.EF 平面ABCD，HD 平面ABCD，/EF平面ABCD （）证明：FD Q面ABCD，FDAC，又四边形ABCD是菱形，ACBD，又FDBDD，AC面FBD，又AC 面ACF，从而面ACF 面BDF 点晴：本题考查的是空间线面的平行和垂直关系.第一问要考查的是线面平行，通过先证明/FDEH，FDEH得四边形EHDF为平行四边形证得/EFHD，可得/EF平面-14-ABCD，这里对于线面平行的条件EF 平面ABCD，HD 平面ABCD要写全;第二问中通过先证明AC 面FBD，再结合AC 面ACF，从而面ACF 面B

20、DF 18.已知圆C的圆心C在直线yx上，且与x轴正半轴相切，点C与坐标原点O的距离为2.（）求圆C的标准方程；（）斜率存在的直线l过点1(1,)2M且与圆C相交于,A B两点，求弦长AB的最小值.【答案】()22(1)(1)1xy；()3.【解析】【分析】（I）设出圆心坐标，利用圆心和原点的距离列方程求得圆心坐标和半径，由此求得圆的标准方程.（II）利用点斜式设出直线l的方程，利用弦长公式求得弦长的表达式，根据表达式求得弦长的最小值.【详解】解：（）由题可设,C a a，半径r，222.COaaQ 1a.圆C与x轴正半轴相切1,1ar，圆C的标准方程：22111xy.（）设直线l的方程：11

21、2yk x，点C到直线l的距离212 1dk，弦长212 14 1ABk，当0k 时，弦长AB的最小值3AB.【点睛】本小题主要考查圆的标准方程的求解，考查直线和圆相交所得弦长公式，属于中档题.要求直线和圆相交所得弦有关的题目，可以有两种方式来求解，一个是联立直线方程和圆的方程，利用韦达定理来求解，一个是利用圆的几何性质，通过计算圆心到直线的距离d，然后利用222 rd来求解.-15-19.如图，四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，若112APABAD，3AC.（）求证：平面PAC 平面PCD；（）计算四棱锥PABCD的表面积.【答案】（）见证明；（）572 32

22、【解析】【分析】（）由PA 平面ABCD，所以PACD，再利用勾股定理，证得ACCD，利用线面垂直的判定定理，得到CD 平面PAC，再利用面面垂直的判定定理，即可证得平面PAC 平面PCD.（）根据几何体的结构特征，分别求得各个面的面积，即可求得四棱锥的表面积，得到答案【详解】（）由题意，因为PA 平面ABCD，所以PACD，因为2AD，3AC，1CDAB，所以222ADACCD，所以ACCD，又由PAACAI,所以CD 平面PAC，又由CD 平面PCD，所以平面PAC 平面PCD.（）在直角PAD中，1,2APAD，所以11 212PADS，在直角PAB中，1,1APAB，所以111 122

23、PABS ，因为2PB，2PCBC，所以2212722222PCBS，因为CD 面PAC，所以CDPC，所以1PCDS，因为ACCD，所以3ABCDS，-16-故四棱锥PABCD的表面积为572 32.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及几何体的表面积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力 20.如图，四边形ABCD为矩形，A，E，B，F四点共面，且ABE和ABF均为等腰直角三角形，90BAEAFB.（1）求证：平面/BCE平面ADF；（2）若平面ABCD 平面AEBF，1AF，2BC，求三棱锥ACEF的体积【

24、答案】（1）证明见解析；（2）13.【解析】【分析】（1）由四边形ABCD为矩形，得/BCAD，再由线面平行的判定可得/BC平面ADF再由已知证明/AFBE，得到/BE平面ADF，然后利用平面与平面平行的判定可得平面/BCE平面ADF；（2）由ABCD为矩形，得BCAB，结合面面垂直的性质可得BC 平面AEBF，由已知结合等积法求三棱锥ACEF的体积【详解】（1）证明：四边形ABCD为矩形，/BCAD，又BC 平面ADF，AD平面ADF，/BC平面ADF.ABE和ABF均为等腰直角三角形，且90BAEAFB，45BAFABE，/AFBE，又BE 平面ADF，AF 平面ADF，/BE平面ADF，

25、/BC平面ADF，/BE平面ADF，BCBEBI，-17-平面/BCE平面ADF；（2）解：ABCD为矩形，BCAB，又平面ABCD 平面AEBF，BC 平面ABCD，平面ABCD I平面AEBFAB，BC 平面AEBF，在AEF中，1AF，2AE，1121sin135122222AEFSAF AE .13AEFA CEFC AEFSVSBC三棱锥三棱锥1112323.【点睛】本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题 21.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为2214xy，M点的坐标为3,3.（1）求过点M且与圆C相切的直线方程；

26、（2）过点M任作一条直线l与圆C交于不同两点A，B，且圆C交x轴正半轴于点P，求证：直线PA与PB的斜率之和为定值.【答案】（1）3x 或512210 xy（2）详见解析【解析】【分析】（1）当直线l的斜率不存在时，直线3x 满足题意，当直线l的斜率存在时，设切线方程为33ym x，圆心到直线的距离等于半径，列式子求解即可求出m，即可得到切线方程；（2）设直线AB：33yk x，代入圆C的方程，可得到关于k的一元二次方程，设-18-11,A x y，22,B x y，且3,0P，直线PA与PB的斜率之和为121233PAPByykkxx，代入根与系数关系整理可得到所求定值。【详解】（1）当直线

27、l的斜率不存在时，显然直线3x 与圆C相切 当直线l的斜率存在时，设切线方程为33ym x，圆心到直线的距离等于半径，即23321mmm，解得512m ，切线方程为：512210 xy，综上，过点3,3M且与圆C相切的直线的方程是3x 或512210 xy（2）圆C：2214xy与x轴正半轴的交点为3,0P，依题意可得直线AB的斜率存在且不为 0，设直线AB：33yk x，代入圆C：2214xy，整理得：222212 3319130kxkkxk.设11,A x y，22,B x y，且3,0P 21222 3311kkxxk，21229131kx xk 直线PA与PB的斜率之和为 121233

28、PAPByykkxx 1212333333k xk xxx 12121262339xxkx xxx 644233kk为定值.【点睛】本题考查了圆的切线，考查了直线方程，考查了点到直线的距离公式，考查了斜率，考查了学生的逻辑思维能力与计算求解能力，属于难题。22.正三角形ABC的边长为a，将它沿平行于BC的线段PQ折起（其中P在边AB上，Q在AC边上），使平面APQ 平面BPQC.D，E分别是PQ，BC的中点.-19-（I）证明：PQ 平面ADE；（II）若折叠后，A，B两点间的距离为d，求d最小时，四棱锥APBCQ的体积.【答案】（I）见解析；（II）3364a【解析】【分析】（I）连接AD，

29、DE，AE，可证ADPQ，DEPQ，从而可证PQ 平面ADE.（II）设ADx，32DEax（E为BC的中点），则计算可得22235248dxaa，从而可得d何时最小并能求得此时四棱锥APBCQ的体积.【详解】（I）连接AD，DE，AE，在APQ中，APAQ，D是PQ的中点，所以ADPQ.又因为DE是等腰梯形BPQC的对称轴，所以DEPQ.而ADDED，所以PQ 平面ADE.（II）因为平面APQ 平面BPQC，ADPQ，所以AD平面PBCQ，连结BD，则-20-222dADBD.设ADx，32DEax（E为BC的中点），于是222BDDEBE223124axa.因此 22222dxBDxDE22232BExax2124a223548xaa，当34xa时，min104da.此时四棱锥APBCQ的体积为13PBCQSAD梯形 1132 2aa33334464aaa.【点睛】线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.立体几何中的最值问题应选择合适的变量，再根据条件得到目标函数，最后根据函数的性质得到最值.