2020届陕西省西安中学高三上学期期末考试数学(理)试题(PDF版)5306.pdf

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1、页 1 第 西安中学 2019-2020学年度第一学期期末考试高三数学（理科）第卷(选择题 共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1集合2|lg0,|4MxxNx x，则MN I（）A(2,0)B1,2)C(1,2D(0,22设复数z满足(1i)1 iz（其中i为虚数单位），则z（）AiBiC2iD2i3已知命题:p若|ab，则22ab；命题:qm、n是直线，为平面，若m/,n，则m/n.下列命题为真命题的是（）ApqBpqCpq Dpq 4已知nS为数列na的前n项和，1nnSa，则5S（）A3132B312C13

2、2D31165如图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图 则下列结论中表述不正确的是（）A.从 2000 年至 2016 年，该地区环境基础 设施投资额逐年增加；B.2011 年该地区环境基础设施的投资额比2000 年至 2004 年的投资总额还多；C.2012 年该地区基础设施的投资额比 2004 年的投资额翻了两番；D.为了预测该地区 2019 年的环境基础设施投资额，根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为1 27，）建立投资额y 与时间t 的线性回归模型9917.5yt，根据该模型预测该地区 2019 的环境基础设施投

3、资额为 256.5 亿元.6 已知直线6x 是函数()sin(2)f xx(|)2图象的一条对称轴，为了得到函数()yf x的图象，可把函数sin2yx的图象（）页 2 第 A向左平行移动6个单位长度 B向右平行移动6个单位长度 C向左平行移动12个单位长度 D向右平行移动12个单位长度 7函数1()ln|f xxx的图象大致为（）8若2.0log5.0a，2log5b，2.05.0c，则,a b c的大小关系为（）Aacb Babc Cbac Dcba 9若点(2,2 2)A在抛物线2:2C ypx上，记抛物线C的焦点为F，直线AF与抛物线的另一交点为 B，则FA FBuuu r uuu r

4、（）A10 B23 C3 D92 10已知在区间0,上，函数3sin2xy 与函数1 sinyx的图象交于点 P，设点 P 在 x 轴上的射影为P，P的横坐标为0 x，则0tanx的值为（）A12 B43 C45 D815 11我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知12FF、是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260FPF时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）A3 B2 C2 33 D2 12已知函数 12xf xm xxee(e 为自然对数底数)，若关于x的不等式 0f x 有且只有一个正整数解，则实数 m 的最大值为（）A32ee

5、 B22ee C32ee D22ee 页 3 第 第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13已知,a brr为互相垂直的单位向量，若cabrrr，则cos,b c r r 14已知函数3()2f xxx，若2(1)(2)0f afa，则实数a的取值范围是 15数列 na是等差数列，11a，公差 d1，2，且4101615aaa，则实数的最大值为 16已知矩形ABCD，1AB，3BC，将ADC沿对角线AC进行翻折，得到三棱锥DABC，则在翻折的过程中，有下列结论正确的有 三棱锥DABC的体积的最大值为13；三棱锥DABC的外接球体积不变；三棱锥DABC的体

6、积最大值时，二面角DACB的大小是60；异面直线AB与CD所成角的最大值为90 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17（本小题满分 12 分）在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知cCab21cos（）求角A；（）若3 ACAB，求a的最小值 18（本小题满分 12 分）中华人民共和国个人所得税法规定，公民月收入总额（工资、薪金等）不超过免征额的部分不必纳税，超过免征额的部分为全月应纳税所得额，个人所得税税款按税率表分段累计计算。为

7、了给公民合理减负，稳步提升公民的收入水平，自2018年 10 月 1 日起，个人所得税免征额和税率进行了调整，调整前后的个人所得税税率表如下：个人所得税税率表（调整前）个人所得税税率表（调整后）免征额 3500元 免征额 5000元 级数 全月应纳税所得额 税率 级数 全月应纳税所得额 税率 页 4 第 ABCDP1 不超过 1500元的部分 3%1 不超过 3000元的部分 3%2 超过 1500元至 4500元的部分 10%2 超过 3000元至 12000元的部分 10%3 超过 4500元至 9000元的部分 20%3 超过 12000元至 25000元的部分 20%（）已知小李 20

8、18年 9月份上交的税费是 295元，10 月份月工资、薪金等税前收入与 9月份相同，请帮小李计算一下税率调整后小李 10 月份的税后实际收入是多少？（）税务部门在小李所在公司用分层抽样方法抽取某月 100位不同层次员工的税前收入，并制成下面的频率分布直方图。()请根据频率分布直方图估计该公司员工税前收入的中位数；()同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，按调整后税率表，试估计小李所在的公司员工该月平均纳税多少元？19（本小题满分 12 分）如图，在底面为矩形的四棱锥PABCD中，平面PAD 平面ABCD（）证明：ABPD；（）若,90PAPDABAPD，设Q为PB中点，求直线AQ与

9、平面PBC所成角的余弦值 20（本小题满分 12 分）已知椭圆E：222210 xyabab的离心率为22，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为4 2（）求椭圆E的方程；（）若直线40 xmy与椭圆E相交于A，B两点，设P为椭圆E上一动点，且满足2PAPBtOPuu u ruuu ruuu r（O为坐标原点）当1t 时，求OA OBuuu r uuu r的最小值 21（本小题满分 12 分）已知函数122()lnxef xaxxx（a为常数）在区间(0,2)内有两个极值点1212,()x x xx （）求实数a的取值范围；页 5 第（）求证：122(1 ln)xxa（二）选考题：共 1

10、0 分请考生在第 22，23 题中任选一题作答如果多做，那么按所做的第一题计分 22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为cos1 sinxy（为参数）以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系（）求圆C的普通方程及其极坐标方程；（）设直线l的极坐标方程为sin23，射线:6OM与圆C的交点为P（异于极点），与直线l的交点为Q，求线段PQ的长 23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数()|2|2|f xxa x，（）当 a=2 时，求不等式()2f x 的解集；（）当 2,2x 时不等式(

11、)f xx恒成立，求a的取值范围 页 6 第 西安中学高 2020届高三期末考试 数 学（理科）参考答案 一、选择题:题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B A D C A A D B A C 二、填空题：1322 141 1,2 1512 16 三、解答题:17解：（）ABC中，cCab21cos，由正弦定理知，CCABsin21cossinsin，2 分 CBAACCACABcossincossin)sin(sin，CCAACCAsin21cossincossincossin，4 分 CACsin21cossin，21cosA，3A6 分（）3 ACA

12、B3cosAACAB，得6bc8 分 所以6626cos222222bccbAbccba 当且仅当cb 时取等号11 分 所以a的最小值为612 分 18解：（）设小李 9 月份的税前收入为x元，因为295345 所以按调整起征点前应缴纳个税为：1500 3%500010%295x，解得7500 x 2 分 按调整起征点后应缴纳个税为：750050003%75 调整后小李的实际收入是7500757425（元）4 分（）（）由柱状图知，中位数落在第二组，不妨设中位数为x千元，页 7 第 则有0.12 20.1650.5x，解得6.625x（千元）估计该公司员工收入的中位数为6625千元.8 分（

13、）按调整起征点后该公司员工当月所交的平均个税为 0.24 00.32 300.2 900.12 2900.08 4900.04 690129.2（元）估计小李所在的公司员工平均纳税2.129元12 分 19解：（）依题意，平面PAD 平面ABCD，ABAD1 分 AB Q平面ABCD，平面PADI平面ABCDAD，2 分 AB平面PAD，又PD 平面PAD4 分 ABPD5 分（）在PAD中，取AD中点O，连接PO，,PAADPOADPOQ平面ABCD，以O为坐标原点，分别以OA为x轴，过点A且平行于AB的直线为y轴，OP所在的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系6 分 设2PA，90APD

14、Q，2 2AD 22(0,0,2),(2,2,0),(2,2,0),(2,0,0),1,22PBCAQ，22(2,2,2),(2 2,0,0),1,22PBBCAQ uuu ruuu ruuu r8 分 设平面PBC的法向量为(,)nx y zr，则22202 20n PBxyzn BCx r uuu rr uuu r，取1y，得(0,1,2)n r 9分 设直线AQ与平面PBC所成角为，则6sincos,3AQ nAQ nAQnuuu r ruuu r ruuu rr10 分 因为0,2，23cos1 sin3 所以直线AQ与平面PBC所成角的余弦值为3312 分 ABCDPxyzOQ页 8

15、 第 20解：（）依题意得，22cea 以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为4 2，则1224 22ab，解得24a，22b 所以椭圆E的方程为22142xy 4 分（）设A，B两点的坐标分别为11(,)x y，22(,)x y，联立方程221,424,xyxmy得22(2)8120mymy，264960m 26m，6 分 12282myym，122122y ym，7 分 因为2PAPBtOPuu u ruuu ruuu r，即2OAOPOBOPtOPuuu ruuu ruuu ruuu ruuu r，所以OA OBtOPuuu ruuu ruuu r 所以点1212(,)xxyyPt

16、t，又点P在椭圆 C 上，所以有221212()2()2xxyytt，化简得2221212()82()4m yyyyt，所以2222288()(2)16()644022mmmmtmm，化简22322mt，因为1t，所以2630m，9分 因为21212121212441416OA OBx xy ymymymy ym yyuuu r uuu r，又12282myym，122122y ym，所以224442mOA OBmuuu r uuu r 令22(8,32)ms s，则452524sOA OBss uuu r uuu r11 分 当32s 时，OA OBuuu r uuu r取得最小值，最小值为

17、198 12分 21解：（）解法一：由122()lnxef xaxxx，可得13(2)()()xx eaxfxx1 分 由题意(0,2)x，则320 xx，设11()(0),()xxh xeax xh xea 由题意，知12,x x是()yh x在(0,2)上的两个零点 当0a时，()0h x，则()h x在(0,2)上递增，()h x至多有一个零点，不合题意；2 分 页 9 第 当0a 时，由()0h x，得1 lnxa，(1ln)lnhaaa 3 分（i）若1 ln2a且(2)20hea，即02ea时，()h x在(0,1ln)a上递减，(1ln,2)a递增；若min()(1 ln)ln0

18、h xhaaa，即0ae时，()h x至多有一个零点，不合题意，舍去；若min()(1 ln)ln0h xhaaa，即12ea时，又1(2)0,(0)0hheQ，从而，()h x在(0,1ln)a和(1ln,2)a上各有一个零点 所以12ea时，()yh x在(0,2)上存在两个零点4 分（ii）若1 l n2a，即ae时，()h x在(0,2)上单调递减，()h x至多有一个零点，舍去5分（iii）若1 ln2a且(2)20hea，即2eae时，()h x在(0,1ln)a上有一个零点，在(1ln,2)a上没有零点，舍去 综上可得，实数a的取值范围是1,2e6分 解法二：由122()lnxe

19、f xaxxx，可得13(2)()()xx eaxfxx1 分 由题意(0,2)x，则320 xx，由题意知12,x x是1,0 xyeaxx在(0,2)上的两个零点 由10 xyeax，得1xeax，2 分 从而只需直线ya与函数1()xeg xx的图象在(0,2)有两个交点3 分 由2(1)()xxeg xx得1()xeg xx在区间(0,1)内单调递减，在区间(1,2)内单调递增，所以min()(1)1,(2)2eg xgg4 分 且0 x 时，()g x 5 分 所以实数a的取值范围是1,2e6分（）解法一：令()()(22ln),01lnH xh xhaxxa 7 分 页 10 第

20、则211()()(22ln)2220 xxaH xh xhaxeaaae，所以()H x在(0,1ln)a上递增，8 分 111()()(22ln)(1 ln)0H xh xhaxHa10 分 而12()()h xh x，且()h x在(1ln,2)a递增；21()(22ln)h xhax11 分 211222ln,2(1 ln)xaxxxa，命题得证12 分 解法二：由（1）有12111112121222lnln12lnln()2lnln1xxaxeaxxax xxxaxxaxe 7 分 则证明1212122112(1ln)ln()001xxax xx xxx 8 分 下证式成立，由10 x

21、eax，得1xeax，令1()xeg xx，则1122(1)()(),()xexg xg xg xx9 分 易知1201xx，从而式221111111()()xg xgg xgxxx10 分 又令1()(),01G xg xgxx，即证()0G x 对01x成立11121()xxxG xexex 设111()xxh xexe，则1111()0 xxxh xeex，11 分 从而()(1)0,()0,()(1)0h xhG xG xG即01x，1()g xgx，即111()g xgx 从而式成立122(1 ln)xxa，命题得证12 分 22解：（）由coscos1 sin1sinxxyy 1

22、分 平方相加，得：22(1)1xy，所以圆C的普通方程为：22(1)1xy2 分 页 11 第 又cos,sinxy3 分 22(cos)(sin1)14分 化简得圆C的极坐标方程为：2sin5分（）把6代入圆的极坐标方程可得：2sin16P7分 把6代入直线l的极坐标方程可得：sin2,263Q9 分 所以线段PQ的长1PQPQ10 分 23证明：（）当2x 时，()22(2)62f xxxx ，解得4x ，1 分 当22x 时，()22(2)322f xxxx ，解得423x 2 分 当2x 时，()22(2)62f xxxx 解得2x，3 分 综上知，不等式()2f x 的解集为4(,4)(,)3 U.5 分（）解法 1：当 2,2x 时，()2(2)(1)2(1)f xxa xaxa，6 分 设()()g xf xx，则 2,2x ，()(2)2(1)0g xaxa 恒成立，只需(2)0(2)0gg，8 分 即60420a，解得12a 10分 解法 2：当 2,2x 时，()2(2)f xxa x，6 分()f xx，即2(2)xa xx，即(2)2(1)xax7 分 当2x 时，上式恒成立，aR；8 分 当(2,2x 时，得2(1)2xax622x 恒成立，只需min61(2)22ax ，页 12 第 综上知，12a 10 分