【最新】人教版九年级数学中考压轴试题(及答案解析)58025.pdf

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1、【精品】人教版九年级数学中考压轴试题（含答案）1（8 分）一般地，我们把半径为 1 的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系 xOy 中，设单位圆的圆心与坐标原点 O 重合，则单位圆与 x 轴的交点分别为（1，0），（1，0），与 y 轴的交点分别为（0，1），（0，1）在平面直角坐标系 xOy 中，设锐角 a 的顶点与坐标原点 O 重合，a 的一边与 x 轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点 P（x1，y1），且点 P 在第一象限（1）x1=cos （用含 a 的式子表示）；y1=sin（用含 a 的式子表示）；（2）将射线 OP 绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转 90后与单位圆交于点 Q（x2，y

2、2）判断 y1与 x2的数量关系，并证明；y1+y2的取值范围是：1y1+y2 【分析】（1）如图作 PFx 轴于 F，QEx 轴于 E则 OF=OPcos，PF=OPsin，由此即可解决问题；（2）过点 P 作 PFx 轴于点 F，过点 Q 作 QEx 轴于点 E只要证明QOEOPF 即可解决问题；当P在x轴上时，得到y1+y2的最小值为1，由y1+y2=PF+QE=OE+OF=EF，四边形 QEFP 是直角梯形，PQ=，EFPQ，即可推出当 EF=PQ=时，得到 y1+y2的最大值为；【解答】解：（1）如图作 PFx 轴于 F，QEx 轴于 E 则 OF=OPcos，PF=OPsin，x1

3、=cos，y1=sin，故答案为 cos，sin；（2）结论：y1=x2 理由：过点 P 作 PFx 轴于点 F，过点 Q 作 QEx 轴于点 E PFO=QEO=POQ=90，POF+OPF=90，POF+QOE=90，QOE=OPF，OQ=OP，QOEOPF，PF=OE，P（x1，y1），Q（x2，y2），PF=y1，OE=x2，y1=x2 当 P 在 x 轴上时，得到 y1+y2的最小值为 1，y1+y2=PF+QE=OE+OF=EF，四边形 QEFP 是直角梯形，PQ=，EFPQ，当 EF=PQ=时，得到 y1+y2的最大值为，1y1+y2 故答案为 1y1+y2 【点评】本题考查圆综

4、合题、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、直角梯形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型 2（5 分）点 P（1，4），Q（2，m）是双曲线 y=图象上一点（1）求 k 值和 m 值（2）O 为坐标原点过 x 轴上的动点 R 作 x 轴的垂线，交双曲线于点 S，交直线 OQ 于点 T，且点 S 在点 T 的上方结合函数图象，直接写出 R 的横坐标 n 的取值范围 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用图象法即可解决问题；【解答】（1）解：点 P（1，4），Q（2，m）是双曲线 y=图象上一点 4=，m=，k=4，m=

5、2（2）观察函数图象可知，R 的横坐标 n 的取值范围：0n2 或 n2 【点评】本题考查反比例函数图象上点的特征、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 3（5 分）小明同学要测量学校的国旗杆 BD 的高度如图，学校的国旗杆与教学楼之间的距 AB=20m小明在教学楼三层的窗口 C 测得国旗杆顶点 D 的仰角为 14，旗杆底部 B 的俯角为 22（1）求BCD 的大小（2）求国旗杆 BD 的高度（结果精确到 1m 参考数据：sin220.37，cos220.93，tan220.40，sin140.24，cos140.97，tan140.25）【分析】（1）过

6、C 作 CEAB 交 BD 于 E根据题意可得答案；（2）在 RtCEB 中，利用三角函数可得 tanECB=，代入数据可得 BE 的长，然后在 RtCED 中可得 tanDCE=0.25，进而可得 ED 长，再求和即可【解答】解：（1）过 C 作 CEAB 交 BD 于 E 由已知，DCE=14，ECB=22，DCB=36；（2）在 RtCEB 中，CEB=90，AB=20，ECB=22，tanECB=0.4，BE8，在 RtCED 中，CED=90，CE=AB=20，DCE=14，tanDCE=0.25，DE5，BD13，国旗杆 BD 的高度约为 13 米 【点评】此题主要考查了解直角三角

7、形的应用，关键是读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决 4（5 分）如图，AB 是O 的直径，C、D 是O 上两点，=过点 B 作O 的切线，连接 AC 并延长交于点 E，连接 AD 并延长交于点F（1）求证：AC=CE（2）若 AE=8，sinBAF=求 DF 长 【分析】（1）连接 BC，想办法证明 AC=BC，EC=BC 即可解决问题；（2）首先证明DBF=BAF，可得 sinBAF=sinDBF=，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：连结 BC AB 是 的直径，C 在O 上 ACB=90，=，AC=BC CAB=45 AB 是O 的直径，EF 切O 于点 B，A

8、BE=90，AEB=45，AB=BE，AC=CE （2）在 RtABE 中，ABE=90，AE=8，AE=BE AB=8，在 RtABF 中，AB=8，sinBAF=，解得：BF=6，连结 BD，则ADB=FDB=90，BAF+ABD=90，ABD+DBF=90，DBF=BAF，sinBAF=，sinDBF=，=，DF=【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 5如图，P是所对弦AB上一动点，过点P作PCAB交于点C，取AP中点D，连接CD 已知AB6cm，设A，P两点间的距离为xcm，CD两点间的距离为y

9、cm（当点P与点A重合时，y的值为 0；当点P与点B重合时，y的值为 3）小凡根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究 下面是小凡的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y/cm 0 2.2 2.9 3.2 3.4 3.3 3（2）建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合所画出的函数图象，解决问题：当C30时，AP的长度约为 3.3 cm 【分析】（1）根据对称性可知：当x2 和x4 时，PABP2，因为PCAB，PCAB，即可推出PCPC，再

10、利用勾股定理即可解决问题；（2）利用描点法即可解决问题；（3）函数图象与直线yx的交点的横坐标即为PA的长，利用图象法即可解决问题；【解答】解：（1）如图，根据对称性可知：根据对称性可知：当x2 和x4 时，PABP2，PCAB，PCAB，PCPC，CD2.9 故答案为 2.9（2）利用描点法画出图象如图所示：（3）当DCP30时，CD2PD，即yx，观察图象可知：与函数图象与直线yx的交点为（3.3，3.3），AP的长度为 3.3【点评】本题属于圆综合题，考查了勾股定理，函数图象，直角三角形 30 度角的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用对称性解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中

11、考压轴题 6如图，ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且ADCE，连接BD，AE相交于点F（1）BFE的度数是 60；（2）如果，那么 1；（3）如果时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明 【分析】（1）易证ABDACE，可得DAFABF，根据外角等于不相邻两个内角的和即可解题（2）如图 1 中，当时，由题意可知：ADCD，BECE利用等腰三角形的性质即可解决问题；（3）设AFx，BFy，ABBCACnADCE1，由ABDCAE，推出BDAE，设BDAEm，利用相似三角形的性质，列出关系式即可解决问题；【解答】解：（1）ABC是等边三角形，ABAC，BADC60，在

12、ABD和ACE中，ABDACE（SAS）DAFABD，BFEABD+BAFDAF+BAFBAD60，故答案为：60 （2）如图 1 中，当时，由题意可知：ADCD，BECE ABC是等边三角形，BEEC，ADCD，BAEBAC6030，ABDABC30，FABFBA，FAFB，1 故答案为 1 （3）设AFx，BFy，ABBCACnADCE1，ABDCAE，BDAE，DAFABD，设BDAEm，ADFBDA，ADFBDA，FBECBD，BFEC60，BFEBCD，得到：，【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质的等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题

13、，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题 7对于平面直角坐标系xOy中的点P和C，给出如下定义：若C上存在一个点M，使得MPMC，则称点P为C的“等径点”，已知点D（，），E（0，2），F（2，0）（1）当O的半径为 1 时，在点D，E，F中，O的“等径点”是 D，E；作直线EF，若直线EF上的点T（m，n）是O的“等径点”，求m的取值范围（2）过点E作EGEF交x轴于点G，若EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，求这个圆的半径r的取值范围【分析】（1）根据“等径点”的定义可知，“等径点”到圆心的距离小于等于圆的半径的 2 倍，由此即可判定；如图 2 中，设直线EF交半径为 2 的O于点K

14、，连接OK，作KMOF于M当点T在线段FK上时，点T是“等径点”，求出点K的坐标即可解决问题；（2）因为EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，所以这个圆的圆心Q是线段FG的中点，易知Q（2，0），设这个圆的半径为r根据QG2r，构建不等式即可解决问题；【解答】解：（1）根据“等径点”的定义可知，“等径点”到圆心的距离小于等于圆的半径的 2 倍即半径为 1 的O的“等径点”在以O为圆心 2 为半径的圆内或圆上 如图 1 中，观察图象可知：在点D，E，F中，O的“等径点”是D，E 故答案为D，E；如图 2 中，设直线EF交半径为 2 的O于点K，连接OK，作KMOF于M OF2，OE2，ta

15、nEFO，OFK60，OFOK，OFK是等边三角形，OFOKFK2，KMOF，FMOM1，KM，K（1，），当点T在线段FK上时，点T是“等径点”，2m1 （2）如图 3 中，EFG是直角三角形，FEG90，EFG60，EF2OF4，FG2EF8，OG6，由题意EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，这个圆的圆心Q是线段FG的中点，Q（2，0），设这个圆的半径为r 由题意：QG2r 42r，r2，即这个圆的半径r的取值范围为r2【点评】本题属于圆综合题，考查了“等径点”的定义，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题